课题学习最短路径问题.docx

1、课题学习最短路径问题13.4课题学习 最短路径问题教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题， 体会图形的变化在解决最值问 题中的作用；感悟转化思想2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想 重点：禾I用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学过程教学内容与教师活动学生活 动设计意图一、创设情景引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段 最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线 段最短”等的问题，

2、我们称它们为最短路径问题现实生活 中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探 究数学史中著名的“将军饮马问题” （板书）课题学生思 考教师 展示问 题，并观 察图片， 获得感 性认识从生活中问 题出发，唤 起学生的学 习兴趣及探 索欲望二、自主探究合作交流建构新知 追冋1:观祭思考，抽象为数学冋题 这是一个实际冋题，你打算首先做什么？ 活动1:思考画图、得出数学问题将A，B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线.动手画 直线为学生提供 参与数学活 动的生活情B。A观察口 答乡J H J 丁亠1 口丨曰 境，培养学 生的把牛活 问题转化为 数学问题的 能力l追问2你能用自己的语言说明这

3、个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A地出发，到河边I饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A,B连 接起来的两条线段的长度之和，就是从 A地 到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎 样找出使两条线段长度之和为最短的直线 I上的点.设C为 直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C在I的 什么位置时，AC与CB的和最小（如图）.动手连 线观察口 答经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.活动2:尝试解决数学问题问题2 :如图，点A，B在直线

4、I的同侧，点C是直线 上的一个动点，当点C在I的什么位置时，AC与CB的和 最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？ B独立思 考合作交流汇报交 流成果, 书写理由达到轴对称 知识的学以 致用注意问题解 决方法的小 结：抓对称 性来解决思考感 悟活动1 中的将 军饮马 问题，把 刚学过 的方法 经验迁 移过来及时进行学 法指导，注 重方法规律 的提炼总结.问题3如图，点A, B在直线I的同侧，点C是直线 上的一个动点，当点C在I的什么位置时，AC与CB的和 最小？师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相 补充如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：（1）

5、作点B关于直线I的对称点B;（2） 连接AB，与直线I相交于点C,则点C即为所求. 如图所示：学生独 立完成， 集体订 正经历观察- 画图-说理 等活动，感 受几何的研 究方法，培 养学生的逻 辑思考能 力.注意问题解 决方法的小 结：抓轴对 称来解决问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?教师展示：证明：如图，在直线I上任取一点C （与点 C不重合），连接AC，BC，B C.由轴对称的性质知，BC =B C, BC =B C AC +BC=AC +B C = AB ，AC +BC=AC +B C互相交 流解题 经验提炼思想方 法：轴对称, 线段和最短方法提炼：将最短路径问题抽象为“线段

6、和最小问题”.问题4 观察思 考，动手 画图，用 轴对称 知识进 行解决体验轴对称 知识的应用练习 如图，一个旅游船B大桥AB的P处前往山脚下的 Q处接游客，然后将游客送往河岸 BC上，再返回P处，请 画出旅游船的最短路径.基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接 PQ 线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一 条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧, 如何在BC上找到一点R,使PR与QR的和最小”.问题5造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN乔早在何处才能使从 A到B的路径AMN最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思

7、维分析：1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和 BN,从A到B的路径是AM+MN+B那么怎样确定什么情况 下最短呢？ 各抒己 见动手体验合作与 交流动手作图2、禾U用线段公理解决问题我们遇到了俘障碍呢？思维点拨：改变 AM+MN+B的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）1、 把A平移到岸边2、 把B平移到岸边.3、 把桥平移到和A相连.4、 把桥平移到和B相连.教师：上述方法都能做到使AM+MN+B不变呢？请检验.1、2两种方法改变了 .怎样调整呢？把A或B分别向下或 上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢 ？问题解决：如图，平移 A到A1,使A A1等于河宽

8、，连接 A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM + MN+BN最 短. 理由；另任作桥MINI,连接AM1,BN1,A INI . 由平移性质可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1 . AM+MN+B转化为 AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 转化为AA1+ A1N1+BN1 . 在A1N1B中，由线段公理知 A1N1+BNA A1B 因此 AM1+M1N1 + BN1 AM+MN+BN如0 图所示：A交流体 会体验转化思 想Ai * M、 MiJ 11方法提炼： 7、 7将最短路径问题转化为“线段和最小问题N 1教学内容与教师活动学生活 动设计意图三、巩固训

