221 二次函数的图象和性质.docx
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221二次函数的图象和性质
22.1二次函数的图象和性质
教学目标
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式，通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题．
4.了解二次函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．能够从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象特征．
5.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力．
教学重点
1.了解二次函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2.从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象特征．
教学难点
1.了解二次函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象之间的关系．
2.理解图象的平移和变换的理解和确定．
课时安排
6课时
教案A
第1课时
教学内容
22.1.1 二次函数．
教学目标
1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式．
2．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．
3．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力．
4．通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点．
教学重点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c）是常数，且a≠0的概念．
教学难点
教材中涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的抽象概括能力．
教学过程
一、导入新课
正方体的六个面是全等的正方形（下图），设正方体的棱长为x，表面积为y．如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系？
教师引导学生思考问题，列出方程．导入新课的教学．
二、新课教学
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y＝6x2．
问题1n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
每个队要与其他（n－1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数
m＝
n（n－1），
即
m＝
n2－
n．
这个函数解析式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．
问题2某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1＋x）t，再经过一年后的产量是20（1＋x）（1＋x）t，即两年后的产量
y＝20（1＋x）2，
即
y＝20x＋40x＋40．
这个函数解析式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．
思考：
函数y＝6x2、m＝
n2－
n、y＝20x＋40x＋40有什么共同特点？
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．一般地，形如
y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
三、巩固练习
教材第29页练习1、2．
四、课堂小结
今天你学习了什么？
二次函数的概念是什么？
五、布置作业
习题22.1第1、2题．
第2课时
教学内容
22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质．
教学目标
1．会用描点法画出形如y＝ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念．
2．通过观察图象能说出二次函数y＝ax2的图象和性质．
3．在探究二次函数y＝ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想．
教学重点
二次函数y＝ax2图象的描绘和图象特征的归纳．
教学难点
选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象，该过程较为复杂．
教学过程
一、导入新课
1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
如果可以，应先研究什么?
可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象．
3．一次函数的图象是什么？
二次函数的图象是什么?
我们已经学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质．像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质．
二、新课教学
1．二次函数y＝x2的图象．
教师指导学生列表，然后描点、画图，得出二次函数y＝x2的图象，然后让学生归纳二次函数y＝x2的图象的性质和特点．
（1）列表：
在x的取值范围内列出函数的对应值表．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
（2）描点．在直角坐标系中，用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：
用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．
（4）归纳总结．
提问：
观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结如下：
二次函数y＝x2的图象是一条曲线，这条曲线开口向上，它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点．
抛物线概念：
像这样的曲线通常叫做抛物线．
顶点概念：
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线y＝x2的最低点．
一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c．的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．
三、实例探究
1．在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝
x2，y＝2x2的图象．
2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－
x2，y＝－2x2的图象．
教师引导学生根据描点法的一般步骤，进行列表，然后描点、画图．完成后让学生类比研究二次函数y＝x2的角度，尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面分别描述这两个函数的图象特征（见教材第31页表、图）．
思考：
（1）当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？
（2）当a＜0时，二次函数y＝ax2有什么图象和特点？
学生思考、讨论，最后师生归纳：
一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．
当a＜0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．
四、巩固练习
教材第32页练习．
五、课堂小结
抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y＝ax2，∣a∣越大，抛物线的开口越小．
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
六、布置作业
习题22.1第3、4题．
第3课时
教学内容
22.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
（1）．
教学目标
1．会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质．
2．理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系．
教学重点
正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质．
教学难点
理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系．
教学过程
一、导入新课
填空：
二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______．
过渡：
二次函数y＝2x2＋1、y＝2x2－1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同呢？
我们今天就来探究这个问题．
二、新课教学
1．对于这个问题，你将采取什么方法加以研究？
画出这三个函数的图象，并加以比较．
2．你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝2x2＋1、y＝2x2－1的图象吗?
