数学人教版七年级上册教学参考.docx

1、数学人教版七年级上册教学参考教学参考 角号在数学中，要研究各种各样的数和形。数和形的概念，是从天上掉下来的吗？不是。是人们头脑里固有的吗？也不是。它们是从社会实践中得来的。人类的祖先从开始制造工具起，就脱离了动物界，对千奇百怪的“形”有了一定的认识。比如说，当古人们观察到人的大小腿间，或者上下臂之间，形成了一个角度，这种形象在头脑里反复了无数次，就可能会产生出角的蒙昧概念。据考证，在很多语言中，角的边常用“臂”或“股”字代表。随着社会的不断进步，人们终于从各种角的形象中，抽象出它的本质概念：由一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。“角”用符号“”表示，读作“角”。角是几何里最简单的图形之一。用

2、“”和三个大写字母联合起来，能形象地表示一个角，方法是这样的：在角的两边上各取一个点并用字母表示，把表示顶点的字母放在中间，如图1中的角，可记作：AOB或BOA。为了方便，角也可以用小写的希腊字母，或者用阿拉伯数字表示，要把字母或数字写在角的内部靠近顶点的地方，如图2所示。如图3，角也可以看作一条射线以O为中心，从OA位置旋转到OP位置而形成的。这里既要考虑OP的旋转方向，又要考虑旋转的角度大小。通常规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。OP绕点O可以任意旋转，几周都行，其旋转量称为OA和OP形成的角。正方向旋转形成的角称为正角，负方向旋转形成的角叫做负角。OA为始边，OP为终边，因终边旋转不受

3、限制，其差为2的整数倍，所以终边处在任何一个位置都表示无穷个角。如果其中一个角为，所有与终边相同的角，连同在内，可以记作：2k 或k360 （k为整数）。把平面上的角推广到空间时，其相应的图形是二面角。在图4中，给出平面上的AOB，如果把顶点O改为直线AB，把OA和OB这两条边分别改为半平面P和Q，得到的图形是二面角。如图5中，设二面角的棱是AB，两个面是P，Q，那么这个二面角用符号“PABQ”表示。如何度量这个二面角的大小呢？以二面角棱上的任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，由这两条射线构成的一个平面上的角，叫做二面角的平面角。如图（5）中，MON就是二面角“PABQ”的平面角。

4、一个二面角的大小，可以用它的平面角来度量，这种方法非常巧妙。同样，空间两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，都是通过平面几何中的角来定义的。因而，它们都可以看作是平面几何中角的概念在空间的拓广。选自数学符号史话一书角的概念教学目标1使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法2使学生掌握角的各种表示方法3通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点4使学生掌握平角、周角和直角的概念教学重点和难点角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点教学过程设计一、从实际生活中

5、建立角的概念1问题的提出：回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系以后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想，在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？（让学生思考几分钟后，举手发言，由于学生的几何知识还不多，因此可能举出的例子很少，或者有不妥之处，教师应加以鼓励并引导.）2教师总结：三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角这些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到，今天我们先学习角的有关概念3让学生自己观察在实际生活中看到的角（如：桌子的角、钟表的时针和分针所成的角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等）4教师提问：通

6、过同学们的例子，我们应该怎样给角下定义呢？引导学生观察这些角的共同特点：角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线由此引导学生得到角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件（1）有两条射线这两条射线叫做角的两边（2）两条射线有一个公共的端点这个公共的端点叫做角的顶点（3）还应指出的是：我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸5教师提问钟表的指针是怎样形成角的？学生能够回答：一个指针在转教师这时指出角的第二个定义：一条射线OA由原来位置绕着它的端点O旋转到

7、另一个位置OB所成的图形（教师拿圆规演示出来射线的旋转情况，并在黑板上给出图形）注意对这一定义的理解：（1）此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置（2）在此定义中，对运动的方向并没有要求也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转但要明确：初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角这一点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔（教师在讲解过程中要加以演示）（3）要告诉学生OA叫做角的始边，OB叫做角的终边而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角二、平角、周角和直角的概念教

8、师设计以下提问：1从角的第二定义出发，对射线OA的旋转可以到哪些特殊位置？2这些特殊的角之间有哪些关系？针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义平角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角周角：射线OA绕点O旋转，当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时，所成的角叫做周角直角：平角的一半叫做直角三、角的表示法这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守，1角的内部和外部角的内部：射线旋转时经过的平面部分是角的内部角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部.教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部

