数学人教版七年级上册教学参考.docx
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数学人教版七年级上册教学参考
教学参考
∠角号
在数学中，要研究各种各样的数和形。
数和形的概念，是从天上掉下来的吗？
不是。
是人们头脑里固有的吗？
也不是。
它们是从社会实践中得来的。
人类的祖先从开始制造工具起，就脱离了动物界，对千奇百怪的“形”有了一定的认识。
比如说，当古人们观察到人的大小腿间，或者上下臂之间，形成了一个角度，这种形象在头脑里反复了无数次，就可能会产生出角的蒙昧概念。
据考证，在很多语言中，角的边常用“臂”或“股”字代表。
随着社会的不断进步，人们终于从各种角的形象中，抽象出它的本质概念：
由一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
“角”用符号“∠”表示，读作“角”。
角是几何里最简单的图形之一。
用“∠”和三个大写字母联合起来，能形象地表示一个角，方法是这样的：
在角的两边上各取一个点并用字母表示，把表示顶点的字母放在中间，如图1中的角，可记作：
∠AOB或∠BOA。
为了方便，角也可以用小写的希腊字母α，β，γ，…或者用阿拉伯数字表示，要把字母或数字写在角的内部靠近顶点的地方，如图2所示。
如图3，角也可以看作一条射线以O为中心，从OA位置旋转到OP位置而形成的。
这里既要考虑OP的旋转方向，又要考虑旋转的角度大小。
通常规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。
OP绕点O可以任意旋转，几周都行，其旋转量称为OA和OP形成的角。
正方向旋转形成的角称为正角，负方向旋转形成的角叫做负角。
OA为始边，OP为终边，因终边旋转不受限制，其差为2π的整数倍，所以终边处在任何一个位置都表示无穷个角。
如果其中一个角为α，所有与α终边相同的角，连同α在内，可以记作：
2kπ＋α或k·360°＋α（k为整数）。
把平面上的角推广到空间时，其相应的图形是二面角。
在图4中，给出平面上的∠AOB，如果把顶点O改为直线AB，把OA和OB这两条边分别改为半平面P和Q，得到的图形是二面角。
如图5中，设二面角的棱是AB，两个面是P，Q，那么这个二面角用符号“P—AB—Q”表示。
如何度量这个二面角的大小呢？
以二面角棱上的任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，由这两条射线构成的一个平面上的角，叫做二面角的平面角。
如图（5）中，∠MON就是二面角“P—AB—Q”的平面角。
一个二面角的大小，可以用它的平面角来度量，这种方法非常巧妙。
同样，空间两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，都是通过平面几何中的角来定义的。
因而，它们都可以看作是平面几何中角的概念在空间的拓广。
选自《数学符号史话》一书
角的概念
教学目标
1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法．
2．使学生掌握角的各种表示方法．
3．通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点．
4．使学生掌握平角、周角和直角的概念．
教学重点和难点
角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点．
教学过程设计
一、从实际生活中建立角的概念
1．问题的提出：
回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系．以后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想，在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？
（让学生思考几分钟后，举手发言，由于学生的几何知识还不多，因此可能举出的例子很少，或者有不妥之处，教师应加以鼓励并引导.）
2．教师总结：
三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角．这些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到，今天我们先学习角的有关概念．
3．让学生自己观察在实际生活中看到的角．（如：
桌子的角、钟表的时针和分针所成的角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等．）
4．教师提问：
通过同学们的例子，我们应该怎样给角下定义呢？
引导学生观察这些角的共同特点：
角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线．由此引导学生得到角的定义：
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．
注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件
（1）有两条射线．这两条射线叫做角的两边．
（2）两条射线有一个公共的端点．这个公共的端点叫做角的顶点．（3）还应指出的是：
我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸．
5．教师提问钟表的指针是怎样形成角的？
学生能够回答：
一个指针在转．教师这时指出角的第二个定义：
一条射线OA由原来位置绕着它的端点O旋转到另一个位置OB所成的图形．
（教师拿圆规演示出来射线的旋转情况，并在黑板上给出图形．）
注意对这一定义的理解：
（1）此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的．也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置．
（2）在此定义中，对运动的方向并没有要求．也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转．但要明确：
初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角．这一点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔．（教师在讲解过程中要加以演示）（3）要告诉学生OA叫做角的始边，OB叫做角的终边．而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角．
二、平角、周角和直角的概念
教师设计以下提问：
1．从角的第二定义出发，对射线OA的旋转可以到哪些特殊位置？
2．这些特殊的角之间有哪些关系？
针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义．
平角：
射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角．
周角：
射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时，所成的角叫做周角．
直角：
平角的一半叫做直角．
三、角的表示法
这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守，
1．角的内部和外部
角的内部：
射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
角的外部：
平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部.
教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部进行讲解，使学生有一个感性的认识，如图1－16.
