等底等高的两个三角形.docx

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等底等高的两个三角形

等底等高的两个三角形

　　等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高证明例一：

如图所示,已知△ABC中,AB=AC=8,P是BC上任意一点,PD⊥AB于点D，PE⊥AC点E，若△ABC的面积为14。

　　问：

PD+PE的值是否确定？

若能确定，是多少？

若不能确定，请说明理由。

　　解：

三角形ABC的面积为14，所以PD+PE的值为定值。

　　由已知：

AB=AC=8，S（△ABC）=14，得S（△ABC）=1/2*AB*PD+1/2*AC*PE=1/2*8*PD+1/2*8*PE）=141/2*8*（PD+PE）=14PD+PE=14/4=3.5即PD+PE=3.5这道题得出的结论是：

等腰三角形底边上任一点到两腰上的距离之和等于一腰上的高。

　　结论虽简单，我们又应当如何证明呢？

关于这道题的证明方法有很多种。

　　求证；等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

　　这是一道常见的几何证明问题，难度不大，但很经典，证明方法也很多。

　　已知：

等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC上任意点D，DE⊥AB，DF⊥AC，BH⊥AC求证：

DE＋DF＝BH证法一：

连接AD则△ABC的面积＝AB*DE/2＋AC*DF/2＝（DE＋DF）*AC/2而△ABC的面积＝BH*AC/2所以：

DE＋DF＝BH即：

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高证法二：

作DG⊥BH，垂足为G因为DG⊥BH，DF⊥AC，BH⊥AC所以四边形DGHF是矩形所以GH＝DF因为AB＝AC所以∠EBD＝∠C因为GD//AC所以∠GDB＝∠C所以∠EBD＝∠GDB又因为BD＝BD所以△BDE≌△DBG（ASA）所以DE＝BG所以DE＋DF＝BG＋GH＝BH证法三：

提示：

过B作直线DF的垂线，垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：

|DE－DF|＝BH问题：

这个问题的另外一个表达形式：

将此结论推广到等边三角形：

等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。

　　证明的方法与上面的方法类似。

　　这是两条很有用的性质。

　　如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。

　　解答提示：

如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQ⊥AG先证明PD＋PE＝HQ（见：

）而HQ＝AN，FP＝MN所以PD＋PE－PF＝AN－PF＝AM＋MN－PF＝AM即h1＋h2－h3＝h另外一个变式问题：

已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F。

（1）当∠A＝30°时，求证：

PE+PF＝BC

（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，试问以上结论是否依然正确？

如果正确，请加以证明：

如果不正确，请说明理由。

　　腰长5厘米底边长6厘米p是底边任意一点pd垂直于abpe垂直于ac垂足为depd+pe=解：

作底边BC上的高AM，设腰上的高＝h，连接PA因为AB＝AC＝5，BC＝6所以BM＝CM＝3所以根据勾股定理得AM＝4因为S△ABC＝BC*AM/2＝AB*h/2＝12所以h＝24/5因为S△ABC＝S△ABP＋S△ACP＝AB*PD/2＋AC*PE/2所以5*PD/2＋5*PE/2＝12所以PD＋PE＝24/5如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。