（1）先让学生回顾二次函数画图的步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象．
（2）教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1和y＝2x2－1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1、y＝2x2－1的图象．
（3）教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较．
列表：
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
y＝2x2＋1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y＝2x2－1
…
7
3.5
1
－0.5
－1
－0.5
1
3.5
7
…
然后描点画图，得y＝2x2，y＝2x2＋1，y＝2x2－1的图象（可见教材图22.1-6）．
3．抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1的开口方向，对称轴和顶点各是什么？
开口向上；对称轴是y轴；顶点坐标分别是（0，1）（0，－1）
4．抛物线y＝2x2＋1，y＝2x2－1与抛物线y＝2x2有什么关系？
抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1．
三、巩固练习
在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象．
y＝
x2、y＝
x2＋2、y＝
x2－2．
1．观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
2．你能说出抛物线y＝
x2＋k的开口方向、对称轴和顶点吗？
它与抛物线y＝
x2有什么关系？
教师指导学生按照先前的步骤画出二次函数的图象，然后回答问题．
1．这三条抛物线都是开口向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0），（0，2），（0，－2）．
2．抛物线y＝
x2＋k的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）．
当k＞0时，把抛物线y＝
x2向上平移k个单位长度，就得到抛物线y＝
x2＋k；当k＜0时，把抛物线y＝
x2向下平移∣k∣个单位长度，就得到抛物线y＝
x2＋k．
四、课堂小结
今天你学习了什么？
有什么收获？
让学生复习本节内容，深化理解．
五、布置作业
习题22.1第5题第
（1）小题．
第4课时
教学内容
22.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
（2）．
教学目标
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a（x—h）2的图象．
2．让学生经历二次函数y＝a（x－h）2性质探究的过程，理解二次函数y＝a（x－h）2的性质．
3．理解二次函数y＝a（x－h）2、y＝ax2之间的关系．
教学重点
理解二次函数y＝a（x－h）2的性质，二次函数y＝a（x－h）2、y＝ax2之间的关系．
教学难点
理解二次函数y＝a（x－h）2、y＝ax2之间的关系．
教学过程
一、导入新课
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－
x2，y＝－
x2＋1，y＝－
x2－1的图象，并回答下列问题．
（1）两条抛物线的位置关系．
（2）分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标．
（3）说出它们所具有的公共性质．
2．二次函数y＝－
（x＋1）2，y＝－
（x－1）2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？
这三个函数的图象之间有什么关系？
二、新课教学
问题1在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－
（x＋1）2，y＝－
（x－1）2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象．首先分别列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－
（x＋1）2
…
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
…
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－
（x－1）2
…
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
…
然后描点画图，得y＝－
（x＋1）2，y＝－
（x－1）2的图象（教材图22.1-7）．
教师让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：
抛物线y＝－
（x＋1）2的开口向下，对称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，把它记作x＝－1，顶点是（－1，0）；抛物线y＝－
（x－1）2的开口向下，对称轴是x＝1，顶点是（1，0）．
问题2抛物线y＝－
（x＋1）2，y＝－
（x－1）2与抛物线y＝－
x2有什么关系？
教师引导学生仔细观察图象，回答问题：
可以发现，把抛物线y＝－
x2向左平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－
（x＋1）2；把抛物线y＝－
x2向右平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－
（x－1）2．
问题3抛物线y＝a（x－h）2与抛物线y＝ax2有什么关系？
抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2形状相同，位置不同．当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位，可以得到抛物线y＝a（x－h）2，当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移∣h∣个单位，可以得到抛物线y＝a（x－h）2．
三、巩固练习
在同一坐标系中，画出下列二次函数的图象．
y＝－
x2，y＝－
（x＋2）2，y＝－
（x－2）2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
（画图略）．
这三条抛物线都是开口向上，对称轴依次是y轴，x＝－2，x＝2；顶点坐标依次是（0，0），（－2，0），（2，0）．
四、课堂小结
今天你学习了什么？
有什么收获？
五、布置作业
习题22.1第5题第
（2）小题．
第5课时
教学内容
22.1.3二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质（3）．
教学目标
1．经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义．
2．了解二次函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象之间的关系．会从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象特征．
3．会确定函数y＝a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学重点
从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象特征．
教学难点
理解图象的平移和变换的理解和确定．
教学过程
一、导入新课
1．函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?
