DSP课程设计8点基于DIF的FFT的实现精.docx
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DSP课程设计8点基于DIF的FFT的实现精
课程设计任务书
学生姓名：
专业班级：
指导教师：
工作单位：
题目：
8点基于DIF的FFT的实现
初始条件：
具备数字信号处理的理论知识；
具备Matlab编程能力；
熟悉基于DIF的FFT的实现原理；
提供编程所需要的计算机一台
要求完成的主要任务：
（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、独立编写一个8点的基于DIF的FFT实现程序，不能使用matlab自带的FFT实现函数
2、程序运行结果与matlab自带函数结果进行对比
3、完成符合学校要求的设计说明书
时间安排：
一周，其中3天程序设计，2天程序调试
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
XX大学《数字信号处理》课程设计说明书
目录
摘要································································································································I1Matlab软件简介········································································································1
1.1Matlab语言的历史··························································································1
1.2Matlab软件概况······························································································1
1.3Matlab的特点··································································································12快速傅里叶变换算法分析························································································3
2.1FFT简介···········································································································3
2.2按频率抽选的FFT算法·················································································33程序设计····················································································································6
3.1程序设计思路··································································································6
3.2要使用的Matlab函数····················································································64程序流程图················································································································85源程序························································································································9
5.1直接调用FFT函数源程序·············································································9
5.2FFT计算源程序·······························································································96程序运行结果分析··································································································11
6.1程序运行结果································································································11
6.2结果分析········································································································127课程设计心得体会··································································································13参考文献······················································································································14致谢······························································································································15
