高中数学人教版选修11 332函数的极值与导数 教案系列一.docx
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高中数学人教版选修11332函数的极值与导数教案系列一
3.3.2 函数的极值与导数
教学教法分析
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．过程与方法
通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．
3．情感、态度与价值观
通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．
●重点、难点
重点：
函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．
难点：
函数在某点取得极值必要条件和充分条件．
观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．
教学方案设计
（教师用书独具）
●教学建议
本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．
本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：
（1）引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．
（2）激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．（3）指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．
●教学流程
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
课前自主导学
（对应学生用书第58页）
课标解读
1.理解极值的定义．（难点）
2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．（重点）
3．会根据函数的极值求参数的值．（难点）
知识点
极值点与极值
【问题导思】
函数y＝f（x）的图象如图所示．
1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
【提示】 函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.
2．f′（a）为多少？
在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
【提示】 f′（a）＝0，在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0.
3．函数在x＝b点处的情况呢？
【提示】 函数在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0，且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0.
1．极小值点与极小值
函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0.则把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0.则把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【问题导思】
函数的极大值一定大于极小值吗？
【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.
课堂互动探究
（对应学生用书第58页）
类型1
求函数的极值
例题1 求下列函数的极值点和极值．
（1）f（x）＝
x3－x2－3x＋3；
（2）f（x）＝
＋3lnx.
【思路探究】
―→
【自主解答】
（1）f′（x）＝x2－2x－3.
令f′（x）＝0，得x1＝3，x2＝－1，如下表所示：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值－6
∴f（x）极大值＝
，f（x）极小值＝－6.
（2）函数f（x）＝
＋3lnx的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－
＋
＝
，
令f′（x）＝0得x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
极小值3
因此当x＝1时，f（x）有极小值，并且f
（1）＝3.
规律方法
1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f′（x）＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
2．函数极值和极值点的求解步骤：
①确定函数的定义域；
②求方程f′（x）＝0的根；
③用方程f′（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
④由f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况．
变式训练
求函数y＝2x＋
的极值．
【解】 函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
y′＝2－
，令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,0）
（0,2）
2
（2，＋∞）
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
－8
8
由表知：
当x＝－2时，y极大值＝－8；
当x＝2时，y极小值＝8.
类型2
由函数的极值求参数
例题2 已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－
时都取得极值，且f（－1）＝
，求a、b、c的值．
【思路探究】
（1）函数在x＝1和x＝－
时都取得极值，说明f′
（1）与f′（－
）的结果怎样？
（2）你能由已知条件列出方程组求解a、b、c吗？
【自主解答】 f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
令f′（x）＝0，由题设知x＝1与x＝－
为f′（x）＝0的解．
∴
解得a＝－
，b＝－2.
∴f′（x）＝3x2－x－2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－
）
－
（－
，1）
1
（1，＋∞）
f′＝（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
＋c
－
＋c
由上表知，函数在x＝1与－
处取得极值．
∴a＝－
，b＝－2.
∴f（x）＝x3－
x2－2x＋c，
由f（－1）＝－1－
＋2＋c＝
，
得c＝1.
规律方法
已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：
（1）常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
（2）因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
变式训练
已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x＝3处有极值，求a、b的值．
【解】 由f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2，得f′（x）＝3x2＋6ax＋b.
又f（x）在x＝－1和x＝3处有极值，
∴f′（－1）＝3＋b－6a＝0，①
f′（3）＝27＋18a＋b＝0.②
联立①②，得
∴f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3）．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大
极小
∴f（x）在－1,3处取极值，
∴a＝－1，b＝－9符合题意.
类型3
函数极值的综合应用
例题3 已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）．若函数f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【思路探究】
（1）能否由已知条件求出a值，确定f（x）？
（2）直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同交点的含义是什么？
如何用数形结合求出m的范围？
【自主解答】 ∵f（x）在x＝－1处取得极值，
∴f′（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，∴a＝1.
