《第18章 勾股定理》整章测试.docx

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《第18章勾股定理》整章测试

《第18章勾股定理》2010年整章测试

一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）

1．下列各组数是勾股数的为（　　）

A．2，4，5B．8，15，17C．11，13，15D．4，5，6

2．若a，b，c表示△ABC的三边，且满足

+|a﹣3|+（b﹣4）2=0，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形

3．下列说法中错误的是（　　）

A．在△ABC中，若∠A=∠C﹣∠B，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：

3：

4，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若三边长a：

b：

c=2：

2：

3，则△ABC是直角三角形

4．一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）

A．20cmB．24cmC．26cmD．30cm

5．如图所示，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，则以AC为直径的半圆（阴影部分）的面积为（　　）

A．18B．18πC．36D．36π

6．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（　　）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

7．（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13B．19C．25D．169

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

8．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，则△ABC的面积为　_________　cm2，最长边上的高等于　_________　cm．

9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=81，S2=225，则S3=　_________　．

10．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP移到△CBP′位置，若BP=3，则PP′的长为　_________　．

11．“亡羊补牢，为时不晚”．丁丁爸爸要在高0.9米，宽1.2米的栅栏门的相对角顶点加固一个木板，这条木板需　_________　米长．

12．（2006•安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是　_________　．

13．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯　_________　米．

14．（2003•三明）一张直角三角形的纸片，像如图所示那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合．若∠B=30°，

AC=

，则折痕DE的长等于　_________　．

15．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为　_________　．

16．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2

，斜边AB的长为2

，则Rt△ABC的面积为　_________　．

17．已知m＞n，以m2﹣n2，2mn，m2+n2为边的三角形是　_________　三角形．

三、解答题（共10小题，满分56分）

18．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？

19．如图，在一块用边长为20cm的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A点处，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？

20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：

小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

（参考数据转换：

1m/s=3.6km/h）

21．小明要外出旅游，他带的行李箱长40cm，宽30cm，高60cm，一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？

22．在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．求AC．

23．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

24．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？

25．如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，求EC的长．

26．将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露出在杯子外面长为hcm，你能求出h的取值范围吗？

27．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？

最短路程是多少？

《第18章勾股定理》2010年整章测试

参考答案与试题解析

一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）

1．下列各组数是勾股数的为（　　）

A．2，4，5B．8，15，17C．11，13，15D．4，5，6

考点：

勾股数。

分析：

勾股数是应该符合a2+b2=c2的据此作答即可．

解答：

解：

A、22+42=20≠52，故不是；

B、82+152=289=172，故是勾股数；

C、112+132=290≠152，故不是；

D、42+52=41≠62，故不是；

故选B．

点评：

要熟记常用勾股数：

3，4，5；8，15，17；5，12，13…，注勾股数还要是正整数．

2．若a，b，c表示△ABC的三边，且满足

+|a﹣3|+（b﹣4）2=0，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形

考点：

勾股定理的逆定理；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

偶次方；非负数的性质：

算术平方根。

分析：

利用非负数的性质，求得a，b，c的值，再由勾股定理进行解答即可．

解答：

解：

因为a，b，c满足

+|a﹣3|+（b﹣4）2=0，

所以c﹣5=0，c=5；

a﹣3=0，a=3；

b﹣4=0，b=4，

则32+42=52，即a2+b2=c2，

△ABC的形状是直角三角形．

故选B．

点评：

本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：

（1）绝对值；

（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

3．下列说法中错误的是（　　）

A．在△ABC中，若∠A=∠C﹣∠B，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：

3：

4，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若三边长a：

b：

c=2：

2：

3，则△ABC是直角三角形

考点：

勾股定理的逆定理；三角形内角和定理。

分析：

根据三角形内角和等于180°及勾股定理的逆定理可知．

解答：

解：

A、在△ABC中，若∠A=∠C﹣∠B，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；

B、根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，故正确；

C、在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：

3：

4，则∠A=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；

D、∵22+22=8≠32，故不是直角三角形，故错误．

故选D．

点评：

本题考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

4．一个圆桶底面直径为10cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）

A．20cmB．24cmC．26cmD．30cm

考点：

勾股定理的应用。

分析：

桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．

解答：

解：

根据勾股定理得木棒长是：

=26cm．

故选C．

点评：

本题是勾股定理在实际生活中的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

5．如图所示，直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，则以AC为直径的半圆（阴影部分）的面积为（　　）

