微分几何学习辅导总结.docx
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微分几何学习辅导总结
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微分几何学习辅导总结
篇一：
第四版微分几何期末复习总结
1.求I弧长和交角.
（1）I?
du2?
sinh2udv2,求u=v的弧长.解：
u=v?
I?
du2?
sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,设曲线u=v上两点A（u1）,b（u2）?
u1 u1u2
u2u1
?
sinhu2?
sinhu1;
（2）ds2?
du2?
（u2+a2）dv2,求u+v=0与
u-v=0的交角.
解：
由题意得e=1,F=0,g=（u2+a2）；由u+v=0与u-v=0得交点（0,0）处e=1,F=0,g=a2；由u+v=0与u-v=0得du/dv=-1=x,?
u/?
v?
1?
y?
cos?
?
[exy?
Fxy?
g]/?
[?
1?
a2]/[1?
a2]?
?
?
arccos[?
1?
a2]/[1?
a2].
2.求曲率和挠率.
（1）题1.r=?
acosht,asinht,at?
解:
求r1，r2，r3?
r1，r1?
r2r1?
r2?
（r1，r2，r3）=a3?
k?
r1?
r2/[r1]?
1/[2acosh2t]，?
=（r1，r2，r3）/（r1?
r2）2?
k;"cosh2?
sinh2?
1,cosh1?
sinh,sinh1?
cosh"
（2）题2
.r={a（3t-t3）,3at2,a（3t+t3）},（a?
0）.解：
...?
r1?
2）,r1?
r2?
2（1+t2）,r3?
?
?
6a，0,6a?
（r1，r2，r3）=216a3?
k?
1/[3a（1+t2）2],?
=k;（3）题3.求圆柱螺线r=?
acos?
asin?
b?
?
的k,?
;?
?
?
.解：
...?
r1?
r1?
r2?
?
absin?
?
abcos?
a2?
r1?
r2?
?
k?
a/（a2?
b2）,
3
?
=b/（a?
b）;切向量?
=r/r?
?
-asin?
acos?
b?
2
2
1
1
1
,?
=（r1?
r2）/r1?
r2?
?
?
?
?
?
bsin?
?
bcos?
a?
1
,
主法?
=[（r1?
r1）r2-（r1?
r2）r1]/[r1?
r1?
r2]?
?
?
cos?
-sin?
0?
.
3.
（1）题1.求r?
{?
（u）cos?
?
（u）sin?
?
（u）},?
（u）?
0,的高斯曲率和平均曲率.解：
求ru,r?
?
e=ru?
ru=?
2+?
2,F=ru?
r?
=0,g=r?
?
r?
?
?
2?
求ruu,ru?
r?
?
?
n?
[ru?
r?
]/L=n?
ruu=-[?
?
?
?
?
m=n?
ru?
?
0,n=n?
r?
?
?
[?
?
]/取xoz平面上最初的曲线为x=?
（z）得z?
?
（u）?
u?
L=-?
m?
0,n=?
因为F=m?
0，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为k1?
L/e?
?
?
/[（1?
?
2）3/2],k2?
n/g?
1/[?
高斯曲率k?
k1k2?
-?
/[?
（1?
?
2）2];平均曲率为h=[1/2]（k1+k2）=[1+?
2?
?
?
]/[2?
（1?
?
2）3/2].
（2）题2.求正螺面
r={ucosv,usinv,bv}的kn,K,h.解:
由题意得e=1,F=0,g=u2+b2;L=0,代入主曲率公式[L?
kne,m?
knF;m?
knF,n?
kng]T?
0解得K1?
b/[u2+b2],K2?
?
b/[u2+b2];K?
K1K2?
?
b2/[（u2+b2）2],h?
[1/2]（K1+K2）?
0.（3）题3.确定抛物面z=a（x2+y2）在（0,0）的主曲率.解:
由题意得p=2ax,q=2ay,r?
2a,s?
0,t?
2a在（0,0）处p0=0,q0=0,r0?
2a,s0?
0,t0?
2a；?
e=1+p2=1,F=pq=0,g=1+q2?
1,L=r/?
2a，m=s/，n=t/2a代入主曲率公式得[2a-kn,0;0,2a-kn]T?
0解得K1?
K2?
2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率”
4.证明k?
0的曲线是直线;?
?
