浙教版八年级数学上册特殊三角形八年级数学教研组.docx

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浙教版八年级数学上册特殊三角形八年级数学教研组

特殊三角形

1等腰三角形

教学目标：

1、了解特殊与一般的辨证关系；

2、理解等腰三角形和轴对称图形的概念，学会识别轴对称图形。

基础训练：

1、填空题：

（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是。

（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。

（3）等腰三角形的对称轴最多有条。

2、填空题：

（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）

A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8

C、周长为14，其中两边长分别是4，5D、周长为24，其中两边长分别是6，12

（2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（）

A、3B、2C、1.5D、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。

4、已知：

如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，

求这个三角形的各边长。

拓展思考：

七年级一班的张小斌是体育委员，李聪是学习委员。

这天，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先”竞赛，张小斌与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花”项目竞赛。

平时跑步比赛在班中数一数二的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷纷认真地研究起了这个问题。

这个项目的比赛是这样规定的：

参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜。

同学们都说张小斌选择的路线不对。

张小斌觉得很冤枉。

他说：

我往河边跑时跑的是最近的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？

聪明的同学，你知道李聪的取胜法宝是什么吗？

火眼金睛：

有一道题是这样的：

一个五边形有五个角，剪去一个角后，还剩下几个角？

小明认为五个角剪去一个角后当然就剩下四个角了。

你认为小明讲得对吗？

学习预报：

阅读课本第二章第2节“等腰三角形的性质”，并思考下列问题：

1、等腰三角形有什么样的性质？

2、等腰三角形哪三线合一？

它有什么作用？

3、等腰三角形中底角平分线、一腰上的中线和高三线合一吗？

2等腰三角形的性质

本课重点：

1、掌握等腰三角形的性质；

2、会用等腰三角形的性质进行说明和计算。

基础训练：

1、填空题：

（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。

（2）等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是和。

（3）△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C=。

（4）在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y=；用含y的代数式表示x，得x=。

2、选择题：

（1）等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）

A、40°B、100°C、70°D、40°或70°

（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）

A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半

（3）在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（）

A、100°B、75°C、150°D、75°或100°

（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，

③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）

A、4B、3C、2D、1

3、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。

4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，

AB=AC，AD=AE。

请说明BD=CE的理由。

拓展思考：

如图，现有顶角度数互不相同的等腰三角形（AB=AC）纸片（a图、b图、c图、d图）各一块，其中有的能从一个底角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片。

（1）能剪成两块等腰三角形的纸片是，并用尺规在选中的图上作出你的剪痕（用虚线表示），虚线另一端标上字母T。

（2）将所选图中的相等线段填写在下列对应的横线上（未选中的不要填写，线段相等用等式表示，AB=AC除外）：

a图；，b图，c图，d图；

（3）计算选中的等腰三角形的顶角度数（若选中两种以上，只要求计算一种）：

火眼金睛：

设等腰三角形顶角为α，一腰上的高线与底边所夹的角为β，是否存在α和β之间的必然关系？

若存在，则把它找出来；若不存在，则说明理由。

小明是这样做的，解：

不存在，因为等腰三角形的角可以是任意度数。

亲爱的同学，你认为小明的解法对吗？

若不对，那么你是怎么做的，请你写出来。

学习预报：

阅读课本第二章第3节“等腰三角形的判定”，并思考下列问题：

1、怎样判定一个三角形是等腰三角形？

你有几种方法？

2、等腰三角形的判定和性质有什么联系和区别？

3等腰三角形的判定

本课重点：

1、掌握等腰三角形的判定方法和数学的转化思想；

2、理解等腰三角形的判定和性质的联系与区别。

基础训练：

1、填空题：

（1）在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B=。

（2）在一个三角形中，等角对；等边对。

（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是。

（4）如图，AB=AC，BD平分∠ABC，且∠C=2∠A，

则图中等腰三角形共有个。

2、选择题：

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，∠ADB=72°，

DE平分∠ADB，则图中等腰三角形的个数是（）

A、3B、4C、5D、6

3、如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，且OB=OC，请说明AB=AC的理由。

4、如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC，请说明AB=AC的理由。

5、如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，请你说明AD是BC的中垂线。

拓展思考：

将不全等的两个等边△ABC和等边△DEF任意摆放，请你画出不少于5种的摆放示意图。

使得AE=CF，同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点（重合的顶点算一个），并说明理由。

火眼金睛：

等腰三角形底边长为10cm，从底边的一个端点引腰上的中线，分此三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长4cm，求等腰三角形的腰长。