注：
角将平面分为三部分．即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点．
2．大写字母表示角：
规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，如图1－17．
以上四个角依次表示为：
∠ABC，∠BOE，∠CAN，∠BDC．
注意顶点的字母不一定用O，角的终边与始边的字母也可以随意．
在下面的图形中，我们将看一看平角和周角的表示方法，如图1－18.
左边的图为平角，记为∠AOB，右边的图为周角，记为∠AOB．注意周角由于终边与始边重合，所以OA与OB为同一条射线．标法如图．
3．用一个大写字母表示角：
如图1－17中的四个角也可以记为∠B，∠O，∠A，∠D．但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母．如图1－19．
左边的图中以O为顶点的角有三个∠AOC，∠COB和∠AOB，如果写∠O就不知道表示哪一个角，右边的图形中以A为顶点的角有六个，写成∠A后就会分不清表示的是哪一个角．
因此用一个大写字母表示角的时候，一定要在不会发生混淆的情况下使用．
4．用一个希腊字母表示角：
方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如α，β，γ等，记作∠α，读作角α．如图1－20．
5．用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作∠1，读作角1．如图1－20，在一个顶点的角较多的情况下，也可以这样表示，如图1－21．
6．练习：
（1）如图1－22，将下面图形中的角分别用两种方法表示．
（2）写出图中大于直角且小于平角的角．（用三个大写字母表示）如图1－23．
四、总结
教师提问：
1．这节课我们都学习了哪些概念？
2．通过这节课你都认识了哪些角？
它们都怎样定义的？
学生回答后，教师再做总结．
（1）这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一个是用运动的观点．对第二定义的形式要加以重视．在此基础上，有了特殊角：
平角、周角、直角的概念．
（2）角的表示方法有四种：
用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字母表示；用一个阿拉伯数字表示．
五、作业
1．每人在实际生活中找出三到五个角的实例，其中包括直角、平角和周角．
2．如图1－24，指出每个图形中的所有直角．（直观判断）
3．如图1－25（a），指出下列每个图形中的所有小于180°的角．
4．
（1）任意画一个角∠AOB，在它的内部取一点E，作射线OE，用大写字母写出图中所有的角；
（2）任意画一个角∠EOF，在它的内部取两个点A，B，作射线OA，OB．用希腊字母表示图中所有的角．
板书设计
课堂教学设计说明
1．本教案的教学时间为1课时45分钟．
2．教学设计的主要指导思想是：
（1）让学生了解第一章的总体知识结构，具体讲，就是在学习了直线、射线和线段性质的基础上，由它们组成新的几何图形，从而使学生认识：
几何图形是由简单到复杂的组合过程．
（2）借讲角的第二定义之机，用运动的观点研究几何图形，初步培养学生的辩证唯物主义观点．
（3）加强数学的实践性，养成学生联系实际的好习惯，提高他们解决实际问题的能力．
（4）通过角的不同表示法，使学生看到解决一个问题有多种方法的好处，为培养学生的发散性思维打下基础．
3．本教案对课本的顺序进行了一定的更改，将直角的定义与平角、周角的一起给出，这样强调了知识的系统性，更有利于学生掌握知识的结构．
4．在作业中，将有些以后常用的几何图形，如矩形、三角形、平行四边形、两个三角形的特殊位置关系等，都让学生见一见，为将来的学习打下基础．
5．角的各种表示法的教学一定要重视，要反复练习，尤其是从一个顶点出发的角有两个以上时，一定让学生写对，并告诉学生在没有特殊要求的情况下，最好用数字表示角，这样既简便又清晰．
6．以下思考题供参考：
（基础较好的学校选用）
（1）一条直线是一个平角吗？
（由平角的定义知，平角的两边，即两条射线在一条直线上，且分别在顶点的两侧，而直线没有顶点，也不是两条射线，所以直线不能看成是一个平角）
（2）如图1－25（b），∠AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？
从特殊性想起：
角内没画射线——1个角
角内画1条射线——（1＋2）个角
角内画2条射线——（1＋2＋3）个角
……
角内画99条射线——1＋2＋3＋4＋…＋100=5050个角
怎样数线段和角
甘肃省平凉一中史浩春
初学线段和角常遇到有关线段和角的个数的问题，当线段和角较多时，同学们往往感到比较困难．其实这类问题有一定的规律，只要掌握规律，问题就会迎刃而解，如：
例1图1中，共有几条线段？
并分别写出．
解因为任何一条线段都有两个端点，所以．若以A为一个端点，那么线段的另一个端点可以是B、C、D、E四点，于是以A为线段的一个端点的线段共有AB、AC、AD、AE四条，这样以A为端点和线段就全部数完了．同样方法．以B为端点的线段共有BC、BD、BE三条（注意：
BA已包括在以A为端点的线段中了）；以C为端点的线段共有（CD、CE两条；以D为端点的线段只有DE一条，故图1中共有4+3+2+l=10条线段．它们分别是AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE．
这是数线段时常用的方法，由这种解法可以看出，一般地，当一条线段上有几个不同的点（原线段的两个端点不包括在内）时，图中线段
关于角的数法与线段的数法类似，只是把线段的端点换成角的边就可以了．
例2图2中，共有几个小于平角的角？
并分别写出它们．
解以OA为一边的角共有∠AOB、∠AOC、AOD、∠AOE四个（以OA为一边的角就全部数完了）；以OB为一边的角共有∠BOC、∠BOD、∠BOE三个；以OC为一边的角共有∠COD、COE两个；以DOC为一边的角只有∠DOE一个，故图2中共有4+3+2+1=10个角，它们分别是∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠COD、∠COE、∠DOE．
一般地，当一个小于平角的角的内部有n条以这个角的顶点为端点的射线时，图中共有（n+l）+n+（n－l）+…+2+l=
当然，所遇到的图形不一定这么简单还会遇到一些较复杂的图形，这时只有把原图形分解为若干个简单图形，求出每一个简单图形中线段或角的个数，其和就是原图形中线段或角的个数．
例3图3中，共有多少条线段？
多少个小于平角的角？
并分别写出它们？
