北师大版高中数学必修一课时作业二十六 412.docx

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北师大版高中数学必修一课时作业二十六412

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课时提升作业（二十六）

利用二分法求方程的近似解

（30分钟　50分）

一、选择题（每小题3分,共18分）

1.（2014·中山高一检测）下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）

【解析】选B.二分法的理论依据是零点定理,使用的前提是零点两侧函数值异号.而图B零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.

2.已知f（x）=x3-3x,用二分法求方程f（x）=1的近似解时,在下列哪一个区间内至少有一解（　　）

A.（-3,-2）B.（0,1）

C.（2,3）D.（-1,0）

【解析】选D.设g（x）=f（x）-1,则g（-1）=1,g（0）=-1,g（-1）g（0）<0.故在区间（-1,0）上至少有一解.

3.若函数f（x）在[a,b]上连续,且同时满足f（a）f（b）<0,f（a）f

>0,则（　　）

A.f（x）在

上有零点

B.f（x）在

上有零点

C.f（x）在

上无零点

D.f（x）在

上无零点

【解析】选B.f（a）f（b）<0,f（a）f

>0,

所以f（b）f

<0,f（x）在

上有零点.

4.（2014·济源高一检测）用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是

（　　）

A.[-2,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[1,2]

【解析】选A.因为f（-2）=-8+5=-3<0,f

（1）=1+5=6>0,所以初始区间可为[-2,1].

5.（2014·南阳高一检测）设f（x）=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1,2）内近似解的过程中得f

（1）<0,f（1.5）>0,f（1.25）<0,则方程的根落在区间（　　）

A.（1,1.25）内B.（1.25,1.5）内

C.（1.5,2）内D.不能确定

【解析】选B.由题意知f（x）在（1,2）内连续且f（1.25）<0,f（1.5）>0,所以方程的根在（1.25,1.5）内.

6.（2014·浏阳高一检测）用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn]（n∈N）上,当|an-bn|

与真实零点a的误差最大不超过（　　）

A.

B.

C.mD.2m

【解析】选B.因为取中点,故零点的近似值与真实零点的误差最大不超过区间长度的一半即

.

二、填空题（每小题4分,共12分）

7.（2014·宿迁高一检测）用二分法求函数y=f（x）在区间[2,4]上的近似零点（精度为0.01）,验证f

（2）·f（4）<0,取区间[2,4]的中点x1=

=3,计算得f

（2）·f（x1）<0,则此时零点x0所在的区间是　　　　　.

【解析】因为f

（2）·f（4）<0,f

（2）·f（3）<0,

因此f（3）·f（4）>0,所以x0∈（2,3）.

答案：

（2,3）

8.（2014·南昌高一检测）用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点C=

则下一个含根的区间是　　　　　.

【解析】令f（x）=lnx-2+x,则f

（1）=-2+1<0,

f

（2）=ln2-2+2>0,

又f

=ln

-2+

=ln

-

=ln

-ln

=ln

<0,

所以,下一个含根的区间是

.

答案：

【变式训练】在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将解锁定在区间（1,2）内,则下一步可以断定解所在的区间为　　　　　.

【解析】令f（x）=x3-2x-1,

则f（1.5）=1.53-2×1.5-1=-0.625<0,

f

（1）=13-2×1-1=-2<0,

f

（2）=23-2×2-1=3>0,

所以f（1.5）·f

（2）<0,所以解所在的区间为（1.5,2）.

答案：

（1.5,2）

9.（2014·临沂高一检测）用二分法求方程x3-9=0在区间（2,3）内的近似解经过

　　　　　次“二分”后精度能达到0.01.

【解析】设n次“二分”后精度达到0.01,

因为区间（2,3）的长度为1,

所以

<0.01,即2n>100.

注意到26=64<100,27=128>100.

故要经过7次二分后精度达到0.01.

答案：

7

三、解答题（每小题10分,共20分）

10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点（精度为0.01）.

【解析】令f（x）=x3-3,由于f

（1）=-2<0,f

（2）=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算：

如表

次数

左端点

左端点

函数值

右端点

右端点

函数值

第1次

1

-2

2

5

第2次

1

-2

1.5

0.375

第3次

1.25

-1.0469

1.5

0.375

第4次

1.375

-0.4004

1.5

0.375

第5次

1.4375

-0.0295

1.5

0.375

第6次

1.4375

-0.0295

1.46875

0.1684

第7次

1.4375

-0.0295

1.453125

0.06838

第8次

1.4375

-0.0295

1.4453125

0.0192

由于1.4453125-1.4375≈0.0078<0.01,

因此可以取[1.4375,1.4453125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.445作为函数y=x3-3的一个正零点的近似值.

11.（2014·西安高一检测）利用二分法,借助计算器,求方程lgx=2-x的近似解.（精度为0.1）

【解题指南】解答本题可首先确定lgx=2-x的根的大致区间,y1=lgx,y2=2-x的图像可以作出,由图像确定根的大致区间,再用二分法求解.

【解析】作出y1=lgx,y2=2-x的图像,可以发现,方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间[1,2]内.

