16.[2019·福建闽侯二中模拟]设命题p:
|4x-3|≤1;命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案:
解析:
由|4x-3|≤1,得≤x≤1;由x2-(2a+1)·x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1.∵綈p是綈q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.∴[a,a+1].∴a≤且a+1≥1,两个等号不能同时成立,解得0≤a≤.∴实数a的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围.
解析:
由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)∵A∩B=[0,3],∴∴m=2.
(2)∁RB={x|x<m-2或x>m+2},∵A⊆∁RB,
∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.
所以实数M的取值范围是{m|m>5,或m<-3}.
18.(本小题满分12分)
设集合A={x|≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.
(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(2)若B⊆A,求m的取值范围.
解析:
化简集合A={x|-2≤x≤5},集合B可写为B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}.
(1)x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集数为28-2=254(个).
(2)当B=∅即m=-2时,B⊆A.
当B≠∅即m≠-2时.
(ⅰ)当m<-2时,B=(2m+1,m-1),要B⊆A,
只要⇒-≤m≤6,所以m的值不存在;
(ⅱ)当m>-2时,B=(m-1,2m+1),要B⊆A,
只要⇒-1≤m≤2.
综上可知m的取值范围是:
{m|m=-2或-1≤m≤2}.
19.(本小题满分12分)
[2019·河南南阳第一中学第二次检测]若集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0,x∈R},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},当A∩B≠∅时,求实数m的取值范围.
解析:
∵集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0,x∈R}={(x,y)|y=x2+mx+2,x∈R},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2}={(x,y)|y=x+1,0≤x≤2},∴A∩B≠∅等价于方程组在x∈[0,2]上有解,即x2+mx+2=x+1在[0,2]上有解,即x2+(m-1)x+1=0在[0,2]上有解,显然,x=0不是该方程的解,从而问题等价于-(m-1)=x+在(0,2]上有解.
又∵当x∈(0,2]时,+x≥2当且仅当=x,即x=1时取“=”,∴-(m-1)≥2,∴m≤-1,即m∈(-∞,-1].
20.(本小题满分12分)
[2019·山东陵县一中月考]已知命题p:
x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:
不等式ax2+2x-1>0有解.若命题p是真命题,命题q是假命题,求实数a的取值范围.
解析:
因为x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,
所以
所以|x1-x2|==.
所以当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,得a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1,
所以命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.
命题q:
不等式ax2+2x-1>0有解,
①a>0时,显然有解;
②当a=0时,2x-1>0有解;
③当a<0时,因为ax2+2x-1>0有解,所以Δ=4+4a>0,解得-1所以命题q为真命题时,a>-1.
又因为命题q是假命题,所以a≤-1.
所以命题p是真命题且命题q是假命题时,实数a的取值范围为(-∞,-1].
21.(本小题满分12分)
[2019·山东德州模拟]命题p:
实数a满足a2+a-6≥0,命题q:
函数y=的定义域为R,若命题p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围.
解析:
当命题p为真时,即a2+a-6≥0,解得a≥2或a≤-3;
当命题q为真时,可得ax2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立,
若a=0,则满足题意;
若a≠0,则有解得0∵p∧q为假,p∨q为真,∴“p真q假”或“p假q真”,
①当p真q假时,则∴a>4或a≤-3;
②当p假q真时,则∴0≤a<2.
∴实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[0,2)∪(4,+∞).
22.(本小题满分12分)
[2019·山东潍坊联考]已知m∈R,设p:
∀x∈[-1,1],x2-2x-4m2+8m-2≥0成立;q:
∃x∈[1,2],log(x2-mx+1)<-1成立.如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数m的取值范围.
解析:
若p为真,则对∀x∈[-1,1],4m2-8m≤x2-2x-2恒成立.
设f(x)=x2-2x-2,配方得f(x)=(x-1)2-3,
∴f(x)在[-1,1]上的最小值为-3,
∴4m2-8m≤-3,解得≤m≤,∴p为真时,≤m≤.
若q为真,则∃x∈[1,2],x2-mx+1>2成立,即m<成立.
设g(x)==x-,则g(x)在[1,2]上是增函数,∴g(x)的最大值为g
(2)=,∴m<,
∴q为真时,m<.
∵“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p与q一真一假.
当p真q假时,∴m=;
当p假q真时,∴m<.
综上所述,实数m的取值范围是