解
（1）显然以A为线段的一个端点线段共有AB、AD、AE、AC四条，由例1知BC线段上（包括BC）的线段共有3+2+l=6条．分别是BD、BE、BC、DE、DC、EC．
故图3中共有4+6=10条线段，它们分别是AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC．
（2）由例2可知，以A为顶点的小于平角的角为3+2+l=6个；以B和C为顶点的角各一个；以D、E为顶点的角各两个，所以图3中共有6+1+l+2+2=12个小于平角的角，它们分别是∠BAD、∠BAE、∠BAC、∠DAE、∠DAC、∠EAC、∠ABC、∠ACB、∠ADB、∠ADC、∠AEB、∠AEC．
角的比较
角的比较
（一）
教学目标
1．使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法．
2．使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算．
3．使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式．
4．培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力．
教学重点和难点
重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义．
难点是角平分线定义的各种数学表达式．
教学过程设计
一、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法
1．类比联想，提出问题
前面学习了线段的概念之后，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题．
上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，以及角的和、差、倍、分的画法问题．（板书课题）
2．类比联想，探索解决问题的方法
（1）师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法．
（2）分组讨论，发现方法．
提出问题：
如图1－26（a），试比较∠AOB和∠COD的大小并画出∠AOB+∠COD.
教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：
（a）角大小比较的方法：
重叠法和度量法．
（b）角的和、差、倍、分的画法．
3．角的大小可以有两种比较方法：
重叠比较法和度量法．
（1）重叠比较法：
由线段的重叠比较法知，将要比较的两条线段一端重合，再看另一端的位置．
角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外．（让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图1－26（b．）
（2）度量法：
因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小．（注意写法）
例1如图1－27，比较∠AOB与∠CDE的大小．
因为量得∠AOB=35°，∠CDE=65°.
所以∠CDE＞∠AOB．
4．角的和、差、倍、分也可以有两种方法：
作图法和度量计算法．
（1）作图法：
在图中作出两个角的和、差、倍、分．
例2已知∠AOB，∠CED且∠AOB＞∠CED，如图1－28．
求作（i）∠AOB与∠CED的和；
（ii）∠AOB与∠CED的差；
（iii）∠CED的二倍．
教师在黑板上以草图的形式为学生演示，依照线段的和、差、倍、分的作法，从而发现作图中的问题，怎样做一个角等于已知角．由于这个基本作图没学，因此作图法暂时不能具体操作，所以目前切实可行的方法只有度量计算法．
（2）度量计算法．
依然选用例2，解法如下
解：
量得∠AOB=50°，∠CED=20°，
∠AOB与∠CED的和是70°．
∠AOB与∠CED的差是30°．
∠CED的二倍是40°．
练习
（1）如图1－29，∠AOB=130°，∠AOE=50°，∠OEA=60°，求∠BOE，∠OEB．
（2）如图1－30，量出∠BAC，∠ABD，∠BDC，∠ACD的度数，并求出四个角的和，∠BAC与∠ACD的和．
（3）如图1－31，已知∠A=∠B=25°，若∠A＋∠B＋∠BCA=180°，求∠ACE．
二、角平分线的概念
教师提问：
1．回忆怎样求线段的中点．
2．怎样平分一个角．
总结：
在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，因此我们下面重点研究角的二等分．将线段二等分的点，叫做线段的中点，由此，我们得一个新的概念——角平分线．
角平分线定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
对这个定义的理解要注意以下几点：
1．角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段．如图1-32，它是由角的顶点出发的一条射线，这一点也很好理解，因为角的两边都是射线．
2．当一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式．如图1－32，可写成
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOB=2∠AOC=2∠COB，
（1）
∠AOC=∠COB，
（2）
反过来，只要具备上述
（1）、
（2）、（3）、（4）中的式子之一，就能得到OC为∠AOB的角平分线．这一点学生要给以充分的注意．
练习：
1．画一个三角形ABC，然后作出这三个角的平分线．观察它们是否交于一点，如果交于一点，则交点的位置在哪里？
2．如图1－33，若∠AOB=∠COB=∠DOC，进行下列填空．
（1）∠AOD=（）＋（）＋（）；
（2）∠AOB=（）∠AOD；
（3）∠AOD=（）∠COB；
（4）∠DOB=（）=（）＋（）．
三、总结
教师提问：
这节课我们都学习了哪些内容和主要的思维方法？
学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳．
1．学习的内容有三个：
（1）比较角的大小．
（2）角的和、差、倍、分．（3）角平分线的概念．
2．学习了类比联想的思维方法．
四、作业
1．用量角器量出图1－34中各角的度数，并比较∠B与∠CAE，∠ACD与∠BAC的大小．
2．如图1－35，1－36，∠AOD=∠BOC=90°，∠COD=42°，求∠AOC，∠AOB.