XX大学《数字信号处理》课程设计说明书
摘要
快速傅里叶变换（FFT）是离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，FFT算法通过利用旋转因子的性质，将一个大点数DFT化成几个小点数DFT，就可以大大减少运算量。
DIF-FFT是利用频率抽选的FFT算法，在Matlab中可以通过三重循环语句实现。
关键词：
FFT，蝶形运算，倒序排列
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1Matlab软件简介
1.1Matlab语言的历史
70年代后期,身为美国NewMexico大学计算机系系主任的CleveMoler发现学生用FORTRAN编写接口程序很费时间,于是他开始自己动手,利用业余时间为学生编写EISPACK和LINPACK的接口程序。
CleveMoler给这个接口程序取名为Matlab。
1984年，为了推广Matlab在数值计算中的应用，CleveMoler、JohonLittle等正式成立了Mathworks公司，从而把Matlab推向市场，并开始了对Matlab工具相等的开发设计。
1.2Matlab软件概况
Matlab是MatrixLaboratory的缩写，意为矩阵实验室。
它具有强大的矩阵处理功能和绘图功能，进还能进行文字处理，绘图，建模仿真等功能。
随着版本的不断升级，它在数值计算及符号计算功能上得到了进一步完善。
Matlab已经发展成为多学科、多种工作平台的功能强大的大型软件。
在欧美等高校，Matlab已经成为线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
1.3Matlab的特点
Matlab有以下一些特点：
Matlab的帮助功能很强大，自带有详细的帮助手册，基于HTML的完整的帮助功能，也可以用help命令来得到帮助信息。
程序语法与C语言类似，设计自由度大，方便我们编程。
例如在Matlab里，用户无需对变量预定义就可使用。
大量数学函数已经定义好，并且有很强的用户自定义函数的能力。
Matlab有高级的程序环境，但程序环境很简单易用，有与其它语言编写的程序结合和输入输出格式化数据的能力；Matlab既具有结构化的控制语句，又有面向对象编程的特性。
还有一个原因使Matlab受人们欢迎的，那就是Matlab源程序具有很大的开放性。
除了内部函数以外，所有Matlab的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。
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Matlab有强大的的图形绘制功能。
在Matlab里，数据可视化的操作非常简单易用。
Matlab还有较强的编辑图形界面的能力。
可以用来声成图解和可视化的二维、三维图。
Matlab还拥有功能强大的各种工具箱。
其工具箱分为两类：
功能性工具箱和学科性工具箱。
功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。
功能性工具箱用于多种学科。
而学科性工具箱是专业性比较强的，如（control、signalproceessing、commumnication）toolbox等。
这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高，精，尖的研究，能极大地促进我们的学习研究工作。
虽然Matlab有很多优点，但它也有一些缺点，比如：
由于Matlab的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
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2快速傅里叶变换算法分析
2.1FFT简介
快速傅里叶变换（FFT）是离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，他在傅里叶变换理论上并没有新的发现，但是却极大的减少了离散傅里叶变换的运算量。
快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
1965年，库利和图基合作在《MathematicsofComputation》上发表了论文《AnAlgorithmfortheMachineComputationofComplexFourierSeries》，提出了按时抽取的快速傅立叶变换算法，也称库利-图基算法，被视为DSP走向应用的开端。
从此，对快速傅里叶变换算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT的出现和发展而迅速发展。
之所以需要快速傅里叶变换，是因为离散傅里叶变换的运算量较大。
离散傅里叶变换的公式为：
正变换：
X（k）=DFT[x（n）]=∑x（n）WNn=0N-1nkn=0，1，2…，N-11N-1-nk逆变换：
x（n）=IDFT[x（n）]=∑X（k）WNn=0，1，2…，N-1Nk=0
一般情况下WN，x（n），X（k）都是复序列，计算一个完整的N点DFT需要N2次复数乘法与N-1次复数加法，当N极大时运算量与N2成正比，运算量将过于巨大，不方便应用。
而FFT算法通过利用旋转因子的性质，将一个大点数DFT化成几个小点数DFT，就可以大大减少运算量。