小慧解得腰长为6cm，亲爱的同学，你认为小慧做的结果对吗？

如果你认为不对，那么你是怎么解的呢？

学习预报：

阅读课本第二章第4节“等边三角形”，并思考下列问题：

1、什么是等边三角形？

它有哪些特殊性质？

你会探索吗？

2、等边三角形与等腰三角形有何联系和区别？

4等边三角形

本课重点：

1、理解等边三角形的概念；

2、掌握等边三角形的特殊性质和判定方法。

基础训练：

1、填空题：

（1）等边三角形的三条边都，三个内角都，且每个内角都等于。

（2）等边三角形有条对称轴。

（3）等边三角形的、、互相重合。

（4）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，

那么∠CBD=度。

2、如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由。

3、若a、b、c为△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，请说明△ABC是等边三角形。

4、已知：

如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，

且A，E，D三点在一直线上。

请你说明DA-DB=DC。

5、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF。

请你说明△DEF是正三角形。

拓展思考：

已知：

如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，请说明AN=BM的理由。

现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在下面图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在

（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？

请说明理由。

（3）在

（1）得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论成立的理由。

火眼金睛：

小刚同学在课余时间正在研究一道数学题：

一个半径为R的圆绕着周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚动，绕完六边后，这个圆一共转了多少圈？

小刚说：

圆的周长是2πR，六边形周长为10πR，无滑动滚动则路程相等，所以圈数等于10πR÷2πR=5。

你认为他的解答正确吗？

学习预报：

阅读课本第二章第5节“直角三角形

（1）”，并思考下列问题：

1、什么是直角三角形？

它是如何表示的？

它的内角有什么特点？

2、你有几种判定直角三角形的方法？

5直角三角形

（1）

本课重点：

1、理解直角三角形和等腰直角三角形的有关概念及表示；2、掌握直角三角形中两锐角互余，会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形。

基础训练：

1、填空题：

（1）在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是。

（2）在△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，则∠A=，∠B=。

（3）在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是三角形。

（4）直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是度。

2、选择题：

（1）如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都错

（2）如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形

（3）△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（）

A、

B、

C、5D、不能确定

（4）如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，在AB上截取AE=AC，

BD=BC，则∠DCE等于（）

A、45°B、60°C、50°D、65°

3、求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数。

4、给你一副三角板，你能用它拼出几个度数不同的角？

请把它们都写出来。

5、已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°角，若腰长为2cm，求它的面积。

拓展思考：

阅读下面短文：

如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成长方形，使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点，第三个顶点落在长方形这一边的对边上，那么符合要求的长方形可以画出两个：

长方形ACBD和长方形AEFB（如图2）。

解答问题：

（1）设图2中长方形ACBD和长方形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1S2（填“＞”、“＝”或“＜”）

（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出个，利用图3把它画出来。

（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出个，利用图4把它画出来。

（4）在（3）中所画出的长方形中，哪一个的周长最小？

为什么？

火眼金睛：

下面是小明同学在学了等腰三角形后所做的一道题，题目是这样的：

“已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，求∠BAC的度数。

”