　　解：

设AC、BD交于O，作AE⊥BD，PM⊥AC，PN⊥BD，连接OP因为AB＝8，BC＝AD＝15所以根据勾股定理得BD＝17因为S△ABC＝AB*AD/2＝AE*BD/2所以可得AE＝120/17因为四边形ABCD是矩形所以OA＝OD因为S△OAD＝S△OPA＋S△OPD＝OA*PM/2＋OD*PN/2＝（PM＋PN）*OD/2S△OAD＝AE*OD/2所以PM＋PN＝AE＝120/17例谈三角形同底等高等积法的妙用利用三角形的同底等高将一个三角形转化成等面积的三角形，这是很有用的等积转化模型.如图，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，D在直线m上，S△ABC=S△ABD.通常借助平行线，构造同底等高的模型，灵活进行等积转化，巧妙解决实际问题.下面提供几例，以飨读者.一、将五边形转化成等积四边形例1如图1，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积.解析如图2，连EC，将五边形ABCDE转化成一个四边形ABCE和一个△ECD，过点D作DF∥EC交BC延长线于点F，连接EF，利用同底等高的模型将△ECD转化成等面积的△ECF，则四边形ABFE即为所要求的等积四边形.例2如图3，折线EFG把四边形ABCD分成了两部分，请将折线EFG改成线段，并保持原四边形ABCD被分成的两部分面积不变.解析一道应用问题，本质与例1相似，将左边的五边形ABGFE转化成一个等积的四边形即可，方法同例1.二、等分任意多边形的面积例3如图4，张大爷家有一块四边形菜地，在A处有一口井，张大爷想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，已知AD解析这是一道将四边形面积等分实际应用题，利用同底等高等积法可以将任意多边形面积等分，现以五边形ABCDE为例（如图5）.1.连接对角线AC，过点B作BF∥AC交DC延长线于F，连接AF，将五边形转化成四边形AFDE（如图6）.2.连接四边形AFDE对角线AD，按照1的步骤，将四边形AFDE转化成△AFG（如图7）.3.作△AFG的中线AH，则可等分五边形ABCDE面积.三、作任意四边形黄金分割线参考文献[1]赵永苓.探索黄金分割线的教学设计.初中数学教与学，2009

（2）.[2]赵军.四两拨千斤.初中数学教与学，2012（12）.三角形的底和高教学设计三角形的底和高教学设计鲁塘小学苏宏富一、教学内容：

苏教版小学数学四年级下册第三单元《三角形》P24-25例题及想想做做1—3题）二、教学目标知识与技能：

让学生在操作中体会高的概念，理解高和底的关系，会用三角板作三角形内部的高；过程与方法：

通过动手操作，让学生在探索中掌握新知识，提高观察能力和动手操作能力。

　　情感、态度价值观：

联系生活中的实例，让学生感受数学的实用性，进一步培养学生的空间观念。

　　感受数学来源于生活，也应用于生活。

　　三、教学重点、难点认识三角形的底和高，正确画出三角形内部的高。

　　四、教学、学具准备1、含三角形的图片若干张2、直尺、一副三角板、白纸若干张3、木条钉成的四边形和三角形五、教学安排：

一课时六、教学过程

（一）复习导入11、这是什么？

（幻灯片出示）2、日常生活中，仅知道三角形具有这些特征是不够的，还需要懂得它的底和高。

　　那么，什么是三角形的底和高呢？

它的底和高又有什么关系呢？

就让我们在这节课中找到问题的答案。

　　3、板书课题：

三角形的底和高

（二）新授课12七、板书设计3若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°3、若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．2．如右图：

△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，若∠BDC=72°，则图形中共有（）个等腰三角形。

　　A．1B．2C．3D．41．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（）A．2，3，4B．4，5，6C．1，2，D．2，，42、在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形3、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：

BD=（）A．1：

1B．3：

1C．4：

1D．2：

34．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处l1l2l3第4题7.不等式2x13x3的正整数解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如果直角三角形的边长分别是3,4，x,则x的值是1、已知一次函数y2x6.

（1）当x时，y0;

（2）当x时，y0;（3）当x时，y0;y的取值范围是5、已知一次函数ykxb的图象如图所示，当x0时，（•）.A.y0B.y0C.2y0D.y2（第5题图）8、一次函数y1kxb与y2xa的图象如图，则下列结论①k0；②a0；③当x3时，y1y2中，正确的个数是（）.A.0B.1C.2D.3（第8题图）4．如图所示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点P，则不等式kx+b>ax的解集是（）A．x>1B．x2D．x　　以用过已当可顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形？