∴f（x）＝x3－3x－1，f′（x）＝3x2－3，
由f′（x）＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f′（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0.
∴由f（x）的单调性可知，f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，在x＝1处取得极小值f
（1）＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
又f（－3）＝－19＜－3，f（3）＝17＞1，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（－3,1）．
规律方法
1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
变式训练
已知a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.
（1）求函数f（x）的极值，并画出其图象（草图）；
（2）当a为何值时，方程f（x）＝0恰好有两个实数根？
【解】
（1）由f（x）＝－x3＋3x＋a，得f′（x）＝－3x2＋3，
令f′（x）＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
a－2
a＋2
由表可知函数f（x）的极小值为f（－1）＝a－2；
极大值为f
（1）＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f（x）的大致图象，
如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
（2）结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，即方程f（x）＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；
当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
易错易误辨析
（对应学生用书第60页）
因未验根而致误
典例 已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
【错解】 因为f（x）在x＝－1时有极值0且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
所以
即
解得
或
【错因分析】 解出a，b值后，未验证x＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误．
【防范措施】 可导函数在x0处的导数为0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f′（x）＝0而求出的参数需要检验，以免出错．
【正解】 因为f（x）在x＝－1时有极值0，且f′（x）＝3x2＋6ax＋b.
∴
即
解得
或
当a＝1，b＝3时，
f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，
所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．
当x∈（－∞，－3）时，f（x）为增函数；
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数；
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数．
所以f（x）在x＝－1时取得极小值，
因此a＝2，b＝9.
课堂小结
1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．
2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．
3．可导函数f（x）求极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；
（4）检查f′（x）在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.
当堂双击达标
（对应学生用书第60页）
1．下列说法正确的是（ ）
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f（x）＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f（x）在区间（a，b）上一定存在极值
【解析】 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间（a，b）上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f（x）＝|x|只有一个极小值为0.
【答案】 C
2．函数f（x）的定义域为区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图3－3－5所示，则函数f（x）在（a，b）内的极小值的个数为（ ）
图3－3－5
A．1 B．2
C．3D．4
【解析】 在（a，b）内，f′（x）＝0的点有A、B、O、C.
要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B符合．
【答案】 A
3．函数y＝f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 f′（x0）＝0⇒/y＝f（x）在x0处有极值，但y＝f（x）在x0处有极值⇒f′（x0）＝0，应选B.
【答案】 B
4．求函数y＝x＋
的极值．
【解】 y′＝1－
＝
，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,0）
（0,1）
1
（1，＋∞）
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
极大值
极小值
所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.
课后知能检测
（对应学生用书第111页）
一、选择题
1．已知函数f（x），x∈R，有唯一极值，且当x＝1时，f（x）存在极小值，则（ ）
A．当x∈（－∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＜0
B．当x∈（－∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0
C．当x∈（－∞，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0
D．当x∈（－∞，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）＜0
【解析】 f（x）在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，应选C.
【答案】 C
图3－3－6
2．（2013·青岛高二检测）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′（x）的图象如图3－3－6所示，则函数f（x）的极小值是（ ）
A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c
C．3a＋2bD．c
【解析】 由f′（x）的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f（x）极小值＝c.
【答案】 D
3．函数f（x）＝x3－3x2＋3x（ ）
A．x＝1时，取得极大值
B．x＝1时，取得极小值
C．x＝－1时，取得极大值
D．无极值点
【解析】 f′（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0恒成立．
∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，f（x）无极值．
【答案】 D
4．（2013·临沂高二检测）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 f′（x）＝3x2＋2ax＋3，由题意：
f′（－3）＝27－6a＋3＝0
∴a＝5.应选D.
【答案】 D
5．如图3－3－7所示是函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x
＋x
等于（ ）
图3－3－7
A.
B.
C.
D.
【解析】 函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d图象过点（0,0），（1,0），（2,0），得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′（x）＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x
＋x
＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－
＝
.
