最新相似三角形难题集锦含答案.docx

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最新相似三角形难题集锦含答案

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△

ABC中，/ACB=90,AC=3BC=4过点B作射线BB1//

AC动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的

P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x.

（1）当x为何值时，PQ//BC?

（2）^APQM^CQB能否相似？

若能，求出AP的长;若不能说明理由.

速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHLAB于H,过点E作EF丄AC交射线BB1于F,G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.

（1）当t为何值时，AD=AB并求出此时DE的长度;

（2）当厶DEG与厶ACB相似时,求t的值.

2.如图，在△ABC中，/ABC=90°,AB=6mBC=8m动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动•当其中有一点到达终点时，它们都停止移动•设移动的时间为t秒.

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ勺面积；

2求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P,Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值.

5.如图，在矩形ABCD中,

AB=12cm,BC=6cm点P

沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0vtv6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点QA、P为顶点的三角形与厶ABC相似？

二、构造相似辅助线一一双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2,1）,正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式.

7.在厶ABC中，AB=：

，,AC=4,

BC=2以AB为边在C点的异侧作厶ABD使厶ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.

3.如图1，在Rt△ABC中，二ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分二CDB交边BC于点E,EM丄BD,垂足为M,ENLCD垂足为N.

（1）当AD=CD时，求证：

DE//AC;

（2）探究：

AD为何值时，△BMEW^CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA=--

BC=20cm,AC=30cm,点P从A

点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当

8.在厶ABC中，AC=BC/ACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点.求证：

MCNC=APPB.

M

12.四边形ABCD中,AC为ABAD的比例中项，且AC平分/DAB

BE_町

求证：

丄丄

13.在梯形ABCD中,AB//CDAB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点，EF/AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

££_]&+&DE-2

（1）当时，EF=】;

（2）当…二时,

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO勺边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,D点的坐标为（）

且AD交y轴于点E.那么

EF=

3

;

DE

⑶

当

AE

时，

a+3b

DE

=jt

EF=

4

.当一二

时,

a+2b

参照上述研究结论，请你猜想用一般结论，并给出证明.

a、b和k表示EF的

B.「汀

D.

14.已知：

如图，在

△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF

=FCo

求BNNQQM

10..已知，如图，直线y=-2x+2与坐标轴交于A、B两

点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD使得矩形的两边之比为1:

2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线一一A、X字型

11.如图：

△ABC中，D是AB上一点，AD=ACBC边上的中线AE交CD于F。

A£_CF求证：

」--匚

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a•求证：

「「.

四、相似类定值问题

16.如图，在等边厶ABC中，MN分别是边ABAC的中点，D为MN上任意一点，BDCD的延长线分别交ACAB于点E、F.

11_3

求证:

C.

五、相似之共线线段的比例问题20.

（1）如图1,点匸在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BABC的延

17.已知：

如图，梯形ABCD中,AB//DC，对角线ACBD交于0,过O作EF//AB分别交ADBC于E、F。

1:

_:

求证：

一一丄.

长线于点Q,S,交于点=丁.求证：

PQ=PT

（2）如图2,图3，当点匸在平行四边形ABCD的对角线三「或二三的延长线上时，二'二-是否仍然成立？

若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

因2

15.证明：

（1）重心定理：

三角形顶点到重心的距离等于

2

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFG啲四个顶点分别在△ABC上。

111

+=

求证：

」一’--'丄.

该顶点对边上中线长的一.（注：

重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：

三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.

23.已知如图，P为平行四边形ABCD勺对角线AC上一点，过P的直线与ADBCCD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、GH.

PE_PH

求证：

」丁U

24.已知，如图，锐角△ABC中,ADLBC于D,H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P,且/BPC为直角.求证：

PD2=AD-DH。

六、相似之等积式类

型综合

25.已知如图，CD是Rt△ABC

斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交

CA

21.已知：

如图，△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB延长BP交AC于E,交CF于F.求证：

BP2=PE-PF.

于Fo

求证:

22.如图，已知ΔABC中，AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于Ho求证：

DE2=EG?

EH

26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DFUBM且与AC的延长线交于点E.