9、进行讲解，使学生有一个感性的认识，如图116.注：角将平面分为三部分即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点2大写字母表示角：规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，如图117以上四个角依次表示为：ABC，BOE，CAN，BDC注意顶点的字母不一定用O，角的终边与始边的字母也可以随意在下面的图形中，我们将看一看平角和周角的表示方法，如图118.左边的图为平角，记为AOB，右边的图为周角，记为AOB注意周角由于终边与始边重合，所以OA与OB为同一条射线标法如图3用一个大写字母表示角：如图117中的四个角也可以记为B

10、，O，A，D但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母如图119左边的图中以O为顶点的角有三个AOC，COB和AOB，如果写O就不知道表示哪一个角，右边的图形中以A为顶点的角有六个，写成A后就会分不清表示的是哪一个角因此用一个大写字母表示角的时候，一定要在不会发生混淆的情况下使用4用一个希腊字母表示角：方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如，等，记作，读作角如图1205用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作1，读作角1如图120，在一个顶点的角较多的情况下，也可以这样表示，如图1216练习：（

11、1）如图122，将下面图形中的角分别用两种方法表示（2）写出图中大于直角且小于平角的角（用三个大写字母表示）如图123四、总结教师提问：1这节课我们都学习了哪些概念？2通过这节课你都认识了哪些角？它们都怎样定义的？学生回答后，教师再做总结（1）这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一个是用运动的观点对第二定义的形式要加以重视在此基础上，有了特殊角：平角、周角、直角的概念（2）角的表示方法有四种：用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字母表示；用一个阿拉伯数字表示五、作业1每人在实际生活中找出三到五个角的实例，其中包括直角、平角和周角2如图124，指出

12、每个图形中的所有直角（直观判断）3如图125（a），指出下列每个图形中的所有小于180的角4（1）任意画一个角AOB，在它的内部取一点E，作射线OE，用大写字母写出图中所有的角；（2）任意画一个角EOF，在它的内部取两个点A，B，作射线OA，OB用希腊字母表示图中所有的角板书设计课堂教学设计说明1本教案的教学时间为1课时45分钟2教学设计的主要指导思想是：（1）让学生了解第一章的总体知识结构，具体讲，就是在学习了直线、射线和线段性质的基础上，由它们组成新的几何图形，从而使学生认识：几何图形是由简单到复杂的组合过程（2）借讲角的第二定义之机，用运动的观点研究几何图形，初步培养学生的辩证唯物主义观

13、点（3）加强数学的实践性，养成学生联系实际的好习惯，提高他们解决实际问题的能力（4）通过角的不同表示法，使学生看到解决一个问题有多种方法的好处，为培养学生的发散性思维打下基础3本教案对课本的顺序进行了一定的更改，将直角的定义与平角、周角的一起给出，这样强调了知识的系统性，更有利于学生掌握知识的结构4在作业中，将有些以后常用的几何图形，如矩形、三角形、平行四边形、两个三角形的特殊位置关系等，都让学生见一见，为将来的学习打下基础5角的各种表示法的教学一定要重视，要反复练习，尤其是从一个顶点出发的角有两个以上时，一定让学生写对，并告诉学生在没有特殊要求的情况下，最好用数字表示角，这样既简便又清晰6以

14、下思考题供参考：（基础较好的学校选用）（1）一条直线是一个平角吗？（由平角的定义知，平角的两边，即两条射线在一条直线上，且分别在顶点的两侧，而直线没有顶点，也不是两条射线，所以直线不能看成是一个平角）（2）如图125（b），AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？从特殊性想起：角内没画射线1个角角内画1条射线（12）个角角内画2条射线（123）个角角内画99条射线1234100=5050个角怎样数线段和角甘肃省平凉一中 史浩春初学线段和角常遇到有关线段和角的个数的问题，当线段和角较多时，同学们往往感到比较困难其实这类问题有一定的规律，只要掌握规律，问题就会迎刃而解，如：例1 图1中，共有

15、几条线段？并分别写出解 因为任何一条线段都有两个端点，所以若以A为一个端点，那么线段的另一个端点可以是B、C、D、E四点，于是以A为线段的一个端点的线段共有AB、AC、AD、AE四条，这样以A为端点和线段就全部数完了同样方法以B为端点的线段共有BC、BD、BE三条（注意：BA已包括在以A为端点的线段中了）；以C为端点的线段共有（CD、CE两条；以D为端点的线段只有DE一条，故图1中共有4+3+2+l=10条线段它们分别是AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE这是数线段时常用的方法，由这种解法可以看出，一般地，当一条线段上有几个不同的点（原线段的两个端点不包括在内）时，图中线

