九上数学 第1讲 11菱形的性质和判定培优.docx

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九上数学第1讲11菱形的性质和判定培优

学大教育2019暑期九上数学课程

第1讲《特殊的平行四边形》培优训练

菱形的性质与评定

第1课时　菱形的概念及其性质

知识点1　菱形的定义及对称性

1、定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、性质：

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。

3、判定：

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

1．如图1－1－1，在▱ABCD中，若添加下列条件：

①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）

A．（3，1）B．（3，－1）C．（1，－3）D．（1，3）

图1－1－2　

图1－1－3

3．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是________cm.

知识点2　菱形的边的性质

4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．25B．20C．15D．10

图1－1－4　　　

图1－1－5

5．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．

6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：

BE＝CE.

知识点3　菱形的对角线的性质

7．如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为（　　）

A．5B．10C．6D．8

8．已知菱形的边长是2cm，一条对角线长是2cm，则另一条对角线长是（　　）

A．4cmB．2

cmC.

cmD．3cm

图1－1－7　　

图1－1－8

9．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.

10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A（3，0），B（0，4），则点C的坐标为（　　）

图1－1－9

A．（－5，4）B．（－5，5）C．（－4，4）D．（－4，3）

11．一个菱形的边长为4cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．

12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.

图1－1－10　　

图1－1－11　

13．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________．

14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．

15．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

16.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．

图1－1－14

17．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.

（1）求证：

BD＝CE；

（2）若∠E＝50°，求∠BAO的度数．

图1－1－15

第2课时　菱形的判定

知识点1　由菱形的定义作判定

1．如图1－1－16，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　　）

图1－1－16

A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD

2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：

四边形AEDF是菱形．

　图1－1－17

知识点2　根据菱形的对角线作判定

3．下列命题中，正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

图1－1－18

4．如图1－1－18，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．

5．教材例2变式题如图1－1－19，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：

四边形ABCD是菱形．

图1－1－19

知识点3　根据菱形的边作判定

6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

图1－1－20

A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.

求证：

四边形ABCD是菱形．

图1－1－2

8．如图1－1－22所示，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（　　）

A．AE＝AF　　　B．EF⊥ACC．∠B＝60°　　　D．AC是∠EAF的平分线

图1－1－22　　　

图1－1－23

9．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是（　　）

A．AB⊥ACB．AB＝ACC．AB＝BCD．AC＝BC

10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．

图1－1－24

11．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．

12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．

图1－1－25

13．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.

求证：

四边形ADCF是菱形．

　图1－1－26

14．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.

（1）求证：

AM＝AN；

（2）当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．

图1－1－27

第3课时　菱形的性质与判定的综合应用

知识点1　菱形的面积

1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是（　　）

A．192B．96C．48D．40

图1－1－28

2．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．6　　　B．12

C．24　　　D．48

3．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40cm，求菱形的面积及高．

　图1－1－29

知识点2　菱形的性质与判定的应用

4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．4B．6C．8D．12

图1－1－30　　　

图1－1－31

5．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD

B．AB＝BC

C．AB＝CD，AD＝BC

D．∠DAB＋∠BCD＝180°

6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：

①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.

其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

图1－1－3　　　　

图1－1－33

7．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为________．

8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．

图1－1－3　　　

图1－1－35

9．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.

10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.

（1）求证：

四边形BCFE是菱形；

（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．

11．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm　　　B．40cm

C．39cm　　　D．26cm

12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

图1－1－38

甲：

连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：

分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断（　　）

A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确

C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误

图1－1－39

13．如图1－1－39，菱形ABCD的边长为8cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为________cm2.

14．如图1－1－40，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.

（1）求证：

∠APD＝∠CBE；

（2）试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

，为什么？

图1－1－40

15．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若CD＝3，BD＝2

，求四边形ABCD的面积．

图1－1－41

16．教材“做一做”变式题明明将两张长为8cm，宽为2cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．

（1）请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；

（2）明明又发现：

如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．

图1－1－42

菱形的判定练习

判别方法：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

基础过关

1.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）

A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角

2.如图，在ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　）

Ａ．四边形AEDF是平行四边形

Ｂ．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

Ｃ．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

Ｄ．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形

3.已知一个四边形ABCD的四边的长依次为a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）

A．平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形

能力提高

4．下列说法：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形.其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

5.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

6.如图，将一张矩形纸片纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）

A.三角形B.矩形C.菱形D.梯形

7.如图,□ABCD中,AF、CE分别是∠BAD、∠BCD的平分线.根据现有的图形，请你添加一个条件,使四边形AECF是菱形.则添加一个条件是___________.（只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”）

8．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，从

（1）AB=CD；

（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形.如

（1）

（2）（5）

四边形ABCD是菱形四边形；再写出符合要求的两个:

四边形ABCD是菱形；

四边形ABCD是菱形.

9.如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

若EFGH是菱形，则四边形ABCD符合____________条件.

10.如图，矩形ABCD对角线相交于O，DE∥AC，CE∥DB，DE、CE交于E.求证：

四边形DOCE是菱形.

11．如图，矩形

中，

是

与

的交点，过

点的直线

与

的延长线分别交于

．

（1）求证：

；

（2）当

与

满足什么关系时，以

为顶点的四边形是菱形？

证明你的结论．

12．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论．

13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是角平分线，CH是高，交AD于F，DE⊥AB于E.求证：

四边形CDEF是菱形.

14.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

，对角线AC、BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.

（1）证明：

当旋转角度是90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕O点顺时针旋转的度数.