如何分？

探索结论可以按三角形三个角的关系，类讨论如下：

分（）ＡＡＣ等边三角形时，然不能分为两个等腰一当Ｂ是显三角形。

　　（）△ＡＣ顶角小于底角的等腰三角形时，妨设二当Ｂ是不Ａ＜ＢＣ，图（）＝如１。

　　此时，能从Ｂ只或Ｃ分出一个角，之等于Ａ，中使不妨设ＡＡＤ，样△ＡＤ等腰三角形。

　　使ＡＢＤ是＝Ｂ这Ｂ是要Ｃ也等腰三角形，可能是ＣＢＣ只：

Ｄ或ＣＤＢＣＢ＝Ｄ。

　　１．若ＣＢＣ，＝Ｄ设Ａｘ，＝ｏ则ＣＢＣ２。

　　ＤＣ＝Ｄ＝ｘ，Ｂ＝ｘ。

　　由三角形的内角和，ｘ２＋ｘ１０ｘ３．Ｂ得＋ｘ２＝８，＝６△ＡＣ的三个内角分另是Ａ＝６，Ｂ＝Ｃ７。

　　０３。

　　＝２。

　　２若ＬＣＢＤ＝￣ＢＤＣ．设Ａ－Ｏ则ＬＣ－，－Ｘ，ＢＤ＝ＬＢＤＣ２ｏＬＣ＝Ｘ，＝一５８０）２４０２从Ａ中分出Ｂ．ＡＤ＝Ｂ．这样，△ＡＢＤ是等腰三角形，如图（）要使△ＡＣ是等腰三角形，４。

　　Ｄ也只可能ＣＬＣＤ，＝Ａ或ＣＡＤ＝ＣＤＡ。

　　、①若ＣＣＤ，＝Ａ设Ｃｘ，Ｂｙ，＝。

　　＝。

　　则ＢＤｘ，ＣＤＡ－。

　　Ａ＝Ｙ，。

　　由三角形的内角和，ｘｘｖｖ１０ｘｙ９．只需△ＡＣ得＋＋＋：

８，＋＝０即Ｂ是直角三角形。

　　②若ＣＤＺＣＡ，Ａ＝Ｄ设Ｂｘ，－ｏ则ＢＤＢｘ，Ａ＝Ａ＝－。

　　ＬＣＤＣＡ２。

　　ＢＣ３。

　　即只需最大角是次大角的３。

　　Ｄ＝ｘ，Ａ＝ｘ。

　　倍３从Ａ中分出ＤＣＣ，．Ａ＝这样，Ｄ是等腰三角形。

　　ＡＡＣ如图（）５。

　　要使ＡＡＤ也是等腰三角形，三种可能：

Ｂ有①若ＢＡＢ，＝Ｄ设ＣＸ，＝。

　　则ＢＡＢ２ｏ即只需次大＝Ｄ＝ｘ，角是最小角的２。

　　倍（若ＢＢＤ，设Ｃｘ．Ｂ＝。

　　则ＤＣ＝。

　　＝Ａ＝。

　　ｖ，Ａｘ，ＢＤｙ，三角形的内角和，＋＋＋＝８，＋＝０即只Ａ＝。

　　由得ｘｘｙｙｌ０ｘｙ９，需△ＡＢ是直角三角形。

　　Ｃ③若Ｂ＝ＢＡ，设Ｃｘ，则ＤＣｘ，ＢＤＡＤＤ＝。

　　Ａ＝。

　　Ａ＝ＢＡ２。

　　ＢＣ３。

　　即只需最大角是最小角的３。

　　Ｄ＝ｘ，Ａ＝ｘ，倍综上所述，能分割成两个等腰三角形的情形如下表ＡＡＢＣ满足的条件情形１有一个角是９。

　　０。

　　分割方法作斜边上的中线。

　　从Ａ中分出一个与Ｂ相等的角，并情形２有一个角是另一个角的３倍，如Ａ＝以这个角和Ｂ为两个内角构成一３且Ｂ。

　　个等腰三角形。

　　．３￣由三角形的内角和，＋ｘ３８ｘｘ，得ｘ３＋）０，＝＝１７一２．１．ＡＡＢＣ５＇．７＿￣１三个内角分别是ｚＡ（５）￣２．１，＝＝７—）７．。

　　＝２二。

　　５。

　　ＬＢＬＣ（７ｌ。

　　７７＿１ｃＢ图（１）图（２）（）ＡＡＣ顶角大于底角的等腰三角形时，妨设三当Ｂ是不／ＡＢＣ，图（）＞＝如２。

　　从最大角中分出一个角等于最小角，并有一个最小角，其余两个角中至少有一以这个角和最小角为两个内角构成且情形３个是这个最小角的２倍一个等腰三角形，或从次大角中分出一。