16、段关于角的数法与线段的数法类似，只是把线段的端点换成角的边就可以了例2 图2中，共有几个小于平角的角？并分别写出它们解 以OA为一边的角共有AOB、AOC、AOD、AOE四个（以OA为一边的角就全部数完了）；以OB为一边的角共有BOC、BOD、BOE三个；以OC为一边的角共有COD、COE两个；以DOC为一边的角只有DOE一个，故图2中共有4+3+2+1=10个角，它们分别是AOB、AOC、AOD、AOE、BOC、BOD、BOE、COD、COE、DOE一般地，当一个小于平角的角的内部有n条以这个角的顶点为端点的射线时，图中共有（n+l）+n+（nl）+2+l=当然，所遇到的图形不一定这么简单还

17、会遇到一些较复杂的图形，这时只有把原图形分解为若干个简单图形，求出每一个简单图形中线段或角的个数，其和就是原图形中线段或角的个数例3 图3中，共有多少条线段？多少个小于平角的角？并分别写出它们？解 （1）显然以A为线段的一个端点线段共有AB、AD、AE、AC四条，由例1知BC线段上（包括BC）的线段共有3+2+l=6条分别是BD、BE、BC、DE、DC、EC故图3中共有4+6=10条线段，它们分别是AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC（2）由例2可知，以A为顶点的小于平角的角为3+2+l=6个；以B和C为顶点的角各一个；以D、E为顶点的角各两个，所以图3中共有6+1+l+

18、2+2=12个小于平角的角，它们分别是BAD、BAE、BAC、DAE、DAC、EAC、ABC、ACB、ADB、ADC、AEB、AEC角的比较角的比较（一）教学目标1使学生通过联想线段大小的比较方法，找到角的大小的比较方法2使学生通过联想线段和、差、倍、分的作法，掌握角的和、差、倍、分的作法和计算3使学生掌握角的平分线的定义以及数学表达式4培养学生类比联想的思维能力和对知识的迁移能力教学重点和难点重点是角的两种比较方法、角的和、差、倍、分的作法和计算、角的平分线定义难点是角平分线定义的各种数学表达式教学过程设计一、类比联想，提出问题，探索解决问题的方法1类比联想，提出问题前面学习了线段的概念之后

19、，紧接着就学习了比较线段的大小以及线段的和、差、倍、分的画法问题上节课我们已经学习了角的概念，类似的，今天我们也要学习如何比较角的大小，以及角的和、差、倍、分的画法问题（板书课题）2类比联想，探索解决问题的方法（1）师生共同回忆线段大小比较的方法，以及和、差、倍、分的画法（2）分组讨论，发现方法提出问题：如图126（a），试比较AOB和COD的大小并画出AOB+COD.教师让学生讨论，动手画图，在此基础上，教师引导学生归纳总结出：（a）角大小比较的方法：重叠法和度量法（b）角的和、差、倍、分的画法3角的大小可以有两种比较方法：重叠比较法和度量法（1）重叠比较法：由线段的重叠比较法知，将要比较的

20、两条线段一端重合，再看另一端的位置角的比较也类似，提问谁能用两个三角板演示一下，然后总结，在比较角的大小的过程中，要让角的顶点和角的一条边都重合，看另一条边落在角内还是角外（让学生自己总结出三种不同的结论，并让学生在黑板上画出图形，如图126（b）（2）度量法：因为角可以用量角器来量出度数，度数大的角大于度数小的角，通过角的度数来比较角的大小（注意写法）例1如图127，比较AOB与CDE的大小因为量得AOB=35，CDE=65.所以CDEAOB4角的和、差、倍、分也可以有两种方法：作图法和度量计算法（1）作图法：在图中作出两个角的和、差、倍、分例2已知AOB，CED且AOBCED，如图128求

21、作（i）AOB与CED的和；（ii）AOB与CED的差；（iii）CED的二倍教师在黑板上以草图的形式为学生演示，依照线段的和、差、倍、分的作法，从而发现作图中的问题，怎样做一个角等于已知角由于这个基本作图没学，因此作图法暂时不能具体操作，所以目前切实可行的方法只有度量计算法（2）度量计算法依然选用例2，解法如下解：量得AOB=50，CED=20，AOB与CED的和是70AOB与CED的差是30CED的二倍是40练习（1）如图129，AOB=130，AOE=50，OEA=60，求BOE，OEB（2）如图130，量出BAC，ABD，BDC，ACD的度数，并求出四个角的和，BAC与ACD的和（3）

22、如图131，已知A=B=25，若ABBCA=180，求ACE二、角平分线的概念教师提问：1回忆怎样求线段的中点2怎样平分一个角总结：在现阶段只能用度量法解决这两个问题，由于在求一个角的几分之几的情况中，最特殊的就是求一个角的二分之一，它的地位相当于求线段的中点，因此我们下面重点研究角的二等分将线段二等分的点，叫做线段的中点，由此，我们得一个新的概念角平分线角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线对这个定义的理解要注意以下几点：1角平分线是一条射线，不是一条直线，也不是一条线段如图1-32，它是由角的顶点出发的一条射线，这一点也很好理解，因为角的两边都是射线2当

