《概率论与数理统计教程》.docx
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《概率论与数理统计教程》
《概率论与数理统计教程》
教案
第二章
随机变量及其分布
教材:
《概率论与数理统计教程》
总安排学时:
90
本章学时:
18
概率论与数理统计教案
第五讲:
随机变量，离散型随机变量
教学内容:
随机变量的定义，随机变量的分布函数的定义及性质，一维离散型随机变量。
教学目的:
（1）深刻理解随机变量的意义，熟练掌握用随机变量表示随机试验的结果;
（2）深刻理解随机变量分布函数的定义、掌握分布函数的性质;（3）理解一维离散型随机变量的意义，熟练掌握一维随机变量的表示，掌握离散型随机变量分布函数的计算。
教学的过程和要求:
（1）举例给出随机变量的定义，举出连续型和离散型的例子，举出试验结果为数量型和非数量型的情况的随机变量的表示并加以总结给出定义，强调随机变量的取值与随机试验的结果之间的对应关系;说明引进随机变量的意义和目的。
（20分钟）
（i）举例说明随机变量的定义:
例:
掷一颗骰子得到的点数，分别用1、2、3、4、5、6来表示;例:
测试一个灯泡的使用寿命，结果对应着（0，）中的一个实数;，,
例:
投篮一次“命中”可用1表示，“没有命中”可用0表示;例:
从一批产品中随机抽取一个检验，“次品”用0表示，“合格品”用1表示等等。
XE随机变量:
一个变量的取值取决于随机试验（现象）的基本结果，则该变量称为随机变量.随机变量常用大写字母X、Y、Z等表X（,）,
示，其取值用小写字母x、y、z等表示.
（ii）引进随机变量的意义和目的:
意义:
随机变量是由随机试验的结果所决定的变量;“随机”性表现在，随机变量取什么值，在试验前无法确知，要随机会而定.
目的:
引入随机变量的概念后，随机事件就可以用随机变量的数量形式来表示，从而把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，这是运用各种数学工具研究随机现象的基础.
（2）随机变量的分布函数及其性质;此为本节重点。
借助于函数及其性质来理解和解决概率问题是引进分布函数的目的。
对于分布函数要强调其与一般函数相同之处和不同之处，由此来解释和证明分布函数的性质。
声明凡具有分布函数四个性质的函数都可认为是某一随机变量的分布函数。
（i）随机变量的分布函数定义:
定义:
设X是一个随机变量，对于任意实数x，令
F（x）,p{X,x}
称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数.F（x）
1
概率论与数理统计教案
（ii）分布函数性质:
1）对于任意实数，;0,F（x）,1x
2）;F（,,）,limF（x）,0，F（，,）,limF（x）,1x,,,x,，,
3）是单调非减函数，即对于任意，有;F（x）,F（x）F（x）x,x1212
4）右连续，即.F（x）,F（x，0）F（x）
（iii）举例说明分布函数性质:
0,x,0,
2ax,0,x,12,,a,,,,34例如:
函数只有当时可以成为某一随F（x）,,,x,b,1,x,13,,b,,,3,4x1,,,3,
机变量的分布函数。
（可以举一相应的例子）（35分钟）（3）根据前面所举例子，强调离散型随机变量的特点给出离散型随机变量的分布列的表示和分布列的性质;并说明具有该两性质的数列也可认为是某随机变量的分布列。
由分布函数的定义给出离散型随机变量的分布函数;书中例子，计算讲解后注意强调分布函数的右连续性。
（i）离散型随机变量的分布列定义及表示:
X定义:
设为离散型随机变量，其可能取值为x，x，？
x，？
，且12n
p{X,x},p（x）,p（i,1，2，？
）iii
X称上式为随机变量的概率分布或分布列.
可用表格形式来表示为:
？
？
Xxxxx123n
？
？
ppppp123n（ii）分布列的性质:
1p,0（i,1，2，？
））;2）.p,1,iii1,
（iii）离散型随机变量的分布函数:
F（x）,p{X,x},p{X,x},pii,,xx,,xxii
（iv）离散型随机变量的分布函数计算:
X例1:
有一批产品共40件，其中有3件次品.从中随机抽取5件，以表示取到次品的件数，求X的分布列及分布函数.
