二次函数与相似三角形问题含答案完美打印版.docx

1、二次函数与相似三角形问题含答案完美打印版综合题解说 函数中因动点产生的相像三角形问题例题 如图 1，已知抛物线的极点为 A（2， 1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。求抛物线的分析式； （用极点式 求得抛物线的分析式为12yxx ）4若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、 D、 B 四点为极点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连结 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上能否存在点P，使得 OBP与 OAB相像若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明原因。y yA AO B O Bx x图1 例1题图 图2O、C、 D、 B剖析 :1. 当给

2、出四边形的两个极点时应以两个极点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以四点为极点的四边形为平行四边形要分类议论: 按 OB为边和对角线两种状况2.函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题门路 求相像三角形的第三个极点时，先要剖析已知三角形的边 和角 的特色，从而得出已知三角形能否为特 殊三角形。依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类议论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标从而用函数分析式来表示各边的长度，以后利用相像来列方程求解。例题 2：如图，已知抛物线 y=ax

3、2+4ax+t （ a 0）交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1 ，0）（ 1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P，你能判断四边形 ABCP是什么四边形并证明你的结论；（ 3）连结 CA与抛物线的对称轴交于点 D，当 APD= ACP时，求抛物线的分析式x练习 1、已知抛物线253及原点O (0，0)y ax bx c经过P(，33) E20（ 1）求抛物线的分析式 （由一般式 得抛物线的分析式为2253yxx ）33（ 2）过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y

4、 轴于 C 点，在抛物线对称轴右边且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC及两坐标轴围成矩形 OABC 能否存在点 Q ，使得 OPC 与 PQB 相像若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明原因（ 3）假如切合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的四y个三角形 OPC， PQB，OQP， OQA 之间存在如何的关系为何CPBQOEAx练习 2、如图，四边形 OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上

5、，将边 BC折叠，使点 B落在边 OA的点 D 处。已知折叠 CE5 5 ，且 tan EDA3。4（ 1）判断 OCD 与 ADE 能否相像请说明原因；（ 2）求直线 CE与 x 轴交点 P 的坐标；（ 3）能否存在过点 D 的直线 l ，使直线 l 、直线 CE与 x 轴所围成的三角形和直线 l 、直线 CE与 y 轴所围成的三角形相像假如存在，请直接写出其分析式并画出相应的直线；假如不存在，请说明原因。yC BEOD A x练习 2图练习 3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2bxc(a0) 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左边），与 y 轴交于

6、点 C ，其极点的横坐标为1，且过点 (2，3) 和 (3， 12) （ 1）求此二次函数的表达式； （由一般式 得抛物线的分析式为yx22x3）（ 2）若直线 l : y kx (k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B， C 重合），则能否存在这样的直线l ，使得以 B，O， D 为极点的三角形与 BAC 相像若存在， 求出该直线的函数表达式及点D 的坐标； 若不存在，请说明原因； A( 1，0)， B(3，0), C (0，3)（ 3）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与极点重合的随意一点，试比较锐角PCO 与ACOyx lPC的大小（不用证明） ，并写出此时点 P 的

7、横坐标 xp 的取值范围O练习 4 、以下图，已知抛物线 y x2 1 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求 A、 B、 C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上能否存在一点 M，过 M作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G三点为极点的三角形与 PCA相像若存在，恳求出 M点的坐标；不然，请说明原因练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形，ACB90o ，点 A，C 的坐标分别为 A( 3，0) ， C (10)， ， tan BAC34（ 1）求过点 A，B 的直线

8、的函数表达式；点A( 3，0) ， C(10)， ， B(13)， ， y3 x944（ 2）在 x 轴上找一点 D ，连结 DB ，使得 ADB 与 ABC 相像（不包含全等） ，并求点 D 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，如 P， Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连结 PQ ，设 AP DQ m ，问能否存在这样的 m 使得 APQ 与 ADB 相像，如存在，恳求出 m 的值；如不存在，请说明原因yBxA O C练习 6、如图，已知抛物线与 x 交于 A( 1， 0) 、 E(3 ， 0) 两点，与 y 轴交于点 B(0 ，3) 。（1） 求抛物线的分析式；（2） 设抛物线极点为