23、一个角有角平分线时，可以产生几个数学表达式如图132，可写成因为 OC是AOB的角平分线，所以 AOB=2AOC=2COB， （1）AOC=COB， （2）反过来，只要具备上述（1）、（2）、（3）、（4）中的式子之一，就能得到OC为AOB的角平分线这一点学生要给以充分的注意练习：1画一个三角形ABC，然后作出这三个角的平分线观察它们是否交于一点，如果交于一点，则交点的位置在哪里？2如图133，若AOB=COB=DOC，进行下列填空（1）AOD=（ ）（ ）（ ）；（2）AOB=（ ）AOD；（3）AOD=（ ）COB；（4）DOB=（ ）=（ ）（ ）三、总结教师提问：这节课我们都学习了哪些

24、内容和主要的思维方法？学生的回答可能不够全面，或者比较零散，教师最后给以归纳1学习的内容有三个：（1）比较角的大小（2）角的和、差、倍、分（3）角平分线的概念2学习了类比联想的思维方法四、作业1用量角器量出图134中各角的度数，并比较B与CAE，ACD与BAC的大小2如图135，136，AOD=BOC=90，COD=42，求AOC，AOB.3如图137，OC是AOB的角平分线，CAO=90，CBO=90，比较ACO与BCO的大小板书设计课堂教学设计说明1本教案的教学时间为1课时45分钟2由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧

25、知识，解决新问题3在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习奠定了基础4在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减角的比较（二）教学目的1使学生掌握角比较大小的方法。2使学生掌握角的和、差、倍、分的计算。3使学生掌握角平分线定义及数学式子表示法。教学重点角的和、差、倍、分的计算及角的平分线定义。教学过程一、复习提问问什么叫角？如图1（1）AOB和EOF是同一个角吗？（2）OAB和OEF呢？为什么？学生答第一问：AOB和EOF是同一个角。教师说明，角的边是射线，向一方无限延伸，所以角的大小与边长无关。学生答第二问

26、：OAB与OEF不是同一个角，因为它们的顶点不同。二、引入新课在小学时已学过角的大小与它张开口的大小有关，是用什么工具去量，用什么单位来表示的。学生回答：角的大小由半圆仪量，用度表示大小。角既然能分出大小，就可以进行比较，先复习一下线段比较大小的方法。如图2，如何比较线段AB和CD的大小，由学生叙述重叠比较法和度量比较法的步骤，然后教师写出课题。15 角的比较：1角的比较：和线段一样可有两种方法。（1）重叠比较法：把两块三角板，如图3那样叠合在一起，就可以比较这两块三角板的两个角的大小。教师在黑板上画出图4的三个图，作一个DEF的模型来演示比较的步骤。移动DEF，使它的顶点E和ABC的顶点B重

27、合；一边ED与BA重合；另一边EF和BC落在BA同旁；如果EF和BC重合（图4（1），那么DEF等于ABC，记作DEF=ABC；如果EF落在ABC外部（图4（2），那么DEF大于ABC，记作DEFABC；如果EF落在ABC内部（图4（3），那么DEF小于ABC，记作DEFABC；（2）度量比较法：因为角的大小可以用半圆仪来度量，因此可以将角的度数量过后，度数相等的角就相等，度数大的角就大。记的方法和上面一样。例 图5，用半圆仪量图中各角的大小，并比较它们的大小。由一位学生到黑板上来作，其它学生自已画图，自已量。其目的之一是复习一下工具的用法。教师讲解格式。量得AOC=30BOC=30AOB=6

28、0AOC=BOC AOBAOCAOCAOB注意教师所画的角的度数随便，但要画出AOC=BOC2角的计算：由上题可知量出了AOC及BOC的度数，就可算出AOB的度数。即AOB=AOC+BOC=30+30=60，这是两个角的和。若先量了AOB，又量了AOC，则BOC也可以算出，即BOC=AOBAOC=6030=30，这是两角的差。由此题还可以知道AOB=2AOC=2BOC，这是角的2倍，或差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分。3角平分线：由图5看到射线OC把AOB分出两个相等的角，我们把OC叫做AOB的平分线。角平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。教师带领学生看书，并用红线画出。再要求学生在笔记本上记下以下表示法：图5（1）OC平分AOB（或OC是AOB的平分线）BOC=AOC（2）A