0的曲线是平面曲线.证：
已知k?
r?
0,因而r=0，由此得到r=a（常向量）,再积分r=as?
b,其中b也是常向量，即得证;若?
?
0,则?
是固定向量,但是我们已知?
?
?
=0，因而有r?
?
=0,积分后得r?
?
=a（常数），所以曲线在一个平面上。
?
?
?
?
?
?
5.
（1）题1.证若曲面上有两族测地线的夹角为定角，则曲面是可展曲面.证:
在每族测地线任取两条，围成曲面上的曲边四边形.根据已知条件，曲边四边形的外角和为2?
.由高斯-波涅公式得?
Kd?
?
2?
?
2?
?
Kd?
?
0.若在曲面的某点p0处，K?
0,不妨设
g
g
K（p0）>0,则在p0邻近K>0,从而对于围绕p0点的充分小的曲边四边形有?
Kd?
?
0得出矛盾，
g
K?
0,即曲面为可展曲面.
（2）若曲面s的高斯曲率处处小于零，闭测地线....证:
若存在所述闭测地线c,它所围成的曲面部分为g,由高斯-波涅公式得?
?
Kd?
?
g
?
k?
?
g
g
ds?
?
（?
?
?
i）?
2?
.
i?
1
k
因为K?
0,则?
?
Kd?
?
0,又后两项均为0，得出矛盾，所以不存在所述闭测地（:
微分几何学习辅导总结）线.
g
6.证明曲线x?
1?
3t?
3t2,y?
2?
2t?
5t2,z?
1?
t2为平面曲线，并求出所在平面方程.证：
因为r,r1，r2，r3=0?
?
=0?
平面曲线；令t=0?
r=?
1，2，，1?
r1=?
3，，-20?
因为平面曲线平面方程即密切平面?
R-r,r1，r2?
=0，所以方程为2x+3y+19z-27=0k?
0?
直线7.证明如果曲线?
:
r=r（s）为一般螺线,?
?
为?
的切线向量和主法向量，R为?
的曲率半径,证明?
:
r（s）?
R?
-?
?
ds也是一般螺线.证：
将r*=R?
-?
?
ds两边对s求微商，?
?
?
（ds/ds）=R?
所以?
*=?
?
;因为?
是一般螺线，所以存在向量p:
?
?
p=c=常数?
*
*
?
*?
p=?
?
?
p=?
c=常数.即得证?
也是一般螺线.?
k/t?
常数?
一般螺线?
8.求切平面:
（1）圆柱面r=?
Rcos?
Rsin?
z?
.解:
求r?
rz?
（R?
r,r?
rz）?
0即xcos?
?
Ysin?
?
R=0;
（2）证明曲面r=?
u,v,a3/（uv）?
体积为常数.证:
求ru,rv?
（R?
r,ru,rv）?
0即a3/（u2v）x?
a3/（u2v）Y?
Z?
3a3/（uv）=0?
V=（1/3）（1/2）?
3u?
3v?
（3a/uv）=（9/2）a?
c
9.三线三面：
法平面（R-r0）?
r01?
0；密切?
R-r0，r01，r02?
=0;从切?
R-r0，r01?
r02,r01?
=0；
3
3
10.证明对于正螺面r?
?
ucosv,usinv,bv?
，-?
?
u?
?
?
-?
?
v?
?
?
处处有en?
2Fm?
gL?
0.证：
由于r?
?
ucosv,usinv,bv?
;ru?
?
cosv,sinv,0?
;
rv?
?
?
usinv,ucosv,b?
;ruu?
?
0,0,0?
;ruv?
?
?
sinv,cosv,0?
;rvv?
?
?
ucosv,?
usinv,0?
;
22
所以e?
1,F?
0,g?
u?
b.n?
1/sinv,?
bcosv,u.L?
0,m?
?
b,n?
0.故en?
2Fm?
gL?
0.
11.求出抛物面z?
1/2（ax2?
by2）在（0,0）点,方向（dx，dy）的法曲率。
解：
因为r?
?
x,y,1/2（ax2?
by2）?
所以p?
ax,q?
by.r?
a,s?
0,t?
b.在（0,0）点有p0=0，q0?
0,r0?
a,s0?
0,t0?
b,e?
1,F?
0,g?
1,L?
a,m?