3．如图1－37，OC是∠AOB的角平分线，∠CAO=90°，∠CBO=90°，比较∠ACO与∠BCO的大小．
板书设计
课堂教学设计说明
1．本教案的教学时间为1课时45分钟．
2．由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分．本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧知识，解决新问题．
3．在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习奠定了基础．
4．在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减．
角的比较
（二）
教学目的
1．使学生掌握角比较大小的方法。
2．使学生掌握角的和、差、倍、分的计算。
3．使学生掌握角平分线定义及数学式子表示法。
教学重点
角的和、差、倍、分的计算及角的平分线定义。
教学过程
一、复习提问
问什么叫角？
如图1
（1）∠AOB和∠EOF是同一个角吗？
（2）∠OAB和∠OEF呢？
为什么？
学生答第一问：
∠AOB和∠EOF是同一个角。
教师说明，角的边是射线，向一方无限延伸，所以角的大小与边长无关。
学生答第二问：
∠OAB与∠OEF不是同一个角，因为它们的顶点不同。
二、引入新课
在小学时已学过角的大小与它张开口的大小有关，是用什么工具去量，用什么单位来表示的。
学生回答：
角的大小由半圆仪量，用度表示大小。
角既然能分出大小，就可以进行比较，先复习一下线段比较大小的方法。
如图2，如何比较线段AB和CD的大小，由学生叙述重叠比较法和度量比较法的步骤，然后教师写出课题。
1．5角的比较：
1．角的比较：
和线段一样可有两种方法。
（1）重叠比较法：
把两块三角板，如图3那样叠合在一起，就可以比较这两块三角板的两个角的大小。
教师在黑板上画出图4的三个图，作一个∠DEF的模型来演示比较的步骤。
①移动∠DEF，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合；
②一边ED与BA重合；
③另一边EF和BC落在BA同旁；
④如果EF和BC重合（图4
（1）），那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC；
如果EF落在∠ABC外部（图4
（2）），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC；
如果EF落在∠ABC内部（图4（3）），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC；
（2）度量比较法：
因为角的大小可以用半圆仪来度量，因此可以将角的度数量过后，度数相等的角就相等，度数大的角就大。
记的方法和上面一样。
例图5，用半圆仪量图中各角的大小，并比较它们的大小。
由一位学生到黑板上来作，其它学生自已画图，自已量。
其目的之一是复习一下工具的用法。
教师讲解格式。
∵量得∠AOC=30°∠BOC=30°∠AOB=60°
∴∠AOC=∠BOC∠AOB＞∠AOC
∠AOC＜∠AOB
注意教师所画的角的度数随便，但要画出∠AOC=∠BOC．
2．角的计算：
由上题可知量出了∠AOC及∠BOC的度数，就可算出∠AOB的度数。
即∠AOB=∠AOC+∠BOC=30°+30°=60°，这是两个角的和。
若先量了∠AOB，又量了∠AOC，则∠BOC也可以算出，即∠BOC=∠AOB－∠AOC=60°－30°=30°，这是两角的差。
由此题还可以知道∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，这是角的2倍，或
差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分。
3．角平分线：
由图5看到射线OC把∠AOB分出两个相等的角，我们把OC叫做∠AOB的平分线。
角平分线定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
教师带领学生看书，并用红线画出。
再要求学生在笔记本上记下以下表示法：
图5
（1）∵OC平分∠AOB（或OC是∠AOB的平分线）
∴∠BOC=∠AOC
（2）∵∠A
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