求证：

（AEBACBM

（2）AECM=AC-CD

七、相似基本模型应用

30.△ABC^ADEF是两个等腰直角三角形，/A=ZD=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中

占上

八'、一I~*■♦

（1）如图1，设DE与AB交于点M,EF与AC交于点

N求证：

△BEMh^CNE

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的

27.如图，△ABC是直角三角形，/ACB=90,CDLAB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

（1）求证：

'.

（2）若G是BC的中点，连接GDGD与EF垂直吗？

并说明理由•

延长线交于点MEF与AC交于点N,于是，除

（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形

并证明你的结论.

28.如图，四边形ABCDDEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证：

31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为

DE的中点，BR分别交ACCD于点P、Q

（1）请写出图中各对相似三角形

（2）求BP:

PQQR

II

BG

（相似比为1除外）;

29.如图，BDCE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG丄BC于G分别交CE及BA的延长线于F、Ho

求证：

（1）DG2=BG-CG

（2）BG-CG=GF-GH

32.如图，在△ABC中，AD丄BC于D,DE丄AB于E,DF丄

AS_AC

AC于F。

求证：

答案：

1.答案：

解：

（1）•••

/ACB=90,AC=3BC=4/•AB=5

又•••AD=ABAD=5t

•••t=1，此时CE=3

•••DE=3+3-5=1

BDC

如图当点D在点E左侧，即：

0WtW二时，

DE=3t+3-5t=3-2t.

若厶DEG与△ACB相似，有两种情况：

DEEG

1厶DE3AACB此时，二二,

3-2£23

——.—

即：

-4,求得：

t=；

DEEG

2厶DE3ABCA此时H---,

3-2i2£

如图，当点D在点E右侧，即：

t＞二时，

DE=5t-（3t+3）=2t-3.

若厶DEG与△ACB相似，有两种情况：

DEEG

3厶DE3AACB此时,

2^-3_29

即：

「4,求得：

t=f；

DEEG

4厶DE3ABCA此时丄----,

2L-3217

ZZ—

即：

—「，求得：

t=「.

39r?

综上，t的值为「或二或「或「.

3.答案：

解：

（1）证明：

TAD=CD

•••/A=ZACD

•/DE平分JCDB交边BC于点E

AE

105

综上：

AD=5或-时，△BMEW^CNE相似.

4.答案：

解

（1）由题意：

AP=4x,CQ=3xAQ=30-3x,<5

:

丄CDE2BDE

•••/CDB^^CDB勺一个外角

•••/CDB=/A+ZACD=2/ACD

•••/CDB=ZCDE+ZBDE=2/CDE

•ZACDZCDE

•DE//AC

（2）①ZNCEZMBE•/EMLBD,EN丄CD•△BM3ACNE如图

ADMB

•••/NCE=ZMBE

•BD=CD

又•••/NCE+ZACD=ZMBE-ZA=90°

•ZACD=ZA•AD=CD

•AD=BD^AB

•••在Rt△ABC中，JACB=90°,AC=6,BC=8

•AB=10

•AD=5

②ZNCE=ZMEB

•/EMLBD,EN丄CD

•△BME^^ENC如图

4DMB

vZNCE=ZMEB

•EM//CD

•CDLAB

v•在Rt△ABC中，—ACB=90°,AC=6,BC=8

•AB=10

vZA=ZA,ZADC=ZACB

•△AC3AABC

AD_AC

18

AP_AQ4^_30-3x

当PQ//BC时，，即:

---

10

A—-一

解得：

-

40

（2）能，AP=cm或AP=20cm

APAQ4730-3x

—=—二

1厶APQ^^CBQ贝U丁二〔匸,即一、二解得：

•【—匚或一…（舍）

此时：

AP=-cm

APAQ430-3x

—=—二

2厶APQ^^CQB贝U二--z，,即-；••二-

10

A——

解得：

■（符合题意）

40

此时：

AP=•-cm

40

故AP=“cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似.

5.答案：

解：

设运动时间为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.

（1）若厶QAP为等腰直角三角形，贝UAQ=AP即:

6-t=2t,t=2（符合题意）

•t=2时，△QAP为等腰直角三角形.

（2）ZB=ZQAP=90

舷厝6_£_之

1当△QAP^AABC时,一匸,即：

二,

6

t=—

解得：

匚（符合题意）；

AP_AQ2t_€-1

2当△PAQ^^ABC时,丄匸-,即：

二■-,解得：

「二三（符合题意）.