解：

如图，∵AD⊥BC，AD=

BC=BD=CD，

∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°，

∴∠BAC=90°

你认为小明的解答正确吗？

若不正确，请你将它补充完整。

学习预报：

阅读课本第二章第5节“直角三角形

（2）”，并思考下列问题：

1、一个直角三角形斜边上的中线长与斜边长有什么关系？

请你动手做做看。

2、在一个有30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间有数量关系吗？

若有，是什么关系？

反之它也成立吗？

5直角三角形

（2）

本课重点：

1、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；

2、会利用上述性质进行计算和说明。

基础训练：

1、填空题：

（1）等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，则三角形的面积为。

（2）已知：

如图，∠BAC=90°，∠C=30°，

AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=。

（3）在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=

AB，

则∠B=。

2、选择题：

（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，

CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（）

A、4BDB、3BDC、2BDD、BD

（2）已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）

A、15°或75°B、15°C、75°D、150°或30°

（3）如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，

有以下判断：

①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；

④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（）

A、1B、2C、3D、4

3、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长。

4、如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线。

请你说明CE=DE的理由。

5、已知：

如图，BD，CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等。

请你说明BD=CE的理由。

拓展思考：

用旋转法解题

同学们已经学过了旋转变换，想必不会陌生。

这里讲讲用旋转法解题的思想方法，它的具体步骤是：

先把一个图形（或它的一部分）绕着一个定点旋转一个适当的角度；然后把所得的图形与原图形联系，找出解题途径，使问题得到解决。

下面两道题请你试试，看能不能用上述方法加以解决。

1、如图，长方形ABCD中，已知AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，试说明DE=

。

2、如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AG⊥EF于G，请说明AG=AB。

3、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且∠APB=∠APC，试说明PC＞PB的理由。

火眼金睛：

等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求底边上的高线长。

以下是小明同学的解题，你认为他的解题正确吗？

若不正确，请你帮他改正。

解：

如图，底边上的高线长AD=

a

学习预报：

阅读课本第二章第6节“探索勾股定理

（1）”，并思考下列问题：

1、什么是勾股定理？

它体现了直角三角形三边之间的什么关系？

2、你会不会用其他方法说明勾股定理？

请看课本46—1页的阅读材料。

6探索勾股定理

（1）

本课重点：

1、掌握勾股定理的内容；

2、了解勾股定理的面积证法及其数形结合思想；

3、学会勾股定理的简单应用。

基础训练：

1、填空题：

（1）勾股定理说的是。

（2）直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是。

（3）直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积是。

（4）如图，△ABC是Rt△，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于。

2、选择题：

已知有不重合的两点A和B，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（）

A、2个B、4个C、6个D、8个

3、在△ABC中，∠C=Rt∠，BC=a，AC=b，AB=c。

（1）a=9，b=12，求c；

（2）a=9，c=41，求b；

（3）a=11，b=13，求以c为边的正方形的面积。

4、如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5

，求AD的长。

5、在直角三角形中，如果两直角边之和为17，两直角边之平方差为119，求斜边的长。

6、如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，

请你说明AB2=AC2+BC·BD

拓展思考：

勾股定理及其推广

我国著名数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射一种关于勾股定理的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”。

可见“勾股定理”不仅是数学的瑰宝，而且还是人类文明的一种象征。

世界上几个文明古国都对勾股定理的发现作出过自己的贡献。

大约成书于公元前2世纪的我国天文学著作《周髀》（后人改称《周髀算经》）中，已有勾股定理的记载。

勾股定理在国外又称毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的。

在漫长的岁月中，人们对勾股定理创造了形形色色的奇妙的证明方法，据不完全统计，目前已有400多种不同证法。

勾股定理实质上说的是，直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系（如图1），有a2+b2=c2。