2
概率论与数理统计教案
解:
随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件
X{X,k}（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分布为
k,k5CC337p{X,k},，k,0，1，2，3.5C40
或
X0123
p0.66240.30110.03540.0011
x,0当时，;F（x）,p{X,x},0
0,x,1当时，;F（x）,p{X,k},p{X,0},0.6624,k,x
1,x,2当时，=0.9635;F（x）,p{X,k},p{X,0}，p{X,1},k,x
类似地可求得:
2,x,3当时，;F（x）,p{X,0}，p{X,1}，p{X,2},0.9989
x,3当时，.F（x）,1
0,x,0,
0.6624,0,x,1,,F（x）,故0.9635,1,x,2,
0.9989,2,x,3,,1,x,3,
（4）补充例题:
一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率分布函数.（25分钟）
（5）学生练习:
一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数的概率函数.练习:
书中配套练习（任选）（10分钟）
第六讲:
连续型随机变量
教学内容:
连续型随机变量的定义、表示及性质，一维随机变量函数的分布的意义及求法。
教学目的:
（1）深刻理解连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，熟练掌握分布密度函数性质的应用
（2）熟练掌握分布密度函数与随机变量在某区间是取值的概率之间的计
3
概率论与数理统计教案
算;
（3）理解随机变量的函数仍为随面变量，其分布函数（或密度）由原随机变量的分布各函数关系决定，掌握离散型随机变量函数的分布的计算;（4）了解求连续型随机变量函数分布的一般方法。
教学的过程和要求:
（1）对比离散型随机变量的取值情况举例给出连续型随机变量的定义;举例说明连续型随机变量的定义:
例3:
设一个半径为2的圆盘靶子，假设射击都能中靶，且打到靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比.以X表示弹着点与圆心的距离，试求X的分布函数.F（x）
定义:
如果对于随机变量X的分布函数，存在函数F（x）
，使得对于任意实数x，有f（x）,0（,,,x,，,）
xF（x）,p{X,x},f（x）dx,,,
则称X为连续型随机变量，函数称为X的概率密度函数（简称密度函f（x）
数）.
（2）举例说明密度函数的定义、意义和性质.（书中例3）强调密度函数的性质及应用（其中密度函数中求知参数的求法、已知密度函数求概率）。
（i）密度函数的定义:
连续型随机变量分布函数中的称为X的概率密度函数（简称密度f（x）
函数）.
（ii）密度函数的意义和性质:
1）非负性:
（）;,,,x,，,f（x）,0
，,2）=1;F（，,）,p（X,，,）,f（x）dx,,,
3）对于任意实数和，有b（a,b）a
bp{a,X,b},F（b）,F（a）,f（x）dx;,a
4）在的连续点处，有f（x）F（x）,f（x）
（iii）密度函数的计算:
,Acosx,x,,2Xf（x）,补充例题:
设随机变量的概率密度为:
，求,,,0,x,2,
,,A0,,1）常数;2）pX。
（30分）,,4,,
（3）了解密度函数与分布函数的关系。
可以练习书后13题并讲解（15分）。
4
概率论与数理统计教案
（4）举例说明随机变量函数的定义，重点说明随机变量函数的意义和决定随机变函数分布的因素有哪些，通过例题介绍随机变量函数的分布的求法，离散型随机变量讲解书中例1。
连续型随机变量函数的分布要注意强调用分布函数的定义的方法（不作为考试重点）,例子以线性函数为主,可对线性函数密度函数之间的关系进行总结.（15分）（i）举例说明随机变量函数的定义:
例:
在测量中由于误差的存在，某轴承的直径X是一个随机变量，可以得
12到它的分布，但是我们关心的是轴承横截面积Y,,X，由于直径是随4
Y机变量，那么横截面积Y也是一个随机变量，具有一定的分布，可以由与
XYXX的函数关系和的分布唯一确定，则的分布即为随机变量函数的分布。
定义:
X是一个随机变量，为连续实函数，则称为一g（x）Y,g（X）维随机变量的函数，显然Y也是一个随机变量.（ii）随机变量函数的分布的求法:
离散型随机变量函数分布的求法:
X首先将的取值代入函数关系式，求出随机变量Y相应的取值
y,g（x）（i,1，2，？
.）ii
如果的值各不相等，则Y的概率分布为y（i,1，2，？
.）i
Y„„„„yyy12i
p„„„„ppp12i
如果中出现相同的函数值，如y,g（x）（i,1，2，？
）ii
Yy,g（x）,g（x）（i,k），则在Y的分布列中，取y的概率为iiki,,,,,,pY,y,pX,x，pX,x,p，p.iikik
例1:
设随机变量X的概率分布为
X-2-10123
p0.050.150.200.250.20.15
2Z,XY,2X，1求和的概率分布.
