计算机数据表示与算法.docx

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计算机数据表示与算法

计算机数据表示与算法

二进制乘法和加法都是通过对二进制数的移位来实现的，移位相当于×2，计算机算根据给出的加法式子与乘法式子算要移多少位。

扩展：

一、二进制数据的表示法

　　二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。

例如二进制数据110.11，其权的大小顺序为2^2、2^1、2^0、2^-1、2^-2。

对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：

　　（a（n-1）a（n-2）…a（-m））2＝a（n-1）×2^（n-1）+a（n-2）×2^（n-2）+……+a

（1）×2^1+a（0）×2^0+a（-1）×2^（-1）+a（-2）×2^（-2）+……+a（-m）×2^（-m）

　　二进制数据一般可写为：

（a（n-1）a（n-2）…a

（1）a（0）.a（-1）a（-2）…a（-m））2。

　　注意：

　　1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

　　2.a（n-1）中的（n-1）为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。

　　3.2^2表示2的平方，以此类推。

　　【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。

　　解：

（111.01）2＝（1×2^2）+（1×2^1）+（1×2^0）+（0×2^-1）+（1×2^-2）

　　二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

二．二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。

最常用的是加法运算和乘法运算。

　　1.二进制加法

　　有四种情况：

0+0＝0

　　0+1＝1

　　1+0＝1

　　1+1＝10进位为1

　　【例1103】求（1101）2+（1011）2的和

　　解：

　　1101

　　+1011

　　-------------------

　　11000

　　2.二进制乘法

有四种情况：

0×0＝0

　　1×0＝0

　　0×1＝0

　　1×1＝1

　　【例1104】求（1110）2乘（101）2之积

　　解：

　　1110

　　×101

　　-----------------------

　　1110

　　0000

　　1110

　　-------------------------

　　1000110

　　（这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了）

　　3.二进制减法

　　0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1。

　　4.二进制除法

　　0÷1＝0，1÷1＝1。

[1][2]

　　5.二进制拈加法

　　拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。

拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。

三．.二进制数的逻辑运算

•逻辑运算结果是“1”或“0”，它代表了所要研究问题的两种状态或可能性，赋予逻辑含义，可以表示“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。