A．18B．18πC．36D．36π

考点：

勾股定理。

分析：

根据勾股定理求得AC的长，再进一步根据半圆的面积公式计算半圆的面积．

解答：

解：

∵∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，

∴AC=12cm．

则以AC为直径的半圆（阴影部分）的面积=

π×36=18π（cm2）．

故选B．

点评：

此题要熟练运用勾股定理进行计算，熟悉半圆的面积公式．

6．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（　　）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

首先根据题意知：

它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．

解答：

解：

由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，

AB=

=

=100cm．

故选B．

点评：

本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．

7．（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13B．19C．25D．169

考点：

勾股定理。

分析：

根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2．

解答：

解：

（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．

故选C．

点评：

注意完全平方公式的展开：

（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

8．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，则△ABC的面积为　24　cm2，最长边上的高等于　4.8　cm．

考点：

勾股定理。

分析：

根据勾股定理求得BC的长，即可求得三角形的面积；根据三角形的面积，即可求得其最长边上的高．

解答：

解：

∵∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，

∴BC=6cm．

∴△ABC的面积为

×8×6=24（cm2）；

∴最长边上的高=

=4.8（cm）．

点评：

此题考查了勾股定理和直角三角形的面积公式．

直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．

9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=81，S2=225，则S3=　144　．

考点：

勾股定理。

分析：

根据正方形的面积公式结合勾股定理，知：

以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．

解答：

解：

根据题意得：

以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，

则S3=225﹣81=144．

点评：

能够根据勾股定理以及正方形的面积公式证明结论：

以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．直接运用此结论可以简便计算．

10．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP移到△CBP′位置，若BP=3，则PP′的长为　

　．

考点：

旋转的性质；勾股定理；正方形的性质。

专题：

计算题。

分析：

因为将△ABP移到△CBP′是将△ABP顺时针旋转90°，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可解答．