设f（x）=lgx+x-2,用计算器计算得

f

（1）<0,f

（2）>0⇒x∈[1,2];

f（1.5）<0,f

（2）>0⇒x∈[1.5,2];

f（1.75）<0,f

（2）>0⇒x∈[1.75,2];

f（1.75）<0,f（1.875）>0⇒x∈[1.75,1.875];

f（1.75）<0,f（1.8125）>0⇒x∈[1.75,1.8125].

由于1.8125-1.75=0.0625<0.1,

因此可以取[1.75,1.8125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.8作为方程lgx=2-x的近似解.

（30分钟　50分）

一、选择题（每小题4分,共16分）

1.下列函数图象均与x轴有交点,其中能用二分法求函数零点的是（　　）

【解析】选C.能用二分法求函数零点的函数,在零点左右两侧的函数值符号必须相反,由图象可得,只有C能满足此条件.

2.（2014·宜春高一检测）若函数f（x）的图像是连续不断的,且f（0）>0,f

（1）f

（2）f（4）<0,则下列结论正确的是（　　）

A.函数f（x）在区间（0,1）内有零点

B.函数f（x）在区间（1,2）内有零点

C.函数f（x）在区间（0,2）内有零点

D.函数f（x）在区间（0,4）内有零点

【解析】选D.由于f（0）>0,f

（1）f

（2）f（4）<0,故函数f（x）在区间（0,4）内有零点.

【误区警示】本题在求解中常误认为函数的零点必在最小区间内,导致错选A.

3.（2014·海淀高一检测）设f（x）=2x+x-2,用二分法求方程2x+x-2=0在（0,1）内近似解的过程中得f（0）<0,f

（1）>0,f（0.5）<0,则方程的根落在区间（　　）

A.（0,0.5）B.（0.5,1）

C.不能确定D.都不正确

【解析】选B.因为f（0）<0,f

（1）>0,f（0.5）<0,所以f

（1）f（0.5）<0.结合二分法的特征及求解原理可知方程的根落在区间（0.5,1）内.

4.（2014·荆州高一检测）已知函数f（x）=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1,3）内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为（　　）

A.（1,2）B.（2,3）C.（1,2）或（2,3）D.不能确定

【解析】选A.令f（x）=3x+3x-8,

所以f

（1）=3+3-8=-2<0,f

（2）=9+6-8>0,

所以f

（1）f

（2）<0,

所以下一个有根区间为（1,2）.

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.（2014·重庆高一检测）已知图像连续不断的函数y=f（x）在区间（0,0.1）上有唯一的零点,如果用“二分法”求这个零点（精度为0.01）的近似值,则应将区间（0,0.1）等分的次数至少为　　　　　次.

【解析】由

<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.

答案：

4

6.已知函数f（x）=logax+x-b（a>0且a≠1）.当2

【解析】因为函数f（x）=logax+x-b（2

f

（2）=loga2+2-b

f（3）=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0,

所以x0∈（2,3）即n=2.

答案：

2

【误区警示】本题在求解中常因为不知如何使用条件“2

三、解答题（每小题12分,共24分）

7.（2014·珠海高一检测）求方程x3-x-1=0在区间（1,1.5）内的一个近似解（精度为0.1）.

（提示：

1.53=3.375,1.253≈1.953,1.3753≈2.6,

1.31253≈2.261）.

【解题指南】求方程x3-x-1=0的近似解可以构造函数f（x）=x3-x-1,转化为求函数f（x）在（1,1.5）内的近似零点.

【解析】设f（x）=x3-x-1.

由于f

（1）=1-1-1=-1<0,

f（1.5）=3.375-1.5-1=0.875>0,

所以f（x）在区间（1,1.5）上存在零点.

取区间（1,1.5）作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下：

端点（中点）坐标

中点函数值符号

零点所在区间

（1,1.5）

1.25

f（1.25）<0

（1.25,1.5）

1.375

f（1.375）>0

（1.25,1.375）

1.3125

f（1.3125）<0

（1.3125,1.375）

因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,

故我们可以选取区间[1.3125,1.375]内的任意一个数作为函数f（x）=x3-x-1的近似零点.例如,我们取1.375为方程x3-x-1=0在（1,1.5）内的一个近似解.

8.某电视台曾有一档娱乐节目,主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手,某次猜一种品牌的手机,手机价格在500～1000元之间.选手开始报价1000元,主持人说：

高了;紧接着报价900元,高了;700元,低了;800元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,你猜中了.表面上看,猜价格具有很大的碰运气的成分;实际上,游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想.你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?

【解题指南】结合二分法的求解原理,先选定初始区间,然后取中点,逐步逼近真实值.

【解析】取价格区间[500,1000]的中点750.

如果主持人说低了,就再取[750,1000]的中点875;

否则取另一个区间（500,750）的中点.

若遇到小数,则取整数.照这样的方案,游戏过程中猜价如下：

750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.

【变式训练】在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量不同,假币较轻）,现在只有一台天平,请问：

你最多称多少次就可以发现这枚假币?

【解析】将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币在较轻的那13枚金币里面,将这13枚金币拿出1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在较轻的那6枚金币里面;将这6枚平均分成两份,则假币一定在较轻的那3枚金币里面;将这3枚金币任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则较轻的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.

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