DSP课程设计8点基于DIF的FFT的实现精.docx
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DSP课程设计8点基于DIF的FFT的实现精
课程设计任务书
学生姓名:
专业班级:
指导教师:
工作单位:
题目:
8点基于DIF的FFT的实现
初始条件:
具备数字信号处理的理论知识;
具备Matlab编程能力;
熟悉基于DIF的FFT的实现原理;
提供编程所需要的计算机一台
要求完成的主要任务:
(包括课程设计工作量及其技术要求,以及说明书撰写等具体要求)
1、独立编写一个8点的基于DIF的FFT实现程序,不能使用matlab自带的FFT实现函数
2、程序运行结果与matlab自带函数结果进行对比
3、完成符合学校要求的设计说明书
时间安排:
一周,其中3天程序设计,2天程序调试
指导教师签名:
年月日
系主任(或责任教师)签名:
年月日
XX大学《数字信号处理》课程设计说明书
目录
摘要································································································································I1Matlab软件简介········································································································1
1.1Matlab语言的历史··························································································1
1.2Matlab软件概况······························································································1
1.3Matlab的特点··································································································12快速傅里叶变换算法分析························································································3
2.1FFT简介···········································································································3
2.2按频率抽选的FFT算法·················································································33程序设计····················································································································6
3.1程序设计思路··································································································6
3.2要使用的Matlab函数····················································································64程序流程图················································································································85源程序························································································································9
5.1直接调用FFT函数源程序·············································································9
5.2FFT计算源程序·······························································································96程序运行结果分析··································································································11
6.1程序运行结果································································································11
6.2结果分析········································································································127课程设计心得体会··································································································13参考文献······················································································································14致谢······························································································································15