　　个角等于最小角，并且以这个角和最小角为两个内角构成一个等腰三角形。

　　注如果三角形的三个内角满足上述几种情形，比如，既有３倍关系，又有符合要求的２倍关系，，等等那么分割方法不惟一。

　　此时，只能从Ａ中分出一个角，之等于Ｂ使或Ｃ，不妨设ＢＢＤ，样，Ｂ＝Ａ这ＡＡＤ是等腰三角形。

　　要使ＡＡＣＤ也是等腰三角形，只可能Ｃ＝／ＤＣ，Ａ或ＣＡＤＣ。

　　Ｄ＝Ａ１若Ｃ：

ＤＡＣ，．设Ｂｘ．４Ｃ＝ＬＢＡＤ＝ＤＡＣ：

。

　　＝。

　　贝ｘ．ＡＣ２。

　　由三角形的内角和．得ｘｘ２＝８，＝５．Ｄ＝ｘ，＋＋ｘ１０ｘ４△ＡＣ三个内角分别是Ａ９。

　　ＢＣ４。

　　Ｂ的＝０．＝＝５。

　　２若ＣＤＡ＝ＤＡ设Ｂ＝。

　　，．Ｃ，ｘ则Ｃ：

ＢＡＤ＝。

　　Ｃ—ｘ，Ｄ＝ＤＣ２。

　　由ｊ角形的内角和，ｘ２＋ｘｌ０ｘ３．ＡＡ＝ｘ，得＋ｘ２＝８，＝６ＡＡＣ三个内角分别是Ａ１８．ＢＣ３。

　　Ｂ的＝０。

　　＝＝６（）ＡＡＣ不等边三角形时，妨设ＬＡＢＣ四当Ｂ是不＞＞。

　　二、用举例应问题１（０８浙江宁波中考题）２０年（）图ｌ△ＡＣ，Ｃ９。

　　请用直尺和圆规作一条直１如，Ｂ中＝０，线，△ＡＣ割成两个等腰三角形（写作法，须保留作把Ｂ分不但图痕迹）。

　　（）２已知内角度数的两个三角形如图２图３示。

　　请你判、所断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？

若能，写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

　　请ＣＣＣ此时，只能从Ｂ分出一个角，之等于／Ｃ，从Ａ中使或中分出一个角．之等于Ｂ使或Ｃ１从Ｂ分出ＤＣ／Ｃ．样，Ｃ．中Ｂ＝这△ＢＤ是等腰三角形。

　　如图（）要使ＡＡＤ是等腰三角形，可能ＡＡＢ，３。

　　Ｂ也只＝Ｄ或ＡＢＤ＝ＡＤＢ。

　　：

．—图１图２图３解：

１只需作斜边Ａ上的中线即可，略。

　　（）Ｂ图（）图２，Ｂ７ｏＢ３Ａ，以从Ｂ中分出一个２在中＝２，＝所２。

　　（４角与Ａ相等）并且以这个角和Ａ为两个内角构成一个，等腰三角形即可。

　　分割成的两个等腰三角形的顶角分别是１２和８。

　　３。

　　４。

　　。

　　图（）３最大角是最小角的２。

　　倍图（４）图（）５①若／Ａ＿Ｂ设ＬＣｘ，ＬＡ＝Ｄ＝ｘ，＝／ＡＤ，＝。

　　则ＬＡＢ２。

　　即只需②若ＬＡＤＬＡＢ，设／Ｃｘ，则ＬＡＤ－Ｄ＝ｘ，Ｂ＝Ｄ＿＝。

　　Ｂ＝／ＡＢ２。

　　ＡＢ＝ｘ，Ｃ３。

　　即只需次大角是最小角的３。

　　倍在图３，Ａ２。

　　不能分割成两个等腰三角形。

　　中＝４．问题２（０７山西太原中考题）２０年数学课上，同学们探究下面命题的正确性：