6£=—

•当「或时，以点QA、P为顶点的三角形与△ABC相似.

6.答案：

解：

分两种情况

第一种情况，图象经过第一、三象限

过点A作AB丄OA交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BDLAC则由上可知：

=90°

由双垂直模型知：

△OCMAADB

精品文档

PCAC_OA

:

.「一一—广

A（2,1）,^-AOB=45°

•••0C=2,AC=1,AO=AB

At>0C=2,BD=AC=1

•D点坐标为（2,3）

•B点坐标为（1,3）

•此时正比例函数表达式为：

y=3x

第二种情况，图象经过第二、四象限

IVi:

过点A作AB丄0A交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC

则由上可知：

=90°

由双垂直模型知：

△OCMAADB

PC_AC_0A

•，一一一厂―

•/A（2,1）,MOE=45°

.•.0C=1,AC=2,A0=AB

•AD=0C=1,BD=AC=2

•D点坐标为（3,1）

•B点坐标为（3,-1）

1

•此时正比例函数表达式为：

y=-x

更;圏.当—O注垃：

”

逹按0过点DYAC辿二屈寺議DEf交CA的延长

线于点.吕

腼=2后HO4,BC=2

又TDE丄匚為SED为等建直角三角

师p痕£^Q=¥QU，

-c-_90T

-血Q=.m

二EQ刍乂

.1E=BC=1.DE=AC=^

/-在R\—D£C中・CD=^JlD-CE2=；Vl3

情形二:

毎•豈-L5Q-90比：

m^^.D^BCiZ.上的石嗔DF*花CBhF*统于占耳

VBC-2

/.）匚沪SMT*

PTOFCT7.二密D坷与呼弓龟=乐申.

化BD=A&,sew-网*SC+HA90"+ZBlC+iXae-W'

-*-丄心一FBD*

a艺一m

:

.DF-fiC-2.

7.答案：

解：

情形一:

:

*世Ri-DFC中.CL^^-cr=；^5+

情形三：

'

幻覆，当丄肛加=90时；*

进绘Cd过点D住AC边上E?

喜濫DP+交CE穷延长线于点P,过点A作直线PQ边上的离线AQt交PQ于点？

V朋=川・SC^2

:

.JC2+3CJ=4fl:

L.dCB-90*«■

丈:

DE丄匸疋,厶ABD为筹帯直角三角形.

/.AD=BDf一卩二乂^二90t*

ZpO4+ZeJ^=90P・^Q^4+^BDP=90-”

-'-」®A_BDP.

A、Q4D空FDR、

-*,AQ=DP^dq=b»

V1

ifL「

1

B

y

\

h

解题思路：

如图

V0

8.答案：

证明：

方法

过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M交x轴

于点N,则/M=/DNA=90,

由于折叠，可以得到△ABC^^ADC

又由B（1,3）

•••BC=DC=1AB=AD=MN=3/CDA/B=90°

•••/1+/2=90°

•//DNA=90

•/3+/2=90°

•/仁/3

•△DMOAAND

CM_DM__CD

•：

＞：

"二「~__Z"：

连接PC,过点P作PD丄AC于D,贝UPD//BC

根据折叠可知MN丄CP

1竝

设CM=x贝UDN=3xAN=1+x,DM=31-Hr

••/2+ZPCN=90，/PCN+ZCNM=90

••/2=ZCNM

••/CDP=/NCM=90

•△PD3MCN

•3x+

4

・・x=

••MCCN=PDDC

••PD=DA

•MCCN=DADC

••PD//BC

•DADC=PAPB

dk=t

•MCCN=PAPB

方法二：

如图,

过M作MDLAB于D,过N作NE丄AB于E

由双垂直模型，可以推知厶PMDsNPE,则

MD_PD_PM

旋—而，

MD^PD_PM

根据等比性质可知亠--二--"r,而MD=DANE=EB

PM=C,PN=CN二MCCN=PAPB

9.答案：

A

?