函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的．
2．函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的．图象有什么关系?
函数y＝2（x－1）2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．
二、新课教学
1．函数y＝2（x－1）2＋1图象与函数y＝2（x－1）2图象有什么关系？
函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？
填表：
函数图象
y＝2x2
向右平移一个单位
y＝2（x－1）2
向上平移一个单位
y＝2（x－1）2＋1
开口方向
对称轴
顶点
教师引导学生填写上表，认识这三个函数之间的关系，然后组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识．
函数y＝2（x－1）2＋1的图象可以看成是将函数y＝2（x－1）2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的．
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝1时，函数取得最小值，最小值y＝1．
2．归纳小结．
一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
抛物线y＝a（x－h）2＋k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
从二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．
三、巩固练习
例要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长?
解：
如下图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．
点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y＝a（x－1）2＋3（0≤x≤3）．
由这段抛物线经过点（3，0），可得
0＝a（3－1）2＋3，
解得
a＝－
．
因此
y＝－
（x－1）2＋3（0≤x≤3）．
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25m长．
三、巩固练习
教材第37页练习．
四、课堂小结
1．y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k三类二次函数图象之间有什么关系．
2．抛物线y＝a（x－h）2＋k有哪些特点．
五、布置作业
习题22.1第5题．
第6课时
教学内容
22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．
教学目标
1．理解二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a（x－h）2＋k之间的联系，体会转化的思想．
2．掌握一般二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝ax2的图象之间的关系．
3．会确定图象的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴．
4．能通过图象，求二次函数的解析式．
教学重点
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．
教学难点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质，知道二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．
教学过程
一、导入新课
1．你能说出函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，1）．
2．函数y＝－4（x－2）2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
函数y＝－4（x－2）2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的．
3．函数y＝－4（x－2）2＋1具有哪些性质?
当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1．
二、新课教学
1．研究二次函数y＝
x2－6x＋21的图象和性质．
（1）根据二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质，讨论二次函数y＝
x2－6x＋21的图象和性质？
如何将y＝
x2－6x＋21转化为y＝a（x－h）2＋k的形式呢？
教师引导学生观察两个等式右边的多项式的特点，然后根据配方法进行变形．
y＝
x2－6x＋21
＝
（x2－12x＋42）
＝
（x2－12x＋36－36＋42）
＝
[（x－6）2＋6]
＝
（x－6）2＋3．
化为y＝
（x－6）2＋3后，根据前面的知识，教师让学生先画出二次函数y＝
x2的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝
x2－6x＋21的图象．
（2）直接画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象．
先列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
（x－6）2＋3
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
然后描点画图，得到y＝
（x－6）2＋3的图象．
从上图中二次函数的图象可以看出：
抛物线y＝
x2－6x＋21的顶点是（6，3），对称轴是x＝6．在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大．
2．用上面的方法讨论二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象和性质．
教师引导学生独立完成，教师在学生配方时可给予适当指导．
y＝－2x2－4x＋1
＝－2（x2＋2x－
）
＝－2（x2＋2x＋1－1－
）
＝－2[（x＋1）2－
]
＝－2（x＋1）2＋3．
3．探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．
首先，将二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方化成y＝a（x－h）2＋k的形式，即
y＝a
＋
．
然后求出抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－
，顶点是（－
，
）．
最后，教师引导学生观察教材第39页图22.1-11，总结二次函数y＝ax2＋bx＋c的变化规律．
从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜－
时，y随x的增大而减小，当x＞－
时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜－
时，y随x的增大而增大，当x＞－
时，y随x的增大而减小．
4．探究
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，探究下面的问题：
（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？
这几个点应满足什么条件？
（2）如果一个二次函数的图象经过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
如果能，求出这个二次函数的解析式．
分析求解．
（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y＝kx＋b，需求出k，b的值．用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值．类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的
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