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摘要
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,FFT算法通过利用旋转因子的性质,将一个大点数DFT化成几个小点数DFT,就可以大大减少运算量。
DIF-FFT是利用频率抽选的FFT算法,在Matlab中可以通过三重循环语句实现。
关键词:
FFT,蝶形运算,倒序排列
I
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1Matlab软件简介
1.1Matlab语言的历史
70年代后期,身为美国NewMexico大学计算机系系主任的CleveMoler发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序。
CleveMoler给这个接口程序取名为Matlab。
1984年,为了推广Matlab在数值计算中的应用,CleveMoler、JohonLittle等正式成立了Mathworks公司,从而把Matlab推向市场,并开始了对Matlab工具相等的开发设计。
1.2Matlab软件概况
Matlab是MatrixLaboratory的缩写,意为矩阵实验室。
它具有强大的矩阵处理功能和绘图功能,进还能进行文字处理,绘图,建模仿真等功能。
随着版本的不断升级,它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。
Matlab已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。
在欧美等高校,Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
1.3Matlab的特点
Matlab有以下一些特点:
Matlab的帮助功能很强大,自带有详细的帮助手册,基于HTML的完整的帮助功能,也可以用help命令来得到帮助信息。
程序语法与C语言类似,设计自由度大,方便我们编程。
例如在Matlab里,用户无需对变量预定义就可使用。
大量数学函数已经定义好,并且有很强的用户自定义函数的能力。
Matlab有高级的程序环境,但程序环境很简单易用,有与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力;Matlab既具有结构化的控制语句,又有面向对象编程的特性。
还有一个原因使Matlab受人们欢迎的,那就是Matlab源程序具有很大的开放性。
除了内部函数以外,所有Matlab的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件,用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。
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Matlab有强大的的图形绘制功能。
在Matlab里,数据可视化的操作非常简单易用。
Matlab还有较强的编辑图形界面的能力。
可以用来声成图解和可视化的二维、三维图。
Matlab还拥有功能强大的各种工具箱。
其工具箱分为两类:
功能性工具箱和学科性工具箱。
功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能,图示建模仿真功能,文字处理功能以及与硬件实时交互功能。
功能性工具箱用于多种学科。
而学科性工具箱是专业性比较强的,如(control、signalproceessing、commumnication)toolbox等。
这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的,所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序,而直接进行高,精,尖的研究,能极大地促进我们的学习研究工作。
虽然Matlab有很多优点,但它也有一些缺点,比如:
由于Matlab的程序不用编译等预处理,也不生成可执行文件,程序为解释执行,所以速度较慢。
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2快速傅里叶变换算法分析
2.1FFT简介
快速傅里叶变换(FFT)是离散傅里叶变换(DFT)的快速算法,他在傅里叶变换理论上并没有新的发现,但是却极大的减少了离散傅里叶变换的运算量。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
1965年,库利和图基合作在《MathematicsofComputation》上发表了论文《AnAlgorithmfortheMachineComputationofComplexFourierSeries》,提出了按时抽取的快速傅立叶变换算法,也称库利-图基算法,被视为DSP走向应用的开端。
从此,对快速傅里叶变换算法的研究便不断深入,数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
之所以需要快速傅里叶变换,是因为离散傅里叶变换的运算量较大。
离散傅里叶变换的公式为:
正变换:
X(k)=DFT[x(n)]=∑x(n)WNn=0N-1nkn=0,1,2…,N-11N-1-nk逆变换:
x(n)=IDFT[x(n)]=∑X(k)WNn=0,1,2…,N-1Nk=0
一般情况下WN,x(n),X(k)都是复序列,计算一个完整的N点DFT需要N2次复数乘法与N-1次复数加法,当N极大时运算量与N2成正比,运算量将过于巨大,不方便应用。
