学年度第一学期九年级数学期末质量检测含答案.docx
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学年度第一学期九年级数学期末质量检测含答案
一、选择题（共10小题，每小题4分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．下列根式中，不是最简二次根式的是
A．
B．
C．
D．
2．下列图形依次是圆、正方形、平行四边形、正三角形，其中不是中心对称图形的是
3．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，则∠BOC的度数是
A．100°B．80°C．50°D．40°
4．下列事件中，为必然事件的是
A．购买一张彩票，一定中奖B．打开电视，正在播放广告
C．一个袋中只有装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球D．抛掷一枚硬币，正面向上
5．用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
6．方程x2＝x的解是
A．x＝1B．x＝0C．x1＝1，x2＝0D．x1＝－1，x2＝0
7．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是
A．y＝（x－2）2＋2B．y＝（x―2）2―2C．y＝（x＋2）2＋2D．y＝（x＋2）2－2
8．若n（n≠0）是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的一个根，则m＋n的值是
A．－3B．－1C．1D．3
9．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2－6x＋5＝0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是
A．外离B．外切C．相交D．内切
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点A（4a＋2b＋c，abc）在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
A
B
C
O
第3题图
陆地
108°
海洋
第5题图
O
x
y
第10题图
x＝1
A
B
C
D
O
第14题图
二、填空题（共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）
11．使
有意义的x的取值范围是_______________．
12．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字为6的概率是______________．
13．如果关于x的方程x2－2x＋k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，则k＝_________．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的
），点O是这段弧的圆心，C是
上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝160m，CD＝40m，则这段弯路的半径是___________m．
15．已知二次函数y＝―x2―4x＋3，则y的最大值是____________；x＋y的最大值是____________．
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
16．计算：
（每小题7分，共14分）
（1）
×
×
÷
；
（2）
＋6
－2x
．
17．（本题15分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（－3，1），B（0，1），C（0，3），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）直接写出△A1B1C1各顶点坐标；
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C、B1、C1，求二次函数的解析式；
（4）请在右边的平面直角坐标系中画出（3）的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
x
…
…
y＝ax2＋bx＋c
…
…
18．（本题12分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，5．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出球的标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：
当x与y的积为偶数时，小明获胜；否则小强获胜．
（1）若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率；
（2）若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏公平吗？
请说明理由．
19．（本题10分）据媒体报道，某县2011年旅游纯收入约2000万元，2013年旅游纯收入约2880万元，若2012年、2013年旅游纯收入逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年该县旅游纯收入的年平均增长率；
（2）如果今后两年仍保持相同的年平均增长率，请你预测到2015年该县旅游纯收入约多少万元？
20．（本题12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，且∠A＝∠PCB．
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，PB＝1，求
的弧长．
21．（本题13分）在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．
（1）如图①，当PD⊥AC时，则DC＋CE的值是____________．
（2）如图②，当PD与AC不垂直时，
（1）中的结论是否还成立？
若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，在∠DPE内作∠MPN＝45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22．（本题14分）如图，抛物线y＝x2－4x＋1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标及线段AB的长；
（2）求△ABC的外接圆⊙D的半径；
（3）若
（2）中的⊙D交抛物线的对称轴于M、N两点（点M在点N的上方），在对称轴右边的抛物线上有一动点P，连接PM、PN、PC，线段PC交弦MN于点G．若PC把图形PMCN（指圆弧
和线段PM、PN组成的图形）分成两部分，当这两部分面积之差等于4时，求出点P的坐标．
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．B2．D3．A4．C5．B6．C7．A8．A9．D10．D
二、填空题（每小题4分，共20分）：
11．x≥112．
13．114．10015．7；
（正确一个得2分）
三、解答题：
（满分90分）
16．（每小题7分，共14分）
解：
（1）
×
×
÷
＝2
×2
×3
÷3
……………………………………………………………4分
＝8．……………………………………………………………………………………7分
（2）
＋6
－2x
＝3
＋3
－2
……………………………………………………………………6分
＝4
．…………………………………………………………………………………7分
17．解：
（1）△A1B1C1如右下图；………………………………………………………………3分