9、 D，求四边形 AEDB的面积；（3） AOB与 DBE能否相像假如相像，请给予证明；假如不相像，请说明原因。练习 7、如图，已知抛物线 y 3 x2 bx c 与坐标轴交于 A、 B、 C 三点， A 点的坐标为（ 1， 0），4过点C 的直线y3x 3 与 x 轴交于点Q，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH OB于点H若PB4t5t ，且 0 t 1（1）填空：点 C 的坐标是 _ _ ， b _ _ ， c_ _ ；（2）求线段 QH的长（用含 t 的式子表示）；（ 3）依点 P 的变化，能否存在 t 的值，使以 P、H、Q为极点的三角形与值；若不存在，说明原因COQ相像若存在，

10、求出全部t 的yQHA OBxPC练习 8、如图，抛物线经过 A(4，0)， B(10)， C (0， 2) 三点（ 1）求出抛物线的分析式；（ 2） P是抛物线上一动点，过P作 PMx 轴，垂足为M，能否存在P 点，使得以A，P， M为极点的三角形与OAC 相像若存在，恳求出切合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 DCA 的面积最大，求出点D 的坐标练习9、已知，如图 1，过点E 0，1作平行于x轴的直线 l ，抛物线12 上的两点、的横坐标分yA Bx4别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A、B 分别作直线 l 的垂

11、线，垂足分别为点C、D，连结CF、DF （1）求点 A、B、F 的坐标；（2）求证： CF DF ；（ 3）点 P 是抛物线 y1 x2对称轴右边图象上的一动点，过点P 作 PQ PO 交 x 轴于点 Q ，能否存在4点 P 使得 OPQ 与 CDF 相像若存在，恳求出全部切合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明原因练习 10、当 x 2 时，抛物线 y ax2 bxc 获得最小值 1，而且抛物线与 y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于点 A、B（ 1）求该抛物线的关系式；（ 2）若点 M（ x， y1），N（ x 1， y2）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小；（ 3）D

12、是线段 AC的中点， E 为线段 AC上一动点（ A、C 两头点除外），过点 E 作 y 轴的平行线 EF 与抛物线交于点 F问：能否存在 DEF与 AOC相像若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，则说明原因y3 C EDFO B A x（第 26 题图）练习 11、如图，一次函数 y= 2x 的图象与二次函数 y=x2+3x 图象的对称轴交于点 B.（ 1）写出点 B 的坐标 ；（2）已知点 P 是二次函数 y=x2+3x 图象在 y 轴右边 部分上的一个动点， 将直线 y= 2x 沿 y 轴向上平移，分别交 x 轴、 y 轴于 C、 D 两点 . 若以 CD为直角边的 PCD与 OCD相像

13、，则点 P 的坐标为 .DCOB练习 12、如图，抛物线 y ax 2 bx 1与 x 轴交于两点 A（ 1， 0）， B（ 1，0），与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的分析式；(2)过点 B作BD CA与抛物线交于点 D，求四边形 ACBD的面积；(3) 在 x 轴下方的抛物线上能否存在一点 M，过 M作MN x 轴于点 N，使以 A、 M、N为极点的三角形与 BCD相似若存在，则求出点 M的坐标；若不存在，请说明原因练习 13、已知：函数 y=ax 2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）以下图，设二 次函数 y=ax 2+x+1 图象的极点为 B，与 y

14、 轴的交点为 A，P 为图象上的一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 AB相切于点 B，求 P 点的坐标；（ 3）在 (2) 中，若圆与 x 轴另一交点对于直线 PB的对称点为 M，尝试究点 M能否在抛物线y=ax 2+x+1 上，若在抛物线上，求出 M点的坐标；若不在，请说明原因yAB Ox练习 14、如图 , 设抛物线 C : y a x 125 , C: ya x 125,C与 C的交点为 A,B, 点 A的坐标1212是 (2,4) , 点B 的横坐标是2.（ 1）求a 的值及点B 的坐标；（ 2）点 D在线段线为 l , 且 l 与 xAB上, 过轴交于点D作 N.x 轴的垂线,

15、垂足为点H,在DH的右边作正三角形DHG. 记过C2 极点的直 若 l 过 DHG的极点 G,点 D 的坐标为 (1, 2) ，求点 若 l 与 DHG的边 DG订交 , 求点 N的横坐标的取值范围N的横坐标；.练习 15、如图，在矩形 ABCD中， AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设 AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点 P 重合，得折痕 EF（点 E、 F 为折痕与矩形边的交点） ，再将纸片复原。（ 1）当 x=0 时，折痕 EF 的长为；当点 E 与点 A重合时，折痕 EF的长为；（ 2）请写出使四边形 EPFD为菱形的 x 的取值范围，并求出当x=2 时菱形的边长；