10.答案：

解：

过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交x轴于F,交GC的延长线于E。

•••直线y=-2x+2与坐标轴交于A、B两点

•A（1,0）,B（0,2）

•OA=1,OB=2,AB-"

•/AB:

BC=1:

2

•BC=AD=厂

•••/ABO/CBG=90,/ABO+ZBAO=90

•/CBGZBAO

又•••/CGBZBOA=90

•△OAB^AGBC

OA_GBA

•O^~GC~2

•GB=2GC=4

OA_DF_\

BS

AB

OBAF2DF=2AF=4.・.OF=5・.D（5,2）

•DE

~DF

11.答案：

证明：

（方法一）如图

•/AD=DF

A

zA

BE

AB

•DE

AD

必A\

•/AC为ABAD的比例中项

BC

尸/

•AC2-

AB-AD

/”xt*

//

AD

AC

*卢

2

iF

即月u

AB

又•••/1=/2

延长AE到M使得EM=AE连接CM

•△ACD^AABC

•/BE=CE/AEB=/MEC

AD

ACCD

•△BEA^ACEM

•CM=AB/1=/B

•AC

ABBC

•AB//CM

BC?

AS-AC

AB

•/M=/MAD/MCF/ADF

二'

•CD2

ACAD

•△MCF^AADF

CF_CM

BE

:

.DFAD

•的-

~DE

•/CM=ABAD=AC

a+bk

CFCMAB

—

13.答案：

a疳—

解：

A4-1

精品文档

•••G0=4

二C（4,4）

同理可得厶ADF^ABAO得

•AD=DF

•••/DEF=/BEA/2=/3

•△BEA^ADEF

2

严厂一*

E

（方法二）

过D作DG//BC交AE于G

则厶ABE^AADG△CEF^ADGF

AB_BECF_GE

•二

••?

•/AD=ACBE=CE

CF_BE_AB

•匸…二一工

12.答案：

证明：

过点D作DF//AB交AC的延长线于点F,则/2=/3

•/AC平分/DAB

•••/仁/2

•••/仁/3

证明：

过点E作PQ//BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q

•/AB//CDPQ//BC

•四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形

•PB=EF=CQ-

又•••AB=b,CD=a

•AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF

cr—EFf=£

•RF-b

14.答案：

解：

连接MF•/M是AC的中点，EF=FC

ABBD

AB_BD

•-二二

16.答案：

证明:

1_

•••MF//AE且MM二AE."BEN^ABFM，.BINBM=BE:

BF=NEMF/BE=EF.BNBM=NEMF=1:

2•BN:

NM=1:

1设NE=x，贝UMF=2x,AE=4x•AN=3x•/MF//AE/-ANAQs\MFQ・.NQQM=AN:

MF=3:

2•/BINNM=1:

1,NQQM=3:

2•BINNQQM=5:

3:

2

如图，作DP//ABDQ/AC

则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且厶

15.答案：

证明：

（1）图1

如图1,ADBEABC的中线，且ADBE交于点0

过点C作CF//BE交AD的延长线于点F

•••CF//BE且E为AC中点

•••/AEO=ZACF,/OBD=ZFCDAC=2AE

•/EAO=ZCAF

•△AE3AACF

EO_AE

.•.二1

•/D为BC的中点，/ODB=ZFDC

•••△BOD^ACFD

•BO=CF

EQ_1

.••二2

BO_2

二3

同理，可证另外两条中线

•三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的

2

（2）趾

如图2,ABC的角平分线

过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E

则/BAD玄E

•/ABC的角平分线

•/BAD玄CAD

•/E=ZCAD

•AC=CE

•CE//AB

•△BAD^ACED

DPQ是等边三角形

•BP+CQ=MNDP=DQ=PQ

•/MN分别是边AB,AC的中点

]

•MN=二BC=PQ

•DP//AB,DQ//AC

•△CDP^ACFB△BDQ^ABEC

DP_CPDQ_BQ

•厂A,二

DPDQCPBQEG+PQ3

—+二-+—二二—

.•上匸「三二二1

•/DP=DQ=PQ=二BC=二AB

1113

•二AB（「二・）=2

11_3

17.答案：

证明：

•/EF//AB,AB//DC

•EF//DC

•△AO0AACD△DO3ADBA

EO_AEEODE

•二一二,匸;二

EOEOAEDE.

+=+=]

•二

11_1

上一二二