解答：

解：

由旋转的性质可知，

∠PBP′=90°，

则△PBP′为等腰直角三角形，

∴BP=BP′，

∵BP=3，

∴PP′=

=3

．

故答案为：

3

．

点评：

此题考查了旋转的性质，观察得出△ABP经旋转得到△CBP′，然后利用勾股定理是解题的关键．

11．“亡羊补牢，为时不晚”．丁丁爸爸要在高0.9米，宽1.2米的栅栏门的相对角顶点加固一个木板，这条木板需　1.5　米长．

考点：

勾股定理的应用。

分析：

根据题意，栅栏门为长方形ABCD，其中AB=1.2米，BC=0.9米，根据勾股定理即可求出对角线AC的长度，也就求出了对角顶点加固一个木板的长度．

解答：

解：

如图，栅栏门为长方形ABCD，其中AB=1.2米，BC=0.9米，连接AC，

在Rt△ABC中，AC=

=1.5米．

故填空答案：

1.5．

点评：

本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

12．（2006•安徽）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是　

　．

考点：

勾股定理；直角三角形全等的判定。

分析：

两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为

．

解答：

解：

如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠ABE+∠CBF=90°，

而AM⊥MN，CN⊥BN，

∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，

∴△AMB≌△BCN，

∴BM=CN，

∴AB为

．

点评：

本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．

13．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯　2　米．

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．

解答：

解：

在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：

OB=6m，

根据题意，得：

OB′=6+2=8m．

又∵梯子的长度不变，

在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：

OA′=6m．

则AA′=8﹣6=2m．

点评：

熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．

14．（2003•三明）一张直角三角形的纸片，像如图所示那样折叠，使两个锐角顶点A、B重合．若∠B=30°，

AC=

，则折痕DE的长等于　1　．

考点：

翻折变换（折叠问题）。

分析：

利用特殊角度构成特殊三角形，运用三角函数求解．

解答：

解：

由折叠的性质可得，点E是等腰三角形DAB的底边上的中点．

根据等腰三角形的性质知，DE⊥AB．

∵∠B=30°，AC=

，

∴AB=2

，BE=

．

∴DE=BEtan30°=1．

点评：

本题利用了：

①折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；

②等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的概念求解．

15．（2005•十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为　

　．

考点：

勾股定理。

专题：

规律型。

分析：

根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答．

解答：

解：

根据勾股定理：

第一个三角形中：

OA12=1+1，S1=1×1÷2；

第二个三角形中：

OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA1×1÷2=

×1÷2；

第三个三角形中：

OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA2×1÷2=

×1÷2；

…

第n个三角形中：

Sn=

×1÷2=

．

点评：

本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律．

16．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2

，斜边AB的长为2

，则Rt△ABC的面积为　1　．

考点：

勾股定理。

分析：

根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得两直角边的积，从而不难求得三角形的面积．

解答：

解：

设AC=a，BC=b，

∴

，

∴

，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，

∴ab=2，

∴Rt△ABC的面积为

ab=

×2=1．

故答案为：

1．

点评：

此题考查了勾股定理及完全平方公式的综合运用．

17．已知m＞n，以m2﹣n2，2mn，m2+n2为边的三角形是　直角　三角形．

考点：

勾股定理的逆定理。

分析：

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解答：

解：

∵（m2﹣n2）2+（2mn）2=m4+n4﹣2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2，

∴该三角形是直角三角形．

点评：

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

三、解答题（共10小题，满分56分）

18．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可．

解答：

解：

由勾股定理得斜边为

=15米，则原来的高度为9+15=24米．

点评：

此题主要考查学生对勾股定理的运用，比较简单．

19．如图，在一块用边长为20cm的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A点处，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

解答此题要先找出AB、BC所在的长方形，数出小格的个数，再计算．

解答：

解：

∵每一块地砖的长度为20cm

∴A、B所在的长方形长为20×4=80cm，宽为20×3=60cm

AB=

=100

又B、C所在的长方形长为20×12=240cm，宽为20×5=100cm

BC=

=260，AB+BC=100+260=360cm．

点评：

解答本题的关键是找出AB、BC所在的长方形，根据方格的长度计算出长方形的长和宽，利用勾股定理计算AB、BC之间的距离．

20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：

小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？

（参考数据转换：

1m/s=3.6km/h）

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．

解答：

解：

在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；

据勾股定理可得：

（m）

∴小汽车的速度为v=

=20m/s=20×3.6km/h=72km/h；

∵72km/h＞70km/h；

∴这辆小汽车超速行驶．

点评：

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．

21．小明要外出旅游，他带的行李箱长40cm，宽30cm，高60cm，一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？

考点：

勾股定理的应用。

分析：

如图，根据已知条件知道AB=40cm，BC=30cm，CD=60cm，连接AD，求出AD的长度和雨伞的长度比较大小即可判断一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱．

解答：

解：

如图，根据已知条件知道AB=40cm，BC=30cm，CD=60cm，连接AD，

在Rt△ABC中，AC=

=50cm，

在Rt△ADC中，AD=

=

＞70，

∴能装进行李箱．

点评：

此题首先能根据题意正确画出图形，然后根据图形隐含条件利用勾股定理即可解决问题．

22．在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．求AC．

考点：

勾股定理的逆定理。

分析：

根据勾股定理的逆定理可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AC的长，

解答：

解：

∵AD是BC上的中线，AB=13cm，BC=10cm，AD=12cm，

∴BD=CD=

BC=5，

∵52+122=132，故△ABD是直角三角形，

∴AD垂直平分BC．

∴AC=AB=

=13cm．

点评：

本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用．解题关键是得出中线AD是BC上的高线．

23．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．

解答：

解：

连接BD，

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，

在△CBD中，CD2=132BC2=122，

而122+52=132，

即BC2+BD2=CD2，

∴∠DBC=90°，

S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=

，

=

=36．

所以需费用36×200=7200（元）．

点评：

通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．

24．如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？

考点：

勾股定理的应用。

专题：

应用题。

分析：

根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度．

解答：

解：

∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，

∴AO⊥BO，

∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，

∴OB=16×1.5=24海里，AB=30海里，

∴在Rt△AOB中，AO=

=

=18，

∴乙轮船航行的速度为：

18÷1.5=12海里．

点评：

本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键