16、（ 3）令 EF2y ，当点 E 在 AD、点 F 在 BC上时，写出 y 与 x 的函数关系式。 当 y 取最大值时， 判断 VEAP与 VPBF 能否相像若相像，求出 x 的值；若不相像，请说明原因。练习 16、如图，已知 A( 4,0) ， B(0, 4) ，现以 A 点为位似中心，相像比为 9:4 ，将 OB向右边放大， B 点的对应点为 C(1)求 C 点坐标及直线 BC的分析式 ;(2)一抛物线经过 B、 C 两点，且极点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的分析式并画出函数图象;(3)现将直线 BC绕 B 点旋转与抛物线订交与另一点P，请找出抛物线上全部知足到直线AB距离为 32 的

17、点 P参照答案例题、解 : 由题意可设抛物线的分析式为 y a( x 2) 2 1抛物线过原点， 0a( 0 2) 21 a1.4抛物线的分析式为y1 (x2) 21, 即 y1x 2x44如图 1, 当 OB为边即四边形OCDB是平行四边形时 ,CDOB,由 01 (x 2) 21得 x10, x 24 ,4B(4,0),OB 4.D点的横坐标为 6将 x 6 代入 y1 (x2) 21, 得 y 3,4D(6, 3);依据抛物线的对称性可知 , 在对称轴的左边抛物线上存在点 D, 使得四边形坐标为 ( 2, 3),yAO BxC D图 1ODCB是平行四边形 , 此时 D 点的当 OB为对

18、角线即四边形 OCBD是平行四边形时 ,D 点即为 A 点 , 此时如图 2，由抛物线的对称性可知 :AOAB,AOB ABO.若 BOP与 AOB相像 , 一定有 POB BOA BPO设 OP交抛物线的对称轴于 A点 , 明显 A(2, 1)D 点的坐标为 (2,1)y直线 OP的分析式为 y1 xAOBE2由112x ,xxxA24图 2 P得 x 1 0, x 2 6. P(6, 3)过 P 作 PEx轴 , 在 RtBEP中 ,BE 2,PE 3,PB 13 4.PBOB, BOP BPO, PBO与 BAO不相像 ,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在切合条件的所以在该抛物线上

19、不存在点 P, 使得 BOP与 AOB相像 .P点 .练习 1、解：（ 1）由已知可得：3a3b375 a53 b0 解之得， a253， c0 ， b3423c 0因此得，抛物线的分析式为：y2 x253 x 33（ 2）存在设 Q 点的坐标为 (m， n) ，则 n2 m253 m ，33要使 OCP PBQ, BQPB ，则有3nm332 m253 mm 3，即33CPOC3333解之得， m23，m2 12当 m12 3 时， n 2 ，即为 Q 点，所以得 Q(23，2)BQ PB3 n m 332 m25 3 mm 3要使OCP QBP33，则有，即,OC333CP3解之得， m1

20、3 3，m23，当 m3 时，即为P 点，当 m1 3 3 时， n 3，所以得 Q(3 3， 3) 故存在两个 Q 点使得 OCP 与 PBQ 相像Q 点的坐标为 (2 3，2)，(3 3， 3) （ 3）在 RtOCP 中，由于 tanCOPCP3所以 COP 30o OC3当 Q 点的坐标为 (2 3，2) 时，BPQCOP30o 所以 OPQOCPBQAO90o 所以， OPC， PQB，OPQ，OAQ 都是直角三角形又在 Rt OAQ 中，由于 tan QOAQA3所以 QOA 30o AO3即有 POQQOAQPBCOP30o 所以 OPC PQB OQP OQA ，又由于 QP

21、OP， QA OAPOQAOQ30o ，所以 OQA OQP 练习 2解：（ 1） OCD 与 ADE 相像。原因以下：y由折叠知，CDEB90CB，3 1 2oE， Q1390，23.9012又 CODDAE，OD A x90图 1OCD ADE 。（ 2） tanAE3EDA， 设 AE=3t，AD4则 AD=4t。由勾股定理得 DE=5t。OC ABAE EBAE DE 3t 5t 8t 。ylNC MB由（ 1） OCD ADE ，得 OCCD ，ADDE8tCD，4t5tCD 10t 。在DCE 中，CD2 DE2 CE2， (10t )2 (5t )2 (5 5) 2 ，解得 t=1 。OC=8， AE=3，点 C 的坐标为（ 0， 8），点 E 的坐标为（ 10，3），设直线 CE的分析式为 y=kx+b ，