课题学习最短路径问题.docx
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课题学习最短路径问题
13.4课题学习最短路径问题
教学目标
1.目标：
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想•
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索
最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想•
重点：
禾I」用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题难点：
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景引入课题
师：
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题•现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”•
（板书）课题
学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识•
从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望•
二、自主探究合作交流建构新知追冋1:
观祭思考，抽象为数学冋题这是一个实际冋题，你打算首先做什么？
活动1:
思考画图、得出数学问题
将A，B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线.
动手画直线
为学生提供参与数学活动的生活情
B
。
。
A
观察口答
乡JHJ丁亠1口丨曰境，培养学生的把牛活问题转化为数学问题的能力•
l
追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：
学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：
（1）从A地出发，到河边I饮马，然后到B地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线I上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：
当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）.
动手连线
观察口答
经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.
活动2:
尝试解决数学问题
问题2:
如图，点A，B在直线I的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B'吗？
B
独立思考
合作交
流
汇报交流成果,书写理
由•
达到轴对称知识的学以致用
注意问题解决方法的小结：
抓对称性来解决
思考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来
及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总
结.
问题3如图，点A,B在直线I的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在I的什么位置时，AC与CB的和最小？
师生活动：
学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充
如果学生有困难，教师可作如下提示作法：
（1）作点B关于直线I的对称点B';
（2）连接AB，与直线I相交于点C,则点C即为所求.如图所示：
学生独立完成，集体订正
经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.
注意问题解决方法的小结：
抓轴对称来解决
问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?
教师展示：
证明：
如图，在直线I上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，B'C'.
由轴对称的性质知，
BC=BC,BC=B'C•
AC+BC
=AC+B'C=AB'，
AC'+BC
=AC'+B'C
互相交流解题经验
提炼思想方法：
轴对称,线段和最短
方法提炼：
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4'
观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决
体验轴对称知识的应用
练习如图，一个旅游船B大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径.
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路•将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.
问题5造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN乔早在何处才能使从A到B的路径AMN最短？
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
思维分析：
1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+B那么怎样确定什么情况下最短呢？
•
各抒己见
动手体验
合作与交流
动手作图
2、禾U用线段公理解决问题我们遇到了俘障碍呢？
思维点拨：
改变AM+MN+B的前提下把桥转化到一侧呢？
什么图形变换能帮助我们呢？
（估计有以下方法）
1、把A平移到岸边•
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
教师：
上述方法都能做到使AM+MN+B不变呢？
请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢？
问题解决：
如图，平移A到A1,使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由；另任作桥MINI,连接AM1,BN1,AINI.由平移性质可知，AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+B转化为AA1
+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中，由线段公理知A1N1+BNAA1B因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN如0图所示：
A
交流体会
体验转化思想
Ai*M、Mi
♦J1
1
方法提炼：
7、7
将最短路径问题转化为“线段和最小问题N1
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图
三、巩固训练
1、最短路径问题
（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只
要连接这两点，与直线的交点即为所求.
如图所示，点A,B分别是直线l异侧的两个点，在1上找一个点C,使CA+CB最短，这时点C是直线1与AB的交点.
A
\,
（2）求直线冋侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只
要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求.
如图所示，点A,B分别是直线l同侧的两个点，在1上找一个点C,使CA+CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B',则点C是直线1与AB'的交点.
学生独立思考解决问题
巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.
XVI1
込『
2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+RQB.桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：
两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
独立思考，合
提炼方法，为课本例题奠定基础.
作a.
交
四、反思小结布置作业
自
由发
总结回顾学
小结反思
-_:
言
相
习内容，帮
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
互
借
助学生归纳
（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？
鉴
.自
反思所学知
解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？
我
评
识及思想方
你还有哪些收获？
价
法.
作业布置、课后延伸
关注学生的
必做题：
课本P93-15题；选做题：
生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题
个体差异.
板书设计：
13.4最短路径问题
两点的所有连线中，线段最短”、
“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
取短
”等的
问题，我们称它们为最短路径问题.方法提炼：
将最短路径问题转化为“线段和最小问题”
教学反思：
第2课时含30°角的直角三角形的性质
2•能灵活运用含30。
角的直角三角形的性质定理解决有关问题.（难点）
一、情境导入
问题：
1.我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
2.用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现?
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质.
二、合作探究
探究点：
含30°角的直角三角形的性质
【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
D如图，在Rt△ABC中,/ACB=90°,/B=30°,CD是斜边AB上的高，AD=3cm,则AB的长度是（）
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
解析：
在Rt△ABC中，TCD是斜边AB上的高，「./ADC=90°,「./ACD=/B=30°
在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm在Rt△ABC中，AB=2AG=12cm./•AB的长度是12cm.故选D.
【类型二】
与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
12
如图,
AO圧/BO圧15°,PC//OA交OB于C,PD丄OA于D若PC=3,贝UPD
方法总结：
运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三
角形.
等于（）
A.3B.2C.1.5D.1
解析：
如图，过点P作PELOB于ETPC//OAAOP=/CPO^/PCE=ZBOP-
/CPO=ZBO—ZAOP=ZAOB=30°.又tPC=3,aPE=|pC=|x3=1.5.tZAOP=ZBOP
PDLOAaPD=PE=1.5.故选C.
方法总结：
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
D如图，在△ABC中，/C=90°,AD是/BAC勺平分线，过点D作DELABDE恰好是/ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系？
请说明理由.
解析：
由条件先证△AED^ABED得出/BAD=ZCAD=ZB,求得/B=30°,即可得到
1
CD=2DB
1
解：
CD=qDB理由如下：
TDEIAB•••/AED=ZBED=90°.•/DE是ZADB的平分线，
•••ZADE=ZBDE又tDE=DE•△AED^ABEDASA）,•AD=BDZDAE=ZB.tZBAD=
1
ZCAD=-ZBAC•ZBAD=ZCAD=ZBtZBADfZCA9ZB=90°,•/B=ZBAD=ZCAD
111
=30°.在Rt△ACC中,tZCAD=30°,•CD=-AD=-BD即CD=qDB
方法总结：
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质.
14
【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境，已知AC=50mAB=40mZBAC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元，求
购买这种草皮至少需要多少元？
解析：
作BDLCA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD即厶ABC勺高•运用三角形面积公式计算面积求解.
解：
如图所示,作BDLCA于D点.tZBAC=150°,DAB=30°.tAB=40m•-BD
112
=-AB=20m•-&abc=-x50x20=500（m）.已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a
元.
方法总结：
解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC勺面积.
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学
生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能
力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.
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