0,n?
b.I?
dx2?
dy2,II?
adx2?
bdy2,故在（0,0）点沿方向（dx：
dy）的法曲率为：
k（?
II/I?
[adx2?
bdy2]/[dx2?
dy2]?
[a（ndx：
dy）
1212
?
切线R-r0=?
r1（0）;主法线R-r0=?
（?
r01?
?
r0?
r0）?
;副法线?
R-r0?
=?
（r0?
r0）.
dx2dx
）?
b]/[（）2?
1]dydy
篇二：
微分几何20XX自考辅导
《微分几何》辅导
一、简答题
1.曲线r?
r（t）具有固定长度（即为以原点为球心的球面曲线）的条件是
2.曲线r?
r（t）位于原点的平面内的条件是
3.曲线r?
r（t）为一般螺线的条件是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4.直纹曲面r?
a（u）?
vb（u）为可展曲面的条件是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5.曲线r?
r（s）的三个基本矢量?
?
?
，则（?
?
?
）?
。
6.下列条件中不能判定曲线为平面曲线的条件是。
7.曲面r?
r（u,v）坐标曲线为曲率线的条件是。
8.曲面为极小曲面的条件是其主曲率k1,k2适合。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）?
。
9.曲线r?
r（s）的三个基本矢量?
?
?
，则（?
?
10.曲面r?
r（u,v）坐标网为渐近网的条件是
11.圆柱螺线r?
?
acost,asint,bt?
从t?
0到t?
2?
的曲线弧长s?
第1页共5页?
?
?
12.曲线r?
at,bt2,ct3（a?
b?
c?
0）在t?
t0处的切线方程为
13.曲线r?
at,bt2,ct3（a?
b?
c?
0）在t?
t0处的法平面方程为。
14.曲面xyz?
1的平行于x?
y?
z?
0的切平面方程为
15.曲面z?
f（x）?
g（y）上二共轭曲线网适合的微分方程为。
16.已知曲面r?
r（u,v）上二坐标曲线构成曲率线网，则K?
，h?
。
（F?
m?
0）?
?
?
?
?
?
?
?
17.曲面z?
三、计算题1（ax2?
by2）沿曲线x?
y方向在（0，0）处的法曲率kn?
2
1．求曲线r?
t,t,t?
?
23?
在t?
1处的法平面，密切平面，从切平面的方程。
?
2222．计算曲线计算曲线r?
?
acht,asht,at?
的曲率k和挠率?
.或r?
3t?
t,3t,3t?
t的曲率k?
?
和挠率?
.
3．求曲面r?
?
a（u?
v）,b（u?
v）,2uv?
上曲率线的方程。
?
dv2
e
L?
dudvdu2Fmg?
0n
4．求曲面z?
axy（a?
0）在点（0,0）处的高斯曲率和平均曲率。
（eg?
F2）kn?
（en?
gL?
2Fm）kn?
（Ln?
m2）?
0
5．求曲面z?
xy或z?
xy上的渐近曲线。
四、证明题：
（每小题10分，共20分）
1．证明曲线r?
{acost,asint,2bt}是一般螺线。
2．证明曲面x?
cosv?
（u?
v）sinv,y?
sinv?
（u?
v）cosv，z?
u?
2v为可展曲面。
3.证明曲面r?
?
vcosu,vsinu,au?
b?
