最新全国初中数学联赛江西省初赛试题含答案.docx
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最新全国初中数学联赛江西省初赛试题含答案
2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
第一试
一、选择题（每小题7分，共42分）
2___2
1、设a为质数，并且7a+8和8a+7也都是质数，若记x=77a+8,y=88a+7,则在以下情况中，必定成立的是（）.
（A卜x,y都是质数；（B）、x,y都是合数；
（C卜x,y一个是质数，一个是合数；（D卜对不同的a,以上各情况皆可能出现.
答案：
A.
解：
当a=3时，7a2+8=71与8a2+7=79皆为质数，而x=77a+8=239,
y=88a+7=271都是质数；
当质数a异于3时，则a2被3除余1,设a2=3n+1,于是7a2+8=21n+15,
_2
8a+7=24n+15,它们都不是质数，与条件矛盾！
2、化简£2号一笆反的结果是（）.
1712.2.17-12.2
（A卜历;（B）、-&；（C12；（D）、-2.
答案：
D.
解：
3+272=（72+1）2,3-272=（72-1）2；
17+12石=（3+272（,17-12^2=（3-2722,
1111
因此，原式=1一1.--^=1：
=二二一一一=—2.
322.3-22212-1
20112011
3、2+3的末位数字是（）.
（A）、1；（B）、3；（C）、5；（D）、7.
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答案：
C
解：
2n的末位数字按2,4,8,6的顺序循环，而3n的末位数字按3,9,7,1的顺序循环，
因为2011是4k+3形状的数，所以22011的末位数字是8,而32011的末位数字是7,
所以22011+32011的末位数字是5.
4、方程Jx+3—4jx—1+Jx+8—6我二？
=1的解的情况是（）.
（A）、无解；（B卜恰有一解；（C）、恰有两个解；（D卜有无穷多个解.
答案：
D.
解：
将方程变形为7h/X-^-2）2+7（Vx^i-3）2=1…①，分三种情况考虑，
若JX二1之3,则①成为（JXW—2）+（JX^1—3）=1,即JX二？
=3,得x=10;
若jx』E2,则①成为（2—jx二1）+（3—JT=1）=1,即"^=2,得x=5;
若2<3,即5这是一个恒等式，满足5解是满足5WxW10的一切实数，即有无穷多个解.
5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角
形的个数是（）.
（A卜24；（B卜36；（C）、38；（D）、76.C*XX）
答案:
C.1XX7
解：
分类计算：
设正六边形的边长为2,那么，边长为1的正三角
形有24个，边长为2的正三角形有12个，边长为3的正三角形有2个，
共计38个.
6、设a,b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根a,
而一元二次方程2ax2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根P；
那么，以%P为根的整系数一元二次方程是（）.
（A卜2x2+7x+6=0；（B）、2x2+x-6=0；
22
（C卜x+4x+4=0；（D）、x+（a+b）x+ab=0.
答案：
A.
解：
由两个方程的判别式皆为0,有（2a+b+3）2—4（a2+ab+6）=0,以及
（4a-2b-2）2-8a（2a-2b-1）=0,即：
（b+3）2=12（2-a）以及（b+1）2=2a,消去a得,7b2+18b—9=0,其整根为b=-3,
于是a=2;因此两个方程分别是：
x2+4x+4=0及4x2+12x+9=0,
前一方程的等根为口=-2,后一方程的等根为3,易得，以5P为根的整系数一
2
元二次方程是2x2+7x+6=0.
二、填空题（每小题7分，共28分）
1、直角三角形AABC的三条边长分别为3,4,5,若将其内切圆挖去，则剩下部分的
面积等于.
答案：
6-二.
1
解：
MBC的面积为S=—M3M4=6,又设其内切圆的半径为r,则由
2
1
S=-r（3+4+5）=6r,所以r=1,因此内切圆面积为冗，故剩下部分的面积为6—n.
一-32_32
2、右x+5x—7x-3=（x—4）+a（x-4）+b（x-4）+c,
则（a,b,c）=（）.
答案：
（17,81,113）.
解：
3232
（x-4）+a（x-4）+b（x-4）+c=x+（a-12）x+（b-8a+48）x+（16a-4b+c）,
由a—12=5,b—8a+48=—7,16a—4b+c=—3,解得，a=17,b=81,c=113；因此（a,b,c）=（17,81,113）.
3、如图，正方形ABCD的边长为1,E是CD边外的一点,
满足：
CE//BD,BE=BD,
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则CE=
答案：
6-'、2.
2
解：
BE=BD=应，设CF=x,则BF=Jl+x2,DF=1—x,
即有电：
J1+x_:
-x_,所以＞-J1+x=Jx1x21-x21
再由
段二CF,即强=y="=垦1,所以ec=里亚
BDDF21-x3-122
数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S
表示圆周上所有十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有种.
答案：
9种.
解：
对于圆周上相邻的三个数（ak,ak+,ak_2）,ak+ak4+ak也可以是7,或14,或21,
例如，当三数和为7时，｛a,ak41,ak_2｝可以取｛1,2,4｝或｛1,1,5｝或｛2,2,3｝;又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为ak,ak由，ak%,ak右，由于ak+ak++ak也和ak书+ak攵+a.
都是7的倍数，那么必有7ak43-ak,于是ak与ak^3或者相等，或者相差7;
又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可
以是7,或14,或21,因此四段的总和可以取到｛28,35,42,49,56,63,70,77,84｝中的任
一个值，总共九种情况.
（其中的一种填法是：
先在圆周上顺次填出十二个数：
1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4,其和
为28,然后每次将一个1改成8,或者将一个2改成9,每一次操作都使得总和增加7,
而这样的操作可以进行八次）.
、（20分）试确定，对于怎样的正整数a,方程5x2-4（a+3）x+a2-29=0有正整数
解？
并求出方程的所有正整数解.
所以,
同理有，
OE.ROF.R
20'
25'
=1一,=1一,
BEBECFCF
代入①得，f1--）+f1）+'1--L1…②
lAD八BE八CFJ
1112以++=—.
ADBECFR
三、（25分）设k为正整数，证明:
1、如果k是两个连续正整数的乘积，那么25k+6也是两个连续正整数的乘积；
2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，那么k也是两个连续正整数的乘积.
证明：
1、如果k是两个连续正整数的乘积，设k=n（n+1）,其中n为正整数，……5'
则25k+6=25n（n+1）+6=25n+25n+6=（5n+2）（5n+3）为两个连续正整数的乘
积；10'
2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积，设25k+6=m（m+1）,其中m为正整数,
22
贝U100k+25=4m+4m+1=（2m+1）…①15'
一一，，，、，，2m1-…，2m1
于是，2m+1是5的倍数，且是奇数；设=2n+1,由①得，
55
因此，
2
4k=（2n+1）-1=2n（2n+2），即k=n（n+1）,它是两个连续正整数的乘积.……25'
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