•计算机中，只有用“1”或“0”两种取值表示的变量，即具有逻辑属性的变量称为逻辑变量。

•逻辑运算与算术运算的主要区别是：

逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加、减运算那样有进位或借位的联系。

•逻辑运算包括三种基本运算：

逻辑加法、逻辑乘法和逻辑否定。

此外，还可以导出异或运算、同或运算以及与或非运算等。

下面介绍4种运算：

（1）逻辑加法（又称“或”运算）

A.运算符

逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。

设逻辑变量A、B、C，它们的逻辑加运算关系是：

A+B=C或者写成A∨B=C，读作“A或B等于C”。

B.逻辑加运算规则

 A+B=CA∨B=C

0+0=0 0∨0=0

0+1=1 0∨1=1

1+0=1 1∨0=1

1+1=1 1∨1=1

结论：

在给定的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。

（2）逻辑乘法（又称“与”运算）

A.运算符

逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“Ÿ”表示。

设逻辑变量A、B、C，它们的逻辑乘运算关系是：

AB=C，A∧B=C，AŸB=C。

读作“A与B等于C”。

B.逻辑乘运算规则

A×B=C A∧B=C AŸB=C 

 0×0=0 0∧0=0 0Ÿ0=0

0×1=0 0∧1=0 0Ÿ1=0

1×0=0 1∧0=0 1Ÿ0=0

1×1=1 1∧1=1 1Ÿ1=1

结论：

逻辑乘法是“与”的含义，它表示只有参加运算的逻辑变量取值都为1时，逻辑乘积才等于1。

（3）逻辑否定（非运算）

A.运算符

逻辑非运算是在逻辑变量的上方加一横线。

B.运算规则

设逻辑变量A，其运算规则为：

A A 

0 1 读作0非等于1

1 0 读作1非等于0

（4）异或逻辑运算

A.运算符

“异或”运算通常用符号“⊕”表示。

B.运算规则

按位加，即不带进位的加法。

设逻辑变量A、B、C，它的运算规则为：

A⊕B=C，读作：

“A同B‘异或’等于C”。

A⊕B=C 

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

结论：

在A、B两个逻辑变量中，只要两个逻辑变量的值相同，“异或”运算的结果就为0；当两个逻辑变量的值不同时，“异或”运算的结果才为1。

以上介绍的四种逻辑运算在汇编和高级语言里，常用“OR”表示“或”，“AND”表示“与”，“NOT”表示“非”，“XOR”表示“异或”。

需要指出的是，计算机可以一次对不同种类的多个逻辑变量进行运算，它们将按照逻辑运算符的优先顺序进行，最终出现一个结果“真”（用1表示）或“假”（用0表示）。

四．原码反码补码移码

4.移码：

移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。

①移码的定义：

设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则[X]移=2n+X    -2n≤X≤2n

例如：

X=＋1011    [X]移=11011    符号位“1”表示正号

             X=－1011    [X]移=00101    符号位“0”表示负号

②移码与补码的关系：

[X]移与[X]补的关系是符号位互为反码，

例如：

X=＋1011    [X]移=11011    [X]补=01011 

             X=－1011    [X]移=00101    [X]补=10101 

③移码运算应注意的问题：

◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2n，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。

◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2n），属于浮点数下溢。

二、补码加、减运算规则

1、运算规则

[X＋Y]补=[X]补＋[Y]补

[X－Y]补=[X]补＋[－Y]补

若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：

将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。

例如：

[Y]补=101101[－Y]补=010011 

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00表示正数11表示负数

结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：

设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位

用补码求x+y，x－y 

[x]补+[y]补=001101+111001=000110 

[x－y]补=[x]补+[－y]补=001101+000111=010100

结果错误，正溢出

三、原码一位乘的实现：

设X=0.1101，Y=－0.1011，求X*Y

解：

符号位单独处理，x符＋y符

数值部分用原码进行一位乘，如下图所示：

高位部分积

 低位部分积/乘数

说明

    000000  

 1011

起始情况

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    001101

    000110 

 1101

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010011 

    001001 

 1110 

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）000000

乘数最低位为0，+0

    001001 

    000100 

 1111

0（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010001 

    001000

 1111

1（丢）

右移部分积和乘数

四、原码一位除的实现：

一般用不恢复余数法（加减交替法）

部分积

低位部分积附加位

操作说明

    000000  

 1011

起始情况

＋）000000

乘数最低位为1，+X

    000000

    000000 

 1101

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）110011

乘数最低位为1，+X

    010011 

    001001 

 1110 

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）000000

乘数最低位为0，+0

    001001 

    000100 

 1111

0（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010001 

    001000

 1111

1（丢）

右移部分积和乘数

§2.5浮点运算与浮点运算器

一、浮点数的运算规则

1、浮点加减法的运算步骤

设两个浮点数X=Mx※2ExY=My※2Ey

实现X±Y要用如下5步完成：

①对阶操作：

小阶向大阶看齐

②进行尾数加减运算

③规格化处理：

尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是

001×××…××或110×××…××的形式

若不符合上述形式要进行左规或右规处理。

④舍入操作：

在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。

⑤判结果的正确性：

即检查阶码是否溢出

若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；

若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。

例题：

假定X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此处的数均为二进制）?

?

