九下第三章《圆》导学案.docx

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九下第三章《圆》导学案

3.1圆

（1）

一、学习目标：

1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.

2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系

3、初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.

学习重难点：

会确定点和圆的位置关系.

二、知识准备：

1、说出几个与圆有关的成语和生活中与圆有关的物体。

思考：

车轮为什么做成圆形？

2、爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。

如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？

三、学习内容：

1、圆的定义：

_______________（运动的观点）

2、画圆并体会确定一个圆的两个要素是和

3、点和圆的位置关系

量一量

（1）利用圆规画一个⊙O，使⊙O的半径r=3cm.

（2）在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？

若⊙O的半径为r，

点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆dr

点P在圆dr

点P在圆dr

4、圆的集合定义（集合的观点）

（1）思考：

平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

（2）圆是到定点距离定长的点的集合.圆的内部是到的点的集合；圆的外部是的点的集合。

（3）想一想：

角的平分线可以看成是哪些点的集合？

线段的垂直平分线呢？

四、尝试与交流

已知点P、Q，且PQ=4cm，⑴画出下列图形：

到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。

⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？

请在图中将它们表示出来。

⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？

把它画出来。

五、知识梳理

1、圆的定义。

2、点与圆的位置关系。

六、达标测试

1、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A；点C在⊙A；点D在⊙A。

2、已知⊙O的半径为5cm.

（1）若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：

点P在⊙O；

（2）若OQ=cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：

点Q在⊙O上；

（3）若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：

点R在⊙O.

3、⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：

点A在；点B在；点C在。

4、⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在；当OP时点P在圆内；当OP时，点P不在圆外。

5、到点P的距离等于6厘米的点的集合是___________________________________

6、已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（）（A）在⊙O内（B）在⊙O外（C）在⊙O上（D）不能确定

6、如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米（直接写出答案）

（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

7、如图，在直角三角形ABCD中，角C为直角，AC=4，BC=3，E，F分别为AB，AC的中点。

以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A，C，E，F与圆B的位置关系。

8、已知：

如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．

3.1圆

（2）

一、学习目标

1、理解圆的有关概念

2、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题．

3、体验圆与直线形的联系

学习重难点：

圆与直线形的联系运用

二、知识准备

前一节课学习了圆的有关概念,探索了点与圆的位置关系.这一节课将进一步学习与圆有关的概念,为今后研究圆的有关性质打好基础.

三、知识梳理

与圆有关概念

（1）请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；

_________________________________叫做直径.

（2）弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法.弧：

____

半圆：

_________________优弧：

____________表示方法：

劣弧：

_______________________________,表示方法：

______

（3）借助图形理解圆心角、同心圆、等圆.圆心角:

______________________________

同心圆:

____________________等圆:

___________________________.

（4）同圆或等圆的半径_______.等弧:

_______________________

四、典型例题

例1、如图点A、B和点C、D分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD.∠C与∠D相等吗?

为什么?

例2如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.

求证：

OC=OD.

七、达标检测

一判断：

1直径是弦，弦是直径。

（）

2半圆是弧，弧是半圆。

（）

3周长相等的两个圆是等圆。

（）

4长度相等的两条弧是等弧。

（）

5同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）

6在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）

二、解答

1、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，

若OD=4，求BC。

3、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB的长.

4、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠A=350,求∠B的度数.

C

AB

5、如图,CD是⊙O的直径,∠EOD=84°,AE交⊙O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

3.2圆的对称性

（1）

一、学习目标

1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程

2、理解圆的中心对称性及有关性质

3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

重点：

理解圆的中心对称性及有关性质

难点：

运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

二、知识准备：

1、什么是中心对称图形?

2、我们采用什么方法研究中心对称图形?

三、学习内容：

1、按照下列步骤进行小组活动：

⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O

⑵在⊙O和⊙O

中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠

，连接AB、

⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O

重合（如图）

⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA

重合

在操作的过程中，你有什么发现？

___________________________

2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？

你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?

3、圆心角、弧、弦之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

4、试一试：

如图，已知⊙O、⊙O

半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O

的两条弦填空：

（1）若AB=CD，则，

（2）若AB=CD，则，

（3）若∠AOB=∠CO

D，则，

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

例1、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？

为什么？

例题2、已知：

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？

为什么？

四、知识梳理：

1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

五、达标检测：

1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：

（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；

（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。

2、1.如图,在⊙O中,=,∠1=30°,则∠2=_______

3.一条弦把圆分成1：

3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

4.⊙O中，直径AB∥CD弦，

，则∠BOD=______。

5.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为

6.如图，AB是直径，︵BC＝︵CD＝︵DE，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是。

7.已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。

求证：

AC=BD

3.2圆的对称性

（2）

一、学习目标

1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理

3、会运用垂径定理解决有关问题

重点：

垂径定理及应用难点：

垂径定理的应用

二、知识准备：

1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_________，这条直线叫做______。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

三、学习内容：

1、“圆”是不是轴对称图形？

它的对称轴是什么？

操作：

①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？

结论：

圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

练习：

1、判断下列图形是否具有对称性？

如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？

探索活动：

1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？

2、你能给出几何证明吗？

（写出已知、求证并证明）

3、得出垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：

①条件中的“弦”可以是直径；

②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言

例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？

为什么？

例2如图，已知：

在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

⑴求⊙O的半径；⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

四、知识梳理：

1、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：

平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，

且平分弦所对的弧等。

五、达标检测：

1、如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____

2、已知，如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5,

=

则CD的长为。

3.如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____，_____=

，____=

．

T3T4T5T6

4.过⊙O内一点P作一条弦AB，使P为AB的中点.