而FFT算法通过利用旋转因子的性质,将一个大点数DFT化成几个小点数DFT,就可以大大减少运算量。
2.2按频率抽选的FFT算法
FFT算法主要有两种,按时间抽选的FFT的算法(DIT-FFT)和按频率抽选的FFT算法(DIF-FFT)。
这里主要介绍DIF-FFT。
DIF-FFT算法是将输入序列x(k)分成前后两个部分。
X(k)=∑x(n)WN=n=0
N-12
n=0N-1nk∑x(n)Wn=0N-12nkN+∑x(n)Wn=N2N-1nkN=∑x(n)WNn=0N-1nkNNk(n+)+∑x(n+)WN22n=0N-1=∑[x(n)+x(n+NNk/2nk)WN]WN2
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由于WN
N/2
=-1,则WN
N-12n=0
Nk/2
=(-1)
k
⎧1k为偶数=⎨
⎩-1k为奇数
所以X(k)=∑[x(n)+(-1)x(n+
k
Nnk)]WN2
k为偶数⎧k=2r
把k按奇数和偶数分,⎨r=0,1,…N/2-1
⎩k=2r+1k为奇数
将X(k)分为两部分:
X(2r+1)=∑[x(n)-x(n+
n=0
N-12
Nnrn)]WNWN/22
X(2r)=∑[x(n)+x(n+
n=0
N-12
Nnr)]WN/22
令x1=x(n)+x(n+
N-12
NNn
),x2=[x(n)-x(n+)]WN,可得22
rn
⎫
X(2r)=∑x1(n)WN/2⎪
⎪⎪n=0
⎬,r=0,1,2,…,N/2-1N
-1
⎪2
rn
X(2r+1)=∑x2(n)WN/2⎪
⎪n=0⎭
由此可得频率抽选法蝶形运算单元,如图2.1所示
x(n)N
x(n+)
2
nx1=x(n)+x(n+
N)2Nn
)]WN2
x2=[x(n)-x(n+
图2.1频率抽选法蝶形运算单元
这样可以把一个N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合,两个N/2点DFT还可以继续分解,设N=2M,则经过M-1次分解,最后可以分解成为N/2个两点DFT,可以由一个蝶形运算来求解。
例如8点DIF-FFT蝶形运算图如图2.2
4
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图2.28点DIF-FFT运算流图。
输出序列的排列规律不是从小到大按顺序的,而是按照倒叙规则排序的,即先将0-7转换为二进制数,然后将二进制数左右倒序,再转为十进制就可以得到新的数列,即:
0,4,2,6,1,5,3,7。
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3程序设计
3.1程序设计思路
由8点FFT运算的蝶形图可知,FFT运算的基本单元是一个个蝶形运算单元,一个蝶形运算单元可以用几条语句实现,然后可以用循环语句来进行各个蝶形运算单元的计算。
8点FFT的蝶形运算有3级,第1级有1组,每组4个蝶形运算单元,旋转因子是W80、W81、W82、W83;第2级有2组,每组2个蝶形运算单元,循环因子是W40,W41;第3级有4组,每组1个蝶形运算单元,旋转因子是W20。
总结运算规律,来设定循环语句。
第一层循环在1到3级间循环,循环变量mm=1,2,3。
旋转因子下标Nm=24-mm=8,4,2。
第二层循环在该级的各组间循环,每级有2mm-1组,每组第一行对应的x值为:
第1级是x(0),第2级是x(0),x(4),第3级是x(0),x
(2),x(4),x(6)。
设第二层循环变量为p,则在Matlab中,p=0:
Nm:
7。
第三层循环在该组的各个蝶形运算单元间循环,每组有Nm/2个蝶形运算单元,则循环变量k从1到Nm/2,旋转因子是e-2π(k-1)j
Nm,每次蝶形运算跨越的行
数是Nm/2,则参加蝶形运算的x值为x(k+p)和x(k+p+Nm/2)。
循环完成后则FFT运算完成,再将x序列按倒叙规律重新排列就可以得到X(k)序列。
3.2要使用的Matlab函数
程序设计思路已经有了,结下来分析如何在Matlab里具体实现该程序。
Matlab的语法并不困难,掌握了所需的函数后就能很快设计出程序了,这里主要介绍一下要用到的函数。
直接用Matlab计算N点FFT可以用函数fft(x,N),在此课设中用来和自编程序对照结果。
还用到一些计算函数,如exp(x)计算e的x次方,abs(x)计算x绝对值。
倒序运算主要用到的函数有,dec2bin(x,m),是把十进制序列x转换为m位二进制数,bin2dec(x,m)也是类似功能。
fliplr函数是将一个矩阵左右颠倒,则程
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序中求倒序的语句就是:
d=bin2dec(fliplr(dec2bin([0:
N-1],m)))+1;
y=x(d);
x是N点序列,执行完语句后,y序列就是x序列的倒序排列。
计算完成结果要绘图输出,要用到的函数是subplot(a,b,c),功能是让下面的语句绘制a行b列图形中的第c个。
绘图用stem(x,y)函数,是以x序列为横轴,y序列为纵轴,绘制离散的图像。
绘完图可以用title函数给图像命名。
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图4.1程序流程图
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5源程序
5.1直接调用FFT函数源程序
以下是直接调用Matlab自带的FFT函数计算的源程序,其输入序列为x=[02460246],求出FFT结果y=X(k)后对其幅值和原序列进行绘图。
N=8;
n=0:
N-1;%FFT点数为8点%横坐标序列
%设定输入x(n)序列
%调用FFT函数求X(k)序列,y=X(k)
%求幅值x=[02460246];y=fft(x,N)mag=abs(y);
subplot(2,1,1);
stem(n,x);%绘制原序列