那么，亲爱的同学，你能完成下面的三个问题吗？

（1）把“正方形”改成“正三角形”（如图2），上述关系式能成立吗？

（2）把“正方形”改成“半圆”（如图3），上述关系式能成立吗？

（3）把“正方形”改成其他任意相似多边形，上述关系式还能成立吗？

火眼金睛：

题目：

如图，在等腰△ABC中，已知BE、CF是底角平分线，AM⊥BE，AN⊥CF，请你说明AM=AN的理由。

以下是小刚同学的说理过程，请你判断他的对错。

解：

∵在等腰△ABC中，BE是∠ABC的平分线，

∴AE=EC（角平分线分对边相等）

同理，AF=FB，

∴AE=AF，

又∵BE=CF（两条底角平分线相等）

∴△ABE≌△ACF（SSS）

∴AM=AN。

学习预报：

阅读课本第二章第6节“探索勾股定理

（2）”，并思考下列问题：

1、给定三角形的三边长，你能否判定它是不是直角三角形？

2、若根据三角形的三边长能判定它是直角三角形，那么你能确定哪个是直角吗？

6探索勾股定理

（2）

本课重点：

1、掌握勾股定理的逆定理的内容；

2、会利用它进行计算、判断和说明。

基础训练：

1、填空题：

（1）如果三角形中等于，那么这个三角形是直角三角形，

所对的角是直角。

（2）在△ABC中，已知AB=40，BC=41，AC=9，则∠BAC=度。

2、选择题：

（1）边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（）

A、5，10，13．B、5，7，8。

C、7，24，25。

D、8，25，27。

（2）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）

A、b2=a2-c2B、∠C=∠A-∠B

C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D、a∶b∶c=12∶13∶5

3、根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：

（1）a=11，b=60，c=61；

（2）a=

，b=1，c=

；

4、在△ABC中，三条边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）。

那么△ABC是直角三角形吗？

请说明理由。

5、如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。

拓展思考：

用对折法解题

用对折法解题的具体步骤是：

先把一个图形（或它的一部分）沿某直线对折，得到它的轴对称图形；然后，与原图形联系，找出解题途径，使问题获得解决。

亲爱的同学，你能用对折法完成下面的题目吗？

已知：

如图1，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。

（1）请你说明MD=MN的理由。

（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其他条件不变（如图2），则结论“MD=MN”还成立吗？

不论成立与否，请说明你的理由。

火眼金睛：

问：

边长满足关系（a-b）（a2+b2-c2）=0的△ABC是什么三角形？

小明说△ABC是等腰三角形；小刚说△ABC是直角三角形；小亮说△ABC是等腰直角三角形；小慧说△ABC或是等腰三角形或是直角三角形或是等腰直角三角形。

亲爱的同学，你认为谁的说法正确，若都不正确，那么正确的应该怎样说呢？

学习预报：

阅读课本第二章第7节“直角三角形全等的判定”，并思考下列问题：

1、你曾经学过哪些判定两个三角形全等的方法？

这些方法需要几个已知条件？

它们能用来判定两个直角三角形全等吗？

2、若已知两个直角三角形的两边对应相等，你能否判定这两个直角三角形全等？

7直角三角形全等的判定

本课重点：

1、掌握直角三角形全等的特殊判定方法，并会运用；

2、理解事物的特殊与一般的关系。

基础训练：

1、填空题：

（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。

由此可判定全等的两个三角形是△和△。

（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或或或。

（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=度。

（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是。

2、选择题：

（1）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A、一条直角边和一个锐角分别相等B、两条直角边对应相等

C、斜边和一条直角边对应相等D、斜边和一个锐角对应相等

（2）下列说法中，错误的是（）

A、三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用

B、已知两个锐角不能确定一个直角三角形

C、已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形

D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。

4、如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。

请你说明∠DEC=90°的理由。

5、如图，AD=BC，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=BF。

请你说明

（1）∠DAE=∠BCF；

（2）AB∥CD成立的理由。

拓展思考：

如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。

请回答下列问题：

（1）BD平分EF；

（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。

火眼金睛：

以下是小聪同学所做的一道题，题目是这样的：

“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

”请问他的解法对吗？

已知：

如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=

AB，

请说明∠BAC=30°。

解：

作△ABC关于直线AC的对称△AB′C，则有

∴AB′=AB，B′C=BC

∵BC=

AB，

∴AB′=AB=BB′

∴△ABC是等边三角形，∠BAB′=60°

∵∠C=90°，

∴∠BAC=30°

学习预报：

阅读课本第三章第1节“”，并思考下列问题：

参考答案

第二章

2.1

基础训练：

1、

（1）22

（2）20或22，20（3）3；2、

（1）C

（2）D；3、5，15，15；4、略；5、2，2，1；

拓展思考：

他用的是对称法，使两点之间线段最短。

火眼金睛：

不对；剩下的角可能有4个或5个或6个。

2.2

基础训练：

1、

（1）底边上的高，底边上的中线

（2）30°，30°（3）36°（4）180-2x，90-

y；2、

（1）D

（2）C（3）D（4）A；3、100°；4、略；

拓展思考：

略

火眼金睛：