函数求值域的方法.docx

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函数求值域的方法

不同函数类型值域求解方法归纳

题型一：

二次函数的值域:

配方法（图象对称轴）

例1．求的值域

解答：

配方法：

所以值域为

例2．求在上的值域

解答：

函数图像法：

画出函数的图像可知，在时取到最小值，而在时取到最大值8，可得值域为。

例3．求在上的值域

解答：

由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论：

1当时，对称轴在的左侧，所以根据图像可知，

，,此时值域为.

2当时，对称轴在与y轴之间，所以根据图像可知，

，,此时值域为.

3当时，对称轴在y轴与之间，所以根据图像可知，

，,

所以此时值域为

4当时，对称轴在的右侧，所以根据图像可知，

，

所以此时的值域为

题型二：

指数、对数函数的值域:

采用换元法

例4．求的值域

解答：

复合形式用换元：

令，则由例1可知，

根据单调性，可求出的值域为

例5．求的值域

解答：

因为，所以，采用换元法，令，则

则原函数变为，可以根据二次函数值域的求法得到值域为

题型三：

分式函数的值域

分式函数的值域方法：

（1）分离变量（常数）法;

（2）反函数法（中间变量有界法）;（3）数形结合（解析几何法：

求斜率）;（4）判别式法（定义域无限制为R）;

例6．求函数的值域

解法一：

分离变量法。

将分式中分子部分的变量分离出去。

则可以换元，令，原函数变为，由反比例函数的性质可知，值域为

解法二：

反函数法。

利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。

令，则，得到，可知

例7．求函数在的值域

解法一：

分离变量之后采用函数图像法。

令，，原函数变为，可以画出的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为

解法二：

反函数法。

将代入中，求解不等式，可以得到值域范围。

例8．求函数的值域

解法一：

分离变量法，令，原函数变为

由均值不等式可知当，当，可以得到原函数的值域为

解法二：

判别式法。

令，则，整理得关于的一元二次方程，满足方程有解，该方程的判别式可得,即函数的值域为

例9．求函数在的值域

解答：

此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。

令，，原函数变为画对勾函数图像，

可得的值域范围是，则函数的值域为

题型四：

三角函数的值域

求三角函数的值域方法：

（1）二次换元配方；

（2）三角函数有界性；

（3）数形结合（单位圆求斜率）。

例：

求函数的值域

解答：

使用辅助角公式，，可知函数的值域为

例10．求函数的值域

解答：

先化简，再转为一次三角函数后使用辅助角公式，可知函数的值域为

例11．求函数的值域

解答：

先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。

令，则原函数化为，则按前面的例题可得函数的值域为，

例12．求函数值域

令，则原函数化为，同理，按二次函数的值域求法，可得结果。

注意：

用换元。

题型五：

绝对值函数的值域：

绝对值函数值域：

（1）零点分类讨论法

（2）数形结合：

利用绝对值几何意义。

例13．求函数的值域

解法一：

零点分类讨论法。

当时，；当时，；当时，。

所以函数的值域为

解法二：

利用绝对值的几何意义，画出数轴，分别表示到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为

例14．求函数的值域

解答：

零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令，则原函数化为，则根据数轴法，可以得到函数的值域为

题型六：

根式函数的值域

根式函数的值域方法：

（1）代数换元法；

（2）三角换元法；（3）解析几何法：

距离、切距等。

（3）单调性法。

例15．求函数的值域

解法一：

换元法，令，则原函数化为，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为。

例16．求函数的值域

解法一、解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果

解法三：

单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域，代入可得函数的值域。

例17．求函数的值域

解法一：

三角换元法，令，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，注意，画出三角函数图像可得值域为。

例18．求函数的值域

解法一：

三角换元，类似于上一道题，令，这样可以得到，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为

解法三：

对勾换元法，利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域

题型七：

对勾函数：

值域。

均值不等式法：

转化成型如=+（a>0,b>0），利用均值不等式求值域

注意：

利用均值不等式求最值或求值域时要满足：

一正二定三相等

题型七：

高次函数、超越复杂函数值域

高次函数、超越复杂函数值域：

求导法结合单调性。

例25：

，

例析求函数值域的方法

常用的方法有：

直接法、配方法、判别式法、基本不等式法、逆求法（反函数）、换元法、图象法、利用函数单调性等。

（一）方法讲解

1、求值域的常用方法;

（1）观察法：

从自变量的范围出发，推出的取值范围

（2）单调性法：

如果在上单调递增，则其值域为；如果在上单调递减，则其值域为。

如一次函数，形如的函数。

（3）换元法：

形如的函数，可令，则，转化为关于的二次函数求值域；形如含有的结构的函数，可用三角换元，令求解。

如，可设，化为；又如，可设化为。

注意：

换元必换限！

（4）反表示法：

形如，可以把关于的函数化为关于的函数。

如，可化为，由，可求得的范围；再如，可化为，利用的有界性可求得的范围。

（5）配方法：

试用于二次函数或可化为二次函数形式的函数。

注意：

配方、画图、截段！

（6）判别式法：

如，其中不全为0。

注意：

用此方法求值域时函数的定义域一定要求为！

（7）不等式法：

利用函数在和上单调递增，在和上单调递减来求解。

（8）求导法：

当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，再得值域；高次函数可用导数求值域。

（9）几何意义法（数形结合法）：

由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

（二）方法运用。

一、直接法：

从自变量的范围出发，推出的取值范围。

例1：

求函数的值域。

解：

∵，∴，∴函数的值域为。

二、配方法：

配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2：

求函数（）的值域。

解：

，

∵，∴，∴

∴，∴

∴函数（）的值域为。

三、反函数法：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例3：

求函数的值域。

解：

由解得，

∵，∴，∴∴函数的值域为。

四、分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例4：

求函数的值域。

解：

∵，

∵，∴，∴函数的值域为。

五、换元法：

运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求。

例5：

求函数的值域。

解：

令（），则，

∴

∵当，即时，，无最小值。

∴函数的值域为。

六、判别式法：

把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

例6：

求函数的值域。

解：

由变形得，

当时，此方程无解；

当时，∵，∴，

解得，又，∴

∴函数的值域为

七、函数的单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例7：

求函数的值域。

解：

∵当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，

∴函数在定义域上是增函数。

∴，∴函数的值域为。

练习：

（1）；

（2）；

（3）设是定义在上的奇函数，且满足如下两个条件：

对于任意,有；当时，，且.

求函数在上的最大值和最小值。

八、利用有界性：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例8：

求函数的值域。

解：

由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，

∵，∴（，），∴，∴

∴函数的值域为

九、图像法（数型结合法）：

函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例9：

求函数的值域。

解：

∵，

∴的图像如图所示，

由图像知：

函数的值域为

十、观察法

例10：

求的值域。

十二、求导法

例12：

设，试求在上的最大值和最小值