Y,2X，1解:
由函数和X可能的取值，得Y相应的取值为
Y,2X，1YXY，又由中与是一一对应关系可得的分布,3,,1,1,3,5,7
如下:
Y,2X，1-11357-3
p0.050.150.200.250.200.15
2Z,X可能取的值为0，1，4，9，相应的概率值为
,,,pZ,0,pX,0,0.20
5
概率论与数理统计教案
,,,,,pZ,1,pX,,1，pX,1,0.25，0.15,0.4同理,,pZ,4,0.25
0.15,,pZ,9
即Z的概率分布为
20149Z,X
p0.200.400.250.15补充例题:
X测一圆盘的半径，其概率分布为
10111213X
0.30.20.10.4P
求圆的周长和面积的分布。
（可让学生先做然后讲解）;（20分）
连续型随机变量函数分布的求法:
XY,aX，bb例2:
设的分布密度为，求随机变量（，均为常数，f（x）aa,0且）的概率密度.
Y解:
用来表示随机变量的分布函数，由分布函数的定义F（y）Y
F（y）,p（Y,y）,p（aX，b,y）Yyb,y,baF（y）,p（X,）,f（x）dxa,0当时，Y,,,a
yb,1,f（y）F（y）f（）,,Yaa
yb,y,by,baF（y）,p（X,）,1,p（X,）,1,f（x）dxa,0当时，Y,,,aa
yb,1,f（y）F（y）f（）,,,Yaa
yb,1,Y则的分布密度为f（y）F（y）f（）,,Yaa
书中配套练习（任选）（10分钟）
第七讲:
随机变量的数字特征
教学内容:
一维随机变量的数字特征,包括离散型随机变量的数学期望与方差、连续型随机变量的数学期望与方差、随机变量函数的数学期望以及期望和方差的性质。
教学目的:
（1）深刻理解随机变量数学期望的实际意义，熟练掌握数学期望的计算;
（2）深刻理解随机变量方差的实际意义，熟练掌握方差的计算;（3）理解随机变量的函数的数学期望，掌握随机变量函数数学期望的计算;
6
概率论与数理统计教案
（4）理解随机变量数学期望和方差的性质，掌握其应用。
教学的过程和要求:
（1）引言:
从整体上如何了解一个随机变量，用某些数字刻画随机变量取值的平均值和取值与平均值的偏离程度并举例，参看书中本节引言;（3分）
分布函数在概率意义上给随机变量以完整的刻画，但在许多实际问题的研究中，要确定某一随机变量的概率分布往往并不容易.就某些实际问题而言，我们更关心随机变量的某些特征.
举例说明:
例:
在研究水稻品种的优劣时，往往关心的是稻穗的平均稻谷粒数;例:
在评价两名射手的射击水平时，通常是通过比较两名射手在多次射击试验中命中环数的平均值来区别水平高低;
例:
在检验自动包装机的生产性能时，则要考察产品的重量与标准重量的偏离程度，偏离程度越小，说明包装机稳定性越好.