（2）A1（1，3），B1（1，0），C1（3，0）；…………………………………………………6分
（3）由抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点C、B1、C1，可得：
，………………………………………………………………9分
解得：
，…………………………………10分
∴抛物线的解析式为：
y＝x2－4x＋3．……………11分
（答案用一般式或顶点式表示，否则扣2分）
（4）表格填写合理正确得2分，图像正确得2分．
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝x2－4x＋3
…
3
0
－1
0
3
…
二次函数y＝x2－4x＋3的图像如右图．
18．解：
（1）列树状图如下：
………………3分
由树状图可知：
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x与y的积为偶数有6种．…………………………………………………………………………………4分
∴小明获胜的概率P（x与y的积为偶数）＝
＝
．………………………………6分
（2）列树状图如下：
……………9分
由树状图可知，所有可能出现的结果共16种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中x与y的积为偶数有7种．……………………………………………………………………………10分
∴小明获胜的概率P（x与y的积为偶数）＝
＜
，……………………………11分
（或证明
≠
也可）
∴游戏规则不公平．……………………………………………………………………12分
19．解：
（1）设这两年该县旅游纯收入的年平均增长率为x．根据题意得：
………………1分
2000（1＋x）2＝2880．…………………………………………………………4分
解得：
x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．………………………6分
答：
这两年该县旅游纯收入的年平均增长率为20%．………………………7分
（2）如果到2015年仍保持相
同的年平均增长率，
则2015年该县旅游纯收入为2880（1＋0.2）2＝4147.2（万元）．………………………9分
答：
预测2015年该县旅游纯收入约4147.2万元．………………………10分
20．解：
（1）连接OC．…………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°．………2分
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，………………………………3分
∵∠A＝∠PCB，
∴∠ACO＝∠PCB．………………………………4分
∴∠PCB＋∠OCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，即∠PCO＝90°．
∴PC⊥OC．………………………………5分
又∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．………………………………6分
（2）∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，………………………………………7分
∴∠PCB＝∠A＝∠P．
∴BC＝BP＝1．………………………………………8分
∴∠CBO＝∠P＋∠PCB＝2∠PCB．
又∵∠COB＝2∠A＝2∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，…………………………………9分
∴BC＝OC．
又∵OB＝OC，
∴OB＝OC＝BC＝1，即△OBC为等边三角形．……10分
∴∠COB＝60°．………………………………11分
∴l
＝
＝
π．……………………………12分
21．解：
（1）DC＋CE＝2；…………………………………3分
（2）结论成立.连接PC，如图．…………………………4分
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP＝PB，CP⊥AB，∠ACP＝
∠ACB＝45°．
∴∠ACP＝∠B＝45°，∠CPB＝90°．…………………5分
∴∠BPE＝90°－∠CPE．
又∵∠DPC＝90°－∠CPE，
∴∠DPC＝∠EPB．………………………………6分
∴△PCD≌△PBE．
∴DC＝EB，…………………………………………7分
∴DC＋CE＝EB＋CE＝BC＝2．……………………8分
A
B
C
D
E
M
P
N
F
（3）△CMN的周长为定值，且周长为2．…………9分
在EB上截取EF＝DM，如图，…………………10分
由
（2）可知：
PD＝PE，∠PDC＝∠PEB，
∴△PDM≌△PEF，………………………………11分
∴∠DPM＝∠EPF，PM＝PF．
∵∠NPF＝∠NPE＋∠EPF＝∠NPE＋∠DPM
＝∠DPE－∠MPN
＝45°＝∠NPM．
∴△PMN≌△PFN，
∴MN＝NF．……………………………………………12分
∴MC＋CN＋NM＝MC＋CN＋NE＋EF
＝MC＋CE＋DM
＝DC＋CE
＝2．
∴△CMN的周长是2．…………………………………13分
22．解：
（1）令y＝0，得：
x2－4x＋1＝0，…………………1分
A
B
C
O
x
y
D
解得：
x1＝2＋
，x2＝2－
．…………………3分
∴点A的坐标为（2－
，0），点B的坐标为（2＋
，0）．…4分
∴AB的长为2
．………………………………5分
（由韦达定理求出AB也可）
（2）由已知得点C的坐标为（0，1），
由y＝x2－4x＋1＝（x―2）2―3，
可知抛物线的对称轴为直线x＝2，……………………6分
设△ABC的外接圆圆心D的坐标为（2，n），连接AD、CD，
∴DC＝DA，即22＋（n－1）2＝[2―（2―
）]2＋n2，……………8分
解得：
n＝1，…………………………………………9分
∴点D的坐标为（2，1），
∴△ABC的外接圆⊙D半径为2．……………………10分
（3）解法一：
由
（2）知，C是弧MN的中点．
在半径DN上截取EN＝MG，……………………11分
又∵DM＝DN，∴DG＝DE．
则点G与点E关于点D对称，连接CD、CE、PD、PE．由圆的对称性可得：
图形PMC的面积与图形PECN的面积相等．…………………………………………12分
A
B
C
O
x
y
D
E
M
P
N
G
由PC把图形PMCN（指圆弧
和线段PM、PN组成的图形）分成两部分，这两部分面积之差为4．可知△PCE的面积为4．设点P坐标为（m，n）
∴S△CEP＝2S△CDP＝2×
·CD·
＝4，
∴n1＝3，n2＝－1．……………………………………13分
由点P在抛物线y＝x2－4x＋1上，得：
x2－4x＋1＝3，解得：
x1＝2＋
，x2＝2－
（舍去）；
或x2－4x＋1＝－1，解得：
x3＝2＋
，x4＝2－
（舍去）．
∴点P的坐标为（2＋
，－1）或（2＋
，3）．……………14分
解法二：
设点P坐标为（m，n），点G坐标为（2，c），直线PC的解析式为y＝kx＋b，
A
B
C
O
x
y
D
M
P
N
G
得：
，解得：
，
∴直线PC的解析式为y＝
x＋1．…………………11分
当x＝2时，c＝
＋1．
由
（2）知，C是弧MN的中点，
连接CD，图形PCN的面积与图形PMC的面积差为：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝4．
∴n1＝3，n2＝－1．……………………………………13分
由点P在抛物线y＝x2－4x＋1上，得：
x2－4x＋1＝3，解得：
x1＝2＋
，x2＝2－
（舍去）；
或x2－4x＋1＝－1，解得：
x3＝2＋
，x4＝2－
（舍去）．
∴点P的坐标为（2＋
，－1）或（2＋
，3）．……………14分
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