计算X+Y；

解：

[X]浮：

010*******

   [Y]浮：

001101101101

           符号位阶码尾数

第一步：

求阶差：

│ΔE│=|1010-0110|=0100

第二步：

对阶：

Y的阶码小，Y的尾数右移4位

       [Y]浮变为010*******暂时保存 

第三步：

尾数相加，采用双符号位的补码运算 

   001100110 

  +000000110 

   001101100

第四步规格化：

满足规格化要求 

第五步：

舍入处理，采用0舍1入法处理

故最终运算结果的浮点数格式为：

010*******，

即X+Y=+0.1101101*210 

2、浮点乘除法的运算步骤

①阶码运算：

阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）

   即 [Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补 

       [Ex－Ey]移=[Ex]移+[－Ey]补

②浮点数的尾数处理：

浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理

例题：

X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10

求X※Y

解：

[X]浮：

010*******

   [Y]浮：

001101101101

第一步：

阶码相加 

[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1010+1110=1000 

1000为移码表示的0

第二步：

原码尾数相乘的结果为：

010101101101110

第三步：

规格化处理：

已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。

第四步：

舍入处理：

按舍入规则，加1进行修正

所以X※Y=0.1010111※2+000

4.移码：

移码只用于表示浮点数的阶码，所以只用于整数。

①移码的定义：

设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则[X]移=2n+X    -2n≤X≤2n

例如：

X=＋1011    [X]移=11011    符号位“1”表示正号

             X=－1011    [X]移=00101    符号位“0”表示负号

②移码与补码的关系：

[X]移与[X]补的关系是符号位互为反码，

例如：

X=＋1011    [X]移=11011    [X]补=01011 

             X=－1011    [X]移=00101    [X]补=10101 

③移码运算应注意的问题：

◎对移码运算的结果需要加以修正，修正量为2n，即对结果的符号位取反后才是移码形式的正确结果。

◎移码表示中，0有唯一的编码——1000…00，当出现000…00时（表示－2n），属于浮点数下溢。

二、补码加、减运算规则

1、运算规则

[X＋Y]补=[X]补＋[Y]补

[X－Y]补=[X]补＋[－Y]补

若已知[Y]补，求[－Y]补的方法是：

将[Y]补的各位（包括符号位）逐位取反再在最低位加1即可。

例如：

[Y]补=101101[－Y]补=010011 

2、溢出判断，一般用双符号位进行判断：

符号位00表示正数11表示负数

结果的符号位为01时，称为上溢；为10时，称为下溢

例题：

设x=0.1101，y=－0.0111，符号位为双符号位

用补码求x+y，x－y 

[x]补+[y]补=001101+111001=000110 

[x－y]补=[x]补+[－y]补=001101+000111=010100

结果错误，正溢出

三、原码一位乘的实现：

设X=0.1101，Y=－0.1011，求X*Y

解：

符号位单独处理，x符＋y符

数值部分用原码进行一位乘，如下图所示：

高位部分积

 低位部分积/乘数

说明

    000000  

 1011

起始情况

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    001101

    000110 

 1101

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010011 

    001001 

 1110 

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）000000

乘数最低位为0，+0

    001001 

    000100 

 1111

0（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010001 

    001000

 1111

1（丢）

右移部分积和乘数

四、原码一位除的实现：

一般用不恢复余数法（加减交替法）

部分积

低位部分积附加位

操作说明

    000000  

 1011

起始情况

＋）000000

乘数最低位为1，+X

    000000

    000000 

 1101

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）110011

乘数最低位为1，+X

    010011 

    001001 

 1110 

1（丢）

右移部分积和乘数

＋）000000

乘数最低位为0，+0

    001001 

    000100 

 1111

0（丢）

右移部分积和乘数

＋）001101

乘数最低位为1，+X

    010001 

    001000

 1111

1（丢）

右移部分积和乘数

§2.5浮点运算与浮点运算器

一、浮点数的运算规则

1、浮点加减法的运算步骤

设两个浮点数X=Mx※2ExY=My※2Ey

实现X±Y要用如下5步完成：

①对阶操作：

小阶向大阶看齐

②进行尾数加减运算

③规格化处理：

尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是

001×××…××或110×××…××的形式

若不符合上述形式要进行左规或右规处理。

④舍入操作：

在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。

⑤判结果的正确性：

即检查阶码是否溢出

若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；

若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。

例题：

假定X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此处的数均为二进制）?

?

计算X+Y；

解：

[X]浮：

010*******

   [Y]浮：

001101101101

           符号位阶码尾数

第一步：

求阶差：

│ΔE│=|1010-0110|=0100

第二步：

对阶：

Y的阶码小，Y的尾数右移4位

       [Y]浮变为010*******暂时保存 

第三步：

尾数相加，采用双符号位的补码运算 

   001100110 

  +000000110 

   001101100

第四步规格化：

满足规格化要求 

第五步：

舍入处理，采用0舍1入法处理

故最终运算结果的浮点数格式为：

010*******，

即X+Y=+0.1101101*210 

2、浮点乘除法的运算步骤

①阶码运算：

阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）

   即 [Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补 

       [Ex－Ey]移=[Ex]移+[－Ey]补

②浮点数的尾数处理：

浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理

例题：

X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10

求X※Y

解：

[X]浮：

010*******

   [Y]浮：

001101101101

第一步：

阶码相加 

[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]补=1010+1110=1000 

1000为移码表示的0

第二步：

原码尾数相乘的结果为：

010101101101110

第三步：

规格化处理：

已满足规格化要求，不需左规，尾数不变，阶码不变。

第四步：

舍入处理：

按舍入规则，加1进行修正

所以X※Y=0.1010111※2+000