title('输入序列x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n,mag);%绘制X(k)序列
title('8点调用FFT函数计算结果')
5.2FFT计算源程序
以下是本次课程设计编写的FFT计算程序,输入序列和5.1的程序一样,都是x=[02460246],y等于FFT输出序列X(k),最后对y的幅值和原序列进行绘图。
N=8;
n=0:
N-1;%设定FFT点数为8点%横坐标序列
%设定输入序列x(n)
%暂存x序列到x1
%求蝶形运算级数m
%循环mm=1到3级蝶形运算
%求该级旋转因子下标Nm,Nm=8,4,2x=[02460246];x1=x;m=log2(N);formm=1:
mNm=2^(m-mm+1);
forp=0:
Nm:
N-1%循环该级1到2mm-1组蝶形运算
fork=1:
Nm/2%循环该组1到23-mm个蝶形运算
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kp=k+Nm/2+p;
a=x(kp);%确定蝶形运算对应单元下标%暂存x(xp)
x(kp)=(x(k+p)-a)*exp(-j*2*pi*(k-1)/Nm);
x(k+p)=x(k+p)+a;
end
end
end
d=bin2dec(fliplr(dec2bin([0:
N-1],m)))+1;%把0-7倒序排列y=x(d)
%y=x序列的倒序,即y=X(k)%求y幅值%x恢复成原序列%进行蝶形运算mag=abs(y);x=x1;
subplot(2,1,1);
stem(n,x);%绘制原序列
title('输入序列x(n)');
subplot(2,1,2);
stem(n,mag);%绘制X(k)序列
title('8点FFT计算结果')
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6程序运行结果分析
6.1程序运行结果
首先在Matlab中输入源程序,然后保存,选择Debug菜单中的Run执行程序。
如图6.1:
图6.1Matlab界面
首先运行程序1,即直接调用Matlab自带的FFT函数计算。
运行结果如图
6.2所示。
y序列即X(k)序列为y={240-8+8i0-80-8-8i0}。
图6.2调用FFT函数运行结果1
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然后是用自己编写的FFT计算函数,运行得到如图6.3所示结果。
y序列即X(k)序列为y={240-8+8i0-80-8-8i0}。
图6.3运行结果2
6.2结果分析
通过比较图6.2和图6.3可以看出,两者的FFT结果完全一样,可以证明编写的FFT程序正确,达到了课程设计的任务要求。
而且本程序不仅可以计算8点FFT,也可以计算N点FFT(N=2m),经测试结果也是正确的。
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7课程设计心得体会
通过Matlab一周以来的学习研究,我对Matlab有了初步的认识,我掌握了Matlab的基本操作,并学会了用Matlab解决一些电路和数学上的问题,下面是我具体的一些体会
Matlab功能非常强大,几乎可以计算我们目前所遇到的任何问题,不仅可以计算数学问题,也可以用来解决电路等其他学科的各种问题。
而且我们可以自编函数,从而可以解决更多样的问题。
但以目前我们的知识,只能掌握Matlab的一小部分功能,在以后的学习中,我还需要继续学习Matlab的相关知识。
Matlab虽然功能非常强大,但其操作却非常简单,它的语法类似于我们以前学过的C语言,使我很容易上手,而其语法比C语言更为自由,限制更少,语法类似于自然语言,简洁而智能化,使我可以很容易的编写程序且不容易出错。
关于绘图的操作则比C语言简单得多,用几条简单的语句就可以绘出各种曲线、图形,使我们的学习研究变的非常方便。
通过本次课程设计我掌握了FFT的编程方法,对FFT有了更深刻的了解。
我认为学习Matlab的关键在于函数,只要掌握了函数的用法,那么就能很快的编出程序。
而Matlab的难点也正是函数,因为Matlab拥有大量的函数,仅仅基本的函数就超过七百个,要是算上专业拓展函数那就更多,想在短时间内掌握这么多函数是很难的。
我认为应该多练多学,在解决问题的过程中学习并记住所用的函数,有不懂的就查资料,问同学,争取彻底搞懂所作的问题,并牢牢掌握,这样以后就可以独立解决类似问题。
在这次课程设计中,我学到了很多关于Matlab的知识,但这还远远不够,我现在只掌握了一些基本的功能,而解决更高级问题我的知识还不够,我要在日后进一步学习,更好地掌握Matlab。
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参考文献
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电子工业出版社,2005.
[2]陈怀琛,吴大正,高西全.Matlab及在电子信息课程中的应用,第三版.北京:
电子工业出版社,2006.
[3]杨高波,元波.精通Matlab7.0混合编程.北京:
电子工业出版社,2006.
[4]陈怀琛.Matlab及其在理工课程中的应用指南.西安:
西安电子科技大学出版社,2000.
[5]张小虹.信号、系统与数字信号处理.北京:
机械工业出版社,2004.
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致谢
本次课设的指导老师XXX老师给了我很大帮助,帮助我修订了课程设计说明书,巩固了数字信号处理的相关知识,使我的知识水平有了较大提高。
我的数字信号处理老师XX在课堂上认真细致的讲解也使我受益匪浅,在此对他们表示诚挚的谢意。
我同组的同学也给了我很多帮助,我们共同努力完成了本次课程设计,在此也对他们表示感谢。
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本科生课程设计成绩评定表
指导教师签字:
_____________年月日