不是可展曲面22222
第2页共5页
篇三：
20XX.doc教学总结
20XX-20XX年度第一学期
教学工作总结
姓名:
王爱梅
日期:
20XX-12-24
高中数学教学工作总结
作为一个普通的高中数学老师，我就根据切身体会在高中数学教学过程,对自己工作情况
做个小结。
一、工作总结。
我坚持正确的政治方向，拥护党的领导。
认真学习邓小平理论、党的十五大报告、《第
三次全国教育会议精神》、江总书记的“三个代表”理论，不断加强自身的政治理论修养。
热我平时加强理论学习。
理论来源于实践，然而实践离不开理论的指导。
，以“问题”作
为数学的教学起点，顺应学生的思维方式进行教学。
尽管如此，理论水平还远远不够，以后
我更要加强理论学习和理论研究。
在教学活动的设计中，发觉以概念作为教学的起点的方法，与数学思维活动的顺序相反，丝毫引不起学生的学习数学的兴趣。
因此在教学中采用多种形式的教学，提高学生学习数学
的兴趣。
我能遵守学校的各项规章制度，积极参加学校组织的各项活动。
踏踏实实、认认真真地
搞好日常教学工作的环节：
精心备课，认真上课，仔细批改作业，并认真评讲，积极做好
课外辅导和补差工作。
在教学工作中，我能积极贯彻素质教育方针，把提高素质，发展能力放在首位。
因为我
们的学生底子较差，课前、课后、课上的效率都不太高，针对这种情况，课堂教学我采用多
种教学形式，尽量的将一些枯燥无味的东西讲得形象生动一些，提高他们学习数学的兴趣。
最高兴的就是听到学生说他现在开绐对数学有兴趣了。
二、教学心得
1、认知数学教育的重要
高中数学教育是一门基础性自然科学，在人生的知识教育中起承前启后的作用，也是学
习物理、化学、计算机等学科基础，对培养学生的创新意识和应用意识，认识数学的科学和
文化价值，形成理性思维有着不可替代的作用。
2、依教学大纲，科学制教学目标
高中阶段，学生需要学好代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识、基本技能，
以及其中的数学思想方法。
数学教学过程中，注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展
学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一
步发展学生的数学实践能力。
3、教学首先要拉近师生间的距离
学生作为学习的主体，能否发挥他们的积极性和创造性，是教学成败的首要因素。
因此，在教学中，首先对学生进行德育教育，显得尤为重要。
第一，就是消除学生与老师的距离感，使学生对老师产生信任，建立友谊的师生关系，这是学生学习动力的源泉；第二、要真心关
心学生的生活，让他们感受亲人般的温暖，改掉老师威严般的面孔，让学生更愿意接近老师，
接近老师所教的学科；第三、对犯错的学生绝不姑息，但方法一定要合适，让学生感到你批
评他是为他好，这样才乐于接受你的批评，改正自己的错误。
4、教学要时刻面向全体学生
面向全体学生就是要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注
意发展学生的个性和特长。
学生在入学之前，因各种不同的因素，在数学知识、技能、能力
方面以及数学经验、志趣上存在很大的差异，特别是我校生源的实际问题——个性突出、基
础知识相对薄弱，因此在教学过程中，既要尊重学生的人格，关注个体差异，又要因材施教，
因势利导，发挥他们的特长和潜能，通过多种途径和方法，调动所有学生学习数学的积极性，
改进教学策略，满足学生的不同学习需求，发展学生的数学才能。
今年我担任高三两个班的数学课。
这我第一次带高三，所以在教学上，我花了较多的时
间钻研教材，弄清教材的重点和难点，尽可能的用形象的语言化难为易。
我教的班学生的基
础较差，要让他们的成绩有所提高，不是一件很容易的事，这让我感觉压力较大，但是我没
三、几点反思
很遗撼的是：
这半年我们班的成绩上升得不快。
我对此分析出几点原因：
（1）由于底子
薄，而我有时上课选的例题难度系数比较大，他们难以接受；
（2）难度大了，就忽略了基础
知识的掌握，所以学生学得不够踏实。
（3）虽然改了以往的只讲思路，不讲过程的情况，上
课能够将详细的解题过程写出，但学生在听课时只顾着做笔记，没有听讲解方法，以至于思
想方法不理解，就不能举一反三了。
（4）学生对教师的依赖性太大，动手能力差，遇到问题
不去思考，不去分析，更别谈进行逻缉推理。
（5）自觉性不高，课后练习不能保质保量的完
成，有时还出现抄袭现象。
针对这个现象，我决定对于我教的两个班，特别是很多数学底子很薄弱的学生，不能指
望他们能在高考中拿到后面的提高分，只要能够将基础的70%就够了，所以我决定从最基
础的知识下手，每天做几道最简单的题，巩固基础知识。
同时我还认识到我有以下不足：
①作为一名党员，没能发挥其应该发挥的带头作用；②
自己的教育教学理论知识很缺乏；③对于“一专多能”的目标还相差很远。
这是我对一年来教学的总结，也是我的一些心得和体会，在以后的教学中我会加倍努力，
加强自己的专业知识，扩充自己的知识面，完善知识结构，改正自己在教学上的错误方法，
努力探索，争做一名优秀的人民教师。
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