我们把一些与随机变量的概率分布密切相关且能反映随机变量某些方面重要特征的数值称为随机变量的数字特征。
（2）举例（书中例1或其它）说明随机变量平均数的实际意义，说明该平均数与总的数量无关，只与随机变量取各数的概率及各数的大小有关，给出离散型随机变量数学期望的定义，举书中例2，例3，根据例题说明数学期望在实际应用中的意义。
（27分）
（i）举例说明随机变量平均数的意义:
例1:
某商店向工厂进货，该货物有四个等级:
一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是:
0.50、0.30、0.15、0.05.若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元,
N0.50N解:
假设该商店进货量极大，则平均说来其中有一等品件，
0.30N0.15N0.05NN二等品和三等品和等外品数分别为件、件、件.这件产品总的销售获利为
（元）0.50N，10.5，0.30N，8，0.15N，3，0.05N，（,6）故平均获利为
1[0.50N，10.5，0.30N，8，0.15N，3，0.05N，（,6）]N
0.50，10.5，0.30，8，0.15，3，0.05，（,6）
7.8（元）
N从结果来看，平均获利与进货量并无关系，只与各等级的概率和获
k
利情况有关，等于它们乘积之和xp.即这个量不依赖于试验的次数，,iii,1
XX它体现了随机变量的客观属性，我们把它称为随机变量的数学期望或
7
概率论与数理统计教案
理论均值。
（ii）离散型随机变量数学期望的定义:
定义:
设随机变量X的分布列为，若级p{X,x},p（i,1，2，？
）ii
,
绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望，记作EX，即数xpxp,,iiiii,1i,1
EX,xp,iii1,
如果级数发散，则称X的数学期望不存在.xp,iii,1
（iii）离散型随机变量数学期望的计算:
X例2:
某两名射手在相同条件下进行射击，其命中环数及其概率如下表，试问哪名射手的技术更好些,
X（环）8910
甲0.10.40.5
乙0.30.30.4
解:
甲、乙射手命中环数X的数学期望为:
EX,8，0.1，9，0.4，10，0.5,9.4（环）甲EX,8，0.3，9，0.3，10，0.4,9.1（环）乙
结果说明若甲、乙进行多次射击，则甲的平均命中环数为9.4，而乙的平均命中环数为9.1，这说明甲的射击技术比乙好些.
（3）依照离散型随机变量数学期望定义的形式给出连续型随机变量数学期望的定义，由前节知近似为连续型随机变量在点附近的概率对f（x）dxx
定义进行解释;（例4）（15分）
（i）连续型随机变量数学期望的定义:
，,定义:
设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对f（x）xf（x）dx,,,
，,，,EX收敛，则称积分为X的数学期望，记为，即;xf（x）dxEX,xf（x）dx,,,,,,
，,若积分发散，则称X的数学期望不存在.xf（x）dx,,,
（ii）连续型随机变量数学期望定义的解释:
EX连续型随机变量的期望反映了随机变量X取值的“平均水平”.假
EXEX如X表示寿命，则就表示平均寿命;假如X表示重量，就表示平均重量.从分布的角度看，数学期望是分布的中心位置.
8
概率论与数理统计教案（iii）连续型随机变量数学期望的计算:
2x,0,x,1,Xf（x）,例4:
随机变量X的分布密度为，求的数学期望.,0,其它,
，,12（）2解:
EX,xfxdx,xxdx,,,,,03
（4）由数学期望的定义和随机变量函数的性质，利用一个离散型随机变量
函数的数学期望的例子给出45页的定理;（15分）（i）随机变量函数的数学期望:
定理:
设X是一个随机变量，为连续实函数.g（x）
（1）若X是离散型随机变量，其概率分布为
，若级p{X,x},p，i,1，2，？
ii,
数绝对收敛，则存在，且g（x）pEg（X）,iii,1
EY,Eg（X）,g（x）p,iii1,
（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为，若积分f（x）X，,绝对收敛，则存在，且Eg（X）g（x）f（x）dxX,,,
，,EY,Eg（X）,g（x）f（x）dxX,,,
（ii）随机变量函数的数学期望的计算:
2E（X,EX）例5:
设X的概率分布如下表所示，求
X012
p110610310
EX解:
先求
163EX,0，，1，，2，,1.2101010
1632222E（X,EX）,（0,1.2），，（1,1.2），，（2,1.2），,0.36则101010
2例6:
对例4中分布，求.EX
，,11222EX,xf（x）dx,x,2xdx,,,,,02补充例题:
X例:
离散型随机变量的分布列为:
9
概率论与数理统计教案
1X012
p0（20（30（30（2
2求随机变量的数学期望。
Y,X，1
（5）由随机变量函数的数学期望给出方差的定义并说明其意义（书中例子）。
（15分）
方差的定义:
2X定义:
设是一个随机变量，如果E（X,EX）存在，则称
22XDXE（X,EX）为的方差，记作，即DX,E（X,EX），称为DX标准差或均方差.
方差的计算式:
22DX,EX,（EX）方差的计算:
DX例7:
对例4中的分布，求.