9、练1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要连接这两点，与直线的交点即为所求.如图所示，点A, B分别是直线l异侧的两个点，在1上找一个点 C,使CA + CB最短，这时点 C是直线1与AB的交点.A ,(2)求直线冋侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题， 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点， 则与该直线的交点即为所求.如图所示，点A, B分别是直线l同侧的两个点，在1上找一个点 C,使CA + CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B,则点C 是直线1与AB的交点.学生独 立思考 解决问 题巩固所学知 识，增强学 生应用

10、知识 的能力，渗 透转化思 想.X V I1込2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一 座桥MN和PQ桥分别建在何处才能使从 A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直)如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+RQB .桥 MN和PQ 在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线 段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧 先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都 平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处独立思 考，合提炼方法， 为课本例题 奠定基础.作a.交四、反思小结布置作业自由发总结回顾学小结反思-_:言,相习内

11、容，帮(1)本节课研究问题的基本过程是什么？互借助学生归纳(2)轴对称在所研究问题中起什么作用？鉴.自反思所学知解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？我评识及思想方你还有哪些收获？价法.作业布置、课后延伸关注学生的必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要 用到本课知识解决的最短路径问题个体差异.板书设计：13.4最短路径问题两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段取短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 方法提炼：将最短路径问题转化为“线段和最小问题”教学反思：第2课时 含30角的直角三角形的性质2能灵活运用含30。角的直角三角形的性

12、质定理解决有关问题. （难点）一、情境导入问题：1.我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？2. 用你的30角的直角三角尺，把斜边和30角所对的直角边量一量， 你有什么发现? 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质.二、合作探究探究点：含30角的直角三角形的性质【类型一】 利用含30角的直角三角形的性质求线段长D 如图，在 Rt ABC中, / ACB= 90, / B= 30, CD是斜边 AB上的高，AD= 3cm, 则AB的长度是（ ）A. 3cm B . 6cm C. 9cm D . 12cm解析：在 Rt ABC中，T CD是斜边 AB上的高，

13、./ ADC= 90,./ ACD= / B= 30在 Rt ACD中, AC= 2AD= 6cm 在 Rt ABC中，AB= 2AG= 12cm. / AB的长度是 12cm.故选 D.【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用12如图,AO圧/ BO圧 15, PC/ OA交 OB于 C, PD丄 OA于 D 若 PC= 3,贝U PD方法总结：运用含30角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形.等于（）A. 3 B . 2 C . 1.5 D . 1解析：如图，过点 P 作 PEL OB于 E T PC/ OAAOP= / CPO/ PCE= Z BOP-/ CPO

14、= Z BOZ AOP= Z AOB= 30 .又 t PC= 3, a PE= |pC= | x 3 = 1.5. tZ AOP= Z BOPPDL OA a PD= PE= 1.5.故选 C.方法总结：含30角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻 找或作辅助线构造含 30角的直角三角形.【类型三】 利用含30角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系D如图，在 ABC中，/ C= 90, AD是/ BAC勺平分线，过点 D作DEL AB DE恰好 是/ ADB的平分线.CD与 DB有怎样的数量关系？请说明理由.解析：由条件先证 AEDA BED得出/ BAD= Z C

15、AD= Z B,求得/ B= 30,即可得到1CD= 2DB1解：CD= qDB 理由如下：T DEI AB / AED=Z BED= 90 . / DE 是Z ADB的平分线，Z ADE=Z BDE又t DE= DE AEDA BEDASA), AD= BD Z DAE=Z B. tZ BAD=1Z CAD= -Z BAC Z BAD=Z CAD=Z B tZ BADfZ CA9Z B= 90 , / B=Z BAD=Z CAD1 1 1=30 .在 Rt ACC中,tZ CAD= 30, CD= -AD= -BD 即 CD= qDB方法总结：含30角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一

16、个重要的依据，如 果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质.14【类型四】 利用含30角的直角三角形解决实际问题某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知 AC= 50m AB= 40m Z BAC= 150 ,这种草皮每平方米的售价是 a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BDL CA交CA的延长线于点 D.在Rt ABD中 ,利用30角所对的直角边是斜 边的一半求BD即厶ABC勺高运用三角形面积公式计算面积求解.解：如图所示,作 BDL CA于 D 点.tZ BAC= 150 , DAB= 30 . t AB= 40m - BD1

17、1 2=-AB= 20m -&abc= - x 50 x 20= 500(m ).已知这种草皮每平方米 a元，所以一共需要 500a元.方法总结：解此题的关键在于作出 CA边上的高，根据相关的性质推出高 BD的长度，正 确的计算出 ABC勺面积.三、板书设计含30角的直角三角形的性质性质：在直角三角形中，如果一个锐角是 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣， 从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识， 促进了学生思维能力的提高.不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作 业中进行进一步的训练和提高.