5.⊙O中，直径AB⊥弦CD于点P，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为CM.

6.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半为．

7.⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___

8.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为CM

9.在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB和CD的距离为.

10.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：

⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，

求水面涨高了多少？

11.

（1）“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？

”此问题的实质是解决下面的问题：

“如上图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．

（2）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是毫米。

3.3圆周角

（1）

一、学习目标

理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题

学习重点：

圆周角及圆周角定理学习难点：

圆周角定理的应用

二、知识准备

1、叫圆心角。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对的度数。

三、学习内容

活动一　　操作与思考

如图，点A在⊙O外，点B1、B2　、B３在⊙O上，

点C在⊙O内，度量∠A、∠B1、∠B2　、∠B３　、

∠C的大小，你能发现什么？

∠B1、∠B2　、∠B３有什么共同的特征？

。

归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________________的角叫做圆周角。

强调条件：

①_______________________，②___________________________。

识别图形：

判断下列各图中的角是否是圆周角？

并说明理由．

活动二　（观察与思考）如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．

通过计算发现：

∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论：

（学生完成）

活动三　（思考与探索）１.如图，BC所对的圆心角有多少个？

BC所对的圆周角有多少个？

请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

2.思考与讨论

（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？

（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？

对于这几种位置关系，结论∠BAC＝

∠BOC还成立吗？

试证明之．

通过上述讨论发现：

。

3.尝试练习

（一）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C

所在直线的同侧，∠BAC=350

（1）∠BDC=_______°,理由是．

（2）∠BOC=_______°,理由是．

（二）如图，点A、B、C在⊙O上，

（1）若∠BAC=60°，求∠BOC=____°;

（2）若∠AOB=90°,求∠ACB=____°.

4、例题：

如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

四、知识梳理

1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；

2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

3、强调圆周与圆心角之间的关系是通过弧联系起来的，做题时学会找弧及弧所对的圆心角和圆周角。

五、达标检测

1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．

2、如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB，交⊙O于E。

图中哪些与

∠BOC相等？

请分别把它们表示出来.

3、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数.

4、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______，∠OAB=_____。

2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？

请把它们分别表示出来：

___________________________________________________.

5、如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。

6、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。

7、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由.

8、人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。

在数学中，这样的例子比比皆是，下面两句话，先请你找出其中微小的区别，然后再比较解决问题的结果：

（1）在⊙O中，一条弧所对的圆心角是120°，该弧所对的圆周角是多少度？

（2）在⊙O中，一条弦所对的圆心角是120°，该弦所对的圆周角是多少度？

3.3圆周角

（2）

一、学习目标

1．知识与技能：

掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决问题.

2．过程与方法：

经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.

3．情感态度与价值观：

激发学生探索新知的兴趣，培养刻苦学习的精神，进一步体会数学源于生活并用于生活.

学习重点：

圆周角的性质

学习难点：

圆周角性质的应用

二、知识准备

（一）、知识再现：

1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则

（1）∠BOC=°,理由是；

（1）∠BDC=°,理由是.

2.如图，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB=°.

意图：

复习圆周角的性质及直角三角形的识别方法.

（二）、预习检测：

1.如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=°,

∠DAB=°.

2.如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC，求证：

BD=CD.

三、学习内容

1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，

还是直角？

为什么？

2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？

为什么？

3.归纳自己总结的结论：

（1）

（2）

注意：

（1）这里所对的角、90°的角必须是圆周角；

（2）直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.

4、例题分析

例题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，

∠ADC=50°,求∠CEB的度数.

【解析】利用直径所对的圆周角是直角的性质

例题2.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？

为什么？

利用直径所对的圆周角是直角的性质解题.

变式：

如图，△ABF与△ACB相似吗？

例题3.如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，

∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？

为什么？

【解析】利用90°的圆周角所对的弦是直径.

四、知识梳理

1.两条性质：

。

2.直径所对的圆周角是直角是圆中常见辅助线.

五、达标检测

1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.

2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.

3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：

__________。

4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则AC的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

5、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB.弧BD与弧BE相等吗？

为什么？

6、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.

7、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.

8、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？

你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？

9如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。

10、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是CD上的任意一点（不与点C、D重合），∠APC与∠APD相等吗？

为什么？

11、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6,∠DCB=30°，求弦BD的长。

12、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，D是AC的中点，BD交AC于点E，△CDE与△BDC相似吗？

为什么？

13、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。

求BC和AD的长

3.4确定圆的条件

一、学习目标

了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

学习重点：

了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

学习难点：

培养学生动手作图的准确操作的能力。

二、知识准备

1、确定一个圆需要几个要素？

2、经过平面内一点可以作几条直线？

过两点呢？

三点呢？

（

3、在平面内过一点可以作几个圆？

经过两点呢？

三点呢？

4、已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

三、学习内容

问题1:

经过一点A是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（作出图形）

问题2:

经过两个点A、B是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（据分析作出图形）

问题3:

经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个?

问题4:

经过三点一定就能够作圆吗?

若能作出，若不能，说明理由.

总结自己发现的结论;

引导学生观察这个圆与

的顶点的关系，得出：

经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形

练习1：

按图填空：

（1）

是⊙O的_________三角形；

（2）⊙O是

的_________圆，

练习2：

判断题：

（1）经过三点一定可以作圆；（  ）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（  ）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（  ）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（  ）

（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（  ）

练习3：

钝角三角形的外心在三角形（  ）

（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部

四、知识梳理

1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；

（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

3．

五、达标检测

1、一个三角形能画个外接圆，一个圆中有个内接三