解:
由例4、例5的结果可知
212,EX,EX,32
2121,,22（）DX,EX,EX,,,所以,,2318,,
（6）数学期望和方差的性质。
（10分）
（i）数学期望的性质:
C1）设为任意一个常数，则;E（C）,C
XEXC2）设为一随机变量，且存在，为常数，则有;E（CX）,CEX
由1）、2）可得（为任意常数）。
E（aX，b）,aEX，ba,b
（ii）方差的性质:
CDC,01）设为常数，则;
2XCD（CX）,CDX2）如果为随机变量，为常数，则;
XC3）如果为随机变量，为常数，则有;D（X，C）,DX
2a，bD（aX，b）,aDX由性质2）、3）可得（为任意常数）。
（7）应用案例中例4或例5。
或其它练习。
（5分）第八讲:
常用离散分布
教学内容:
常见的离散型随机变量:
一点分布、两点分布、二项分布、泊松分布的分布列、数字特征用应用。
10
概率论与数理统计教案
教学目的:
（1）深刻理解每一个分布的实际意义，熟练掌握每个分布的分布列;
（2）熟练掌握每个分布的数学期望方差的计算;并深刻理解其数字特征的实际意义;
（3）熟练掌握利用分布列求随机变量取值的概率的计算;（4）掌握泊松定理的应用。
教学的过程和要求:
（1）一点分布只用简单介绍，分布列及其性质，已经退化为几乎确定，但并非一个常数。
（3分）
常见离散型随机变量的分布
1（一点分布（退化分布）:
一个随机变量X以概率1取某一常数，即，则称X服从p{X,a},1a
点a处的退化分布（一点分布）。
EX,aDX,0数学期望，方差。
（2）重点讲两点分布、二项分布。
对于每个分布给出（或推出）分布例，说明满足分布列的性质，数学期望和方差是什么，分布中参数的意义及其变化对分布的影响。
要重点讲解各分布的实际应用，两点分布与二项分布之间的关系，联系第一章独立重复试验部分的内容;（例1、例2、例3）2（两点分布（贝努里分布）:
X若随机变量只有两个可能的取值0和1，其概率分布为
X01
pp1,p
1,xxp（X,x）,p（1,p）x,0,1或则称X服从参数为p的两点分布.（也称0-1分布）。
（p,0）
数学期望，方差EX,pDX,p（1,p）,pq（q,1,p）3（二项分布:
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为0，1，„，n，且相应的概率为
kkn,kkkn,kk,p{X,k},Cp（1,p）,Cpq，0，1，„，n.（q,1,p）nn
称X服从参数为n、p的二项分布，记作.X~B（n,p）
数学期望，方差EX,npDX,npq（q,1,p）
两点分布、二项分布的关系及应用:
X例1:
假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，表示他投篮一次命中的次数，X求的概率分布.
X解:
投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数只可能
11
概率论与数理统计教案
取0、1两个值，且概率分别为=0.8，p{X,1}
p{X,0},1,p{X,1},1,0.8,0.2
也可表示为
X01
p0.20.8
例2:
甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜.假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少,甲平均赢得的盘数是多少,
解:
每一盘棋可看作一次贝努里试验.设X为甲赢的盘数，则
，即X~B（10,0.6）
kk10,kp（X,k）,C0.60.4k,0,1,？
1010
按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜.所以
10kk10,kp{甲获胜}=p{X,6},C（0.6）（0.4）,0.6331,10k,6
X,4若乙获胜，则甲赢棋的盘数，即
4kk10,k.p{乙获胜},p{X,4},C（0.6）（0.4）,0.1662,10k,0
事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相
555p{不分胜负},p{X,5},C（0.6）（0.4）,0.2007当的可能.容易算出:
.10
由于EX,np,10，0.6,6
甲平均赢得的盘数为6盘.
例3:
某厂需从外地购买12只集成电路.已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只,
解:
设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则
X,12，按题意，要求事件“”的概率不小于0.99，即X~B（n,0.9）
nkkn,kp{X,12},C（0.9）（0.1）,0.99,n12k,
可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只.
补充例题:
某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用.
12
概率论与数理统计教案
X解:
每个时刻构成一n=4的贝努里试验,且p=15/60=0.25,因此,设为每
XX个时刻要用秤的售货员数,则~B（4,0.25）,当>2时,台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为
334P（X,2）,C，0.25
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