2.2按频率抽选的FFT算法
FFT算法主要有两种，按时间抽选的FFT的算法（DIT-FFT）和按频率抽选的FFT算法（DIF-FFT）。
这里主要介绍DIF-FFT。
DIF-FFT算法是将输入序列x（k）分成前后两个部分。
X（k）=∑x（n）WN=n=0
N-12
n=0N-1nk∑x（n）Wn=0N-12nkN+∑x（n）Wn=N2N-1nkN=∑x（n）WNn=0N-1nkNNk（n+）+∑x（n+）WN22n=0N-1=∑[x（n）+x（n+NNk/2nk）WN]WN2
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由于WN
N/2
=-1，则WN
N-12n=0
Nk/2
=（-1）
k
⎧1k为偶数=⎨
⎩-1k为奇数
所以X（k）=∑[x（n）+（-1）x（n+
k
Nnk）]WN2
k为偶数⎧k=2r
把k按奇数和偶数分，⎨r=0，1，…N/2-1
⎩k=2r+1k为奇数
将X（k）分为两部分：
X（2r+1）=∑[x（n）-x（n+
n=0
N-12
Nnrn）]WNWN/22
X（2r）=∑[x（n）+x（n+
n=0
N-12
Nnr）]WN/22
令x1=x（n）+x（n+
N-12
NNn
），x2=[x（n）-x（n+）]WN，可得22
rn
⎫
X（2r）=∑x1（n）WN/2⎪
⎪⎪n=0
⎬，r=0，1，2，…，N/2-1N
-1
⎪2
rn
X（2r+1）=∑x2（n）WN/2⎪
⎪n=0⎭
由此可得频率抽选法蝶形运算单元，如图2.1所示
x（n）N
x（n+）
2
nx1=x（n）+x（n+
N）2Nn
）]WN2
x2=[x（n）-x（n+
图2.1频率抽选法蝶形运算单元
这样可以把一个N点DFT分解为两个N/2点DFT的组合，两个N/2点DFT还可以继续分解，设N=2M，则经过M-1次分解，最后可以分解成为N/2个两点DFT，可以由一个蝶形运算来求解。
例如8点DIF-FFT蝶形运算图如图2.2
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图2.28点DIF-FFT运算流图。
输出序列的排列规律不是从小到大按顺序的，而是按照倒叙规则排序的，即先将0-7转换为二进制数，然后将二进制数左右倒序，再转为十进制就可以得到新的数列，即：
0，4，2，6，1，5，3，7。
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3程序设计
3.1程序设计思路
由8点FFT运算的蝶形图可知，FFT运算的基本单元是一个个蝶形运算单元，一个蝶形运算单元可以用几条语句实现，然后可以用循环语句来进行各个蝶形运算单元的计算。
8点FFT的蝶形运算有3级，第1级有1组，每组4个蝶形运算单元，旋转因子是W80、W81、W82、W83；第2级有2组，每组2个蝶形运算单元，循环因子是W40，W41；第3级有4组，每组1个蝶形运算单元，旋转因子是W20。
总结运算规律，来设定循环语句。
第一层循环在1到3级间循环，循环变量mm=1，2，3。
旋转因子下标Nm=24-mm=8，4，2。
第二层循环在该级的各组间循环，每级有2mm-1组，每组第一行对应的x值为：
第1级是x（0），第2级是x（0），x（4），第3级是x（0），x
（2），x（4），x（6）。
设第二层循环变量为p，则在Matlab中，p=0：
Nm：
7。
第三层循环在该组的各个蝶形运算单元间循环，每组有Nm/2个蝶形运算单元，则循环变量k从1到Nm/2，旋转因子是e-2π（k-1）j
Nm，每次蝶形运算跨越的行
数是Nm/2，则参加蝶形运算的x值为x（k+p）和x（k+p+Nm/2）。
循环完成后则FFT运算完成，再将x序列按倒叙规律重新排列就可以得到X（k）序列。
3.2要使用的Matlab函数
程序设计思路已经有了，结下来分析如何在Matlab里具体实现该程序。
Matlab的语法并不困难，掌握了所需的函数后就能很快设计出程序了，这里主要介绍一下要用到的函数。
直接用Matlab计算N点FFT可以用函数fft（x,N），在此课设中用来和自编程序对照结果。
还用到一些计算函数，如exp（x）计算e的x次方,abs（x）计算x绝对值。
倒序运算主要用到的函数有，dec2bin（x,m），是把十进制序列x转换为m位二进制数，bin2dec（x,m）也是类似功能。
fliplr函数是将一个矩阵左右颠倒，则程
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序中求倒序的语句就是：
d=bin2dec（fliplr（dec2bin（[0:
N-1],m）））+1;
y=x（d）;
x是N点序列，执行完语句后，y序列就是x序列的倒序排列。
计算完成结果要绘图输出，要用到的函数是subplot（a,b,c），功能是让下面的语句绘制a行b列图形中的第c个。
绘图用stem（x,y）函数，是以x序列为横轴，y序列为纵轴，绘制离散的图像。
绘完图可以用title函数给图像命名。
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图4.1程序流程图
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5源程序
5.1直接调用FFT函数源程序
以下是直接调用Matlab自带的FFT函数计算的源程序，其输入序列为x=[02460246]，求出FFT结果y=X（k）后对其幅值和原序列进行绘图。
N=8;
n=0:
N-1;%FFT点数为8点%横坐标序列
%设定输入x（n）序列
%调用FFT函数求X（k）序列，y=X（k）
%求幅值x=[02460246];y=fft（x,N）mag=abs（y）;
subplot（2,1,1）;
stem（n,x）;%绘制原序列
title（'输入序列x（n）'）;
subplot（2,1,2）;
stem（n,mag）;%绘制X（k）序列
title（'8点调用FFT函数计算结果'）
5.2FFT计算源程序