【答案】 C
二、填空题
6．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x（x－4）．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
列表可知y极大＝f（4）＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
7．若f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
【解析】 f′（x）＝3x2＋6ax＋3（a＋2），
由题意f′（x）＝0有两个不等的实根，
故Δ＝（6a）2－4×3×3（a＋2）＞0，解之得a＞2或a＜－1.
【答案】 （－∞，－1）∪（2，＋∞）
8．（2013·昆明高二检测）如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：
图3－3－8
（1）函数y＝f（x）在区间（－3，－
）内单调递增；
（2）函数y＝f（x）在区间（－
，3）内单调递减；
（3）函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；
（4）当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；
（5）当x＝－
时，函数y＝f（x）有极大值．
则上述判断中正确的是________．
【解析】 由导函数的图象知：
当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（－2,2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（2,4）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（4，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
在x＝－2时，f（x）取极小值；
在x＝2时，f（x）取极大值；
在x＝4时，f（x）取极小值；
所以只有（3）正确．
【答案】 （3）
三、解答题
9．求下列函数的极值．
（1）f（x）＝x3－12x；
（2）f（x）＝
－2.
【解】
（1）函数f（x）的定义域为R.
f′（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）．
令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
f（－2）＝16
极小值
f
（2）＝－16
所以当x＝－2时，函数有极大值，
且f（－2）＝（－2）3－12×（－2）＝16；
当x＝2时，函数有极小值，
且f
（2）＝23－12×2＝－16.
（2）函数的定义域为R.
f′（x）＝
＝－
.
令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
极小值
－3
极大值
－1
所以当x＝－1时，函数有极小值，
且f（－1）＝
－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值；
且f
（1）＝
－2＝－1.
10．设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【解】
（1）因为f（x）＝alnx＋bx2＋x，
所以f′（x）＝
＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′
（1）＝f′
（2）＝0，
即
解方程组得a＝－
，b＝－
.
（2）由
（1）知f（x）＝－
lnx－
x2＋x（x＞0）．
f′（x）＝－
x－1－
x＋1.
当x∈（0,1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1,2）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）＜0.
故在x＝1处函数f（x）取得极小值
，在x＝2处函数取得极大值
－
ln2.
所以x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点．
11．设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
【解】
（1）f′（x）＝3x2－2x－1.
令f′（x）＝0，则x＝－
或x＝1.
当x变化时f′（x）、f（x）变化情况如下表：
x
－
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
所以f（x）的极大值是f
＝
＋a，
极小值是f
（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知x取足够大的正数时有f（x）＞0，x取足够小的负数时有f（x）＜0，所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．
因此若y＝f（x）与x轴仅有一个交点，应有
＋a＜0或a－1＞0.
所以当a∈
∪（1，＋∞）时曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点.
教师备课资源
（教师用书独具）
备选例题
已知函数f（x）＝ax2＋blnx，其中ab≠0，求证：
当ab＞0时，函数f（x）没有极值点．
【证明】 ∵f（x）＝ax2＋blnx（ab≠0）
∴f（x）的定义域为（0，＋∞）
f′（x）＝2ax＋
＝
当ab＞0时，若a＞0，b＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上是单调递增的；若a＜0，b＜0，则f′（x）＜0，f（x）在（0，＋∞）上是单调递减的．
∴当ab＞0时，函数f（x）没有极值点．
备选变式
已知函数f（x）＝ax2＋blnx，其中ab≠0，求函数有极值时a、b满足的条件．
【解】 f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2ax＋
＝
.
若函数f（x）有极值，首先f′（x）＝0，即2ax2＋b＝0在（0，＋∞）上有根．
因为ab≠0，x2＝－
，所以当ab＜0时，
2ax2＋b＝0在（0，＋∞）上有根x＝
.
又当a＞0，b＜0时，f′（x）在x＝
两侧的符号是左负右正，此时函数f（x）在x＝
取得极小值；
当a＜0，b＞0时，f′（
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