以下是本次课程设计编写的FFT计算程序，输入序列和5.1的程序一样，都是x=[02460246]，y等于FFT输出序列X（k），最后对y的幅值和原序列进行绘图。
N=8;
n=0:
N-1;%设定FFT点数为8点%横坐标序列
%设定输入序列x（n）
%暂存x序列到x1
%求蝶形运算级数m
%循环mm=1到3级蝶形运算
%求该级旋转因子下标Nm，Nm=8,4,2x=[02460246];x1=x;m=log2（N）;formm=1:
mNm=2^（m-mm+1）;
forp=0:
Nm:
N-1%循环该级1到2mm-1组蝶形运算
fork=1:
Nm/2%循环该组1到23-mm个蝶形运算
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kp=k+Nm/2+p;
a=x（kp）;%确定蝶形运算对应单元下标%暂存x（xp）
x（kp）=（x（k+p）-a）*exp（-j*2*pi*（k-1）/Nm）;
x（k+p）=x（k+p）+a;
end
end
end
d=bin2dec（fliplr（dec2bin（[0:
N-1],m）））+1;%把0-7倒序排列y=x（d）
%y=x序列的倒序，即y=X（k）%求y幅值%x恢复成原序列%进行蝶形运算mag=abs（y）;x=x1;
subplot（2,1,1）;
stem（n,x）;%绘制原序列
title（'输入序列x（n）'）;
subplot（2,1,2）;
stem（n,mag）;%绘制X（k）序列
title（'8点FFT计算结果'）
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6程序运行结果分析
6.1程序运行结果
首先在Matlab中输入源程序，然后保存，选择Debug菜单中的Run执行程序。
如图6.1：
图6.1Matlab界面
首先运行程序1，即直接调用Matlab自带的FFT函数计算。
运行结果如图
6.2所示。
y序列即X（k）序列为y={240-8+8i0-80-8-8i0}。
图6.2调用FFT函数运行结果1
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然后是用自己编写的FFT计算函数，运行得到如图6.3所示结果。
y序列即X（k）序列为y={240-8+8i0-80-8-8i0}。
图6.3运行结果2
6.2结果分析
通过比较图6.2和图6.3可以看出，两者的FFT结果完全一样，可以证明编写的FFT程序正确，达到了课程设计的任务要求。
而且本程序不仅可以计算8点FFT，也可以计算N点FFT（N=2m），经测试结果也是正确的。
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7课程设计心得体会
通过Matlab一周以来的学习研究，我对Matlab有了初步的认识，我掌握了Matlab的基本操作，并学会了用Matlab解决一些电路和数学上的问题，下面是我具体的一些体会
Matlab功能非常强大，几乎可以计算我们目前所遇到的任何问题，不仅可以计算数学问题，也可以用来解决电路等其他学科的各种问题。
而且我们可以自编函数，从而可以解决更多样的问题。
但以目前我们的知识，只能掌握Matlab的一小部分功能，在以后的学习中，我还需要继续学习Matlab的相关知识。
Matlab虽然功能非常强大，但其操作却非常简单，它的语法类似于我们以前学过的C语言，使我很容易上手，而其语法比C语言更为自由，限制更少，语法类似于自然语言，简洁而智能化，使我可以很容易的编写程序且不容易出错。
关于绘图的操作则比C语言简单得多，用几条简单的语句就可以绘出各种曲线、图形，使我们的学习研究变的非常方便。
通过本次课程设计我掌握了FFT的编程方法，对FFT有了更深刻的了解。
我认为学习Matlab的关键在于函数，只要掌握了函数的用法，那么就能很快的编出程序。
而Matlab的难点也正是函数，因为Matlab拥有大量的函数，仅仅基本的函数就超过七百个，要是算上专业拓展函数那就更多，想在短时间内掌握这么多函数是很难的。
我认为应该多练多学，在解决问题的过程中学习并记住所用的函数，有不懂的就查资料，问同学，争取彻底搞懂所作的问题，并牢牢掌握，这样以后就可以独立解决类似问题。
在这次课程设计中，我学到了很多关于Matlab的知识，但这还远远不够，我现在只掌握了一些基本的功能，而解决更高级问题我的知识还不够，我要在日后进一步学习，更好地掌握Matlab。
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参考文献
[1]刘泉，阙大顺．数字信号处理原理与实现．北京：
电子工业出版社，2005．
[2]陈怀琛，吴大正，高西全．Matlab及在电子信息课程中的应用，第三版．北京：
电子工业出版社，2006．
[3]杨高波，元波．精通Matlab7.0混合编程．北京：
电子工业出版社，2006．
[4]陈怀琛．Matlab及其在理工课程中的应用指南．西安：
西安电子科技大学出版社，2000．
[5]张小虹．信号、系统与数字信号处理．北京：
机械工业出版社，2004．
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XX大学《数字信号处理》课程设计说明书
致谢
本次课设的指导老师XXX老师给了我很大帮助，帮助我修订了课程设计说明书，巩固了数字信号处理的相关知识，使我的知识水平有了较大提高。
我的数字信号处理老师XX在课堂上认真细致的讲解也使我受益匪浅，在此对他们表示诚挚的谢意。
我同组的同学也给了我很多帮助，我们共同努力完成了本次课程设计，在此也对他们表示感谢。
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本科生课程设计成绩评定表
指导教师签字：
_____________年月日
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