角为的等腰顶三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形。

　　为此，你解答问题（）请１。

　　（）知：

图（）在△ＡＢ１已如Ｉ，Ｃ中，ＡＢ＝Ａ＝６直线ＡＣ，３。

　　，Ｂ平分ＡＣＡ于点Ｄ。

　　ＤＢ交Ｃ８１求证：

Ｂ与△ＤＣ是等腰三角形。

　　△ＡＤＢ都（）证明了该命题后，颖发现：

列两个等腰三角形２在小下如图（）（）具有这种特性。

　　请你在图（）图（）２、３也２、３中分别画出一条直线，它们分成两个小等腰三角形，在图中标出所把并画等腰三角形两个底角的度数。

　　（）着，颖又发现：

角三角形和一些非等腰三角形３接小直也具有这样的特性，：

角三角形斜边上的巾线可把它分成如直两个小等腰三角形。

　　请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，在图中标出三角形各内角的度数。

　　（明：

并说要求画出￣Ｂ＝ＣＢ￣（０Ｘ９一，Ａ１￣．ＣＤＬＤ＝－８－＝。

　　Ｌ＝０ｘ。

　　１￣）ｏ÷ｘ８－ｙ厶二１此ｕ只能Ａ／Ｂ，８。

　　＝９。

　　Ｚ）／，有Ｌ＝ＡＤ即ｌ…ｙｙ（～，＿ｏＸ０÷ｘ。

　　．．３＋ｙ５０，ｘ４＝４。

　　即ＡＢ１５Ｃ＝３一二Ｃ。

　　４②若／ｃ＿是底角，则有两种情况。

　　第一种情况：

图２当Ｄ＝Ｃ，ＬＤＣｘＡＡＤ，如，ＢＤ时则Ｂ＝，Ｂ中ＺＡＤＢ＝２ＡＢＤ＝ｙｘ。

　　ｘ，－的两个三角形不相似．而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。

　　）由ＡＢＡＤ，２＝－，＝得ｘｙｘ此时有ｙ３，ＬＡＢ＝＿Ｃ。

　　＝ｘ即Ｃ３／由ＡＢ＝Ｄ，１０－—＝ｘ，时３＋＝１０，ＬＡＢＣ＝Ｂ得８￣Ｘｙ２此ｘｙ８。

　　即１０～Ｃ。

　　８。

　　３、八、一由Ａ＝Ｄ，１０—＝－，时ｙ９。

　　即ＡＣ９。

　　ＢＢ得８Ｏｘｙｙｘ此＝０，Ｂ＝０，Ｃ为小于４。

　　５的任意锐角。

　　第二种情况，图３当Ｂ＝Ｃ，Ｄ－，ＡＢｌ０如，ＤＢ时ＬＢＣｘＤ＝８。

　　ｘ９。

　　此时只能有Ａ＝Ｄ，而ＬＡＬＡＤＩＬＣＬＣ，＞０，ＤＢ从＝Ｂ＝＜这２图（）１解：

１略。

　　（）（）下图：

２如图（）２图（）３与题设Ｃ是最小角矛盾。

　　当／是底角时，ＤＢ不成立。

　　＿ＣＢ＝Ｃ・．．或图（２）图《３）（）：

３如００４。

　　其中ｃ０，６；＜ｔ５，＜ｔ＃３。

　　０＃３。

　　图（３）图１图２图３题４（０２问２０年广东中考题）在ＡＡＣ中，ＢＡＢＡ＝Ｃ，若过其中一个顶点的一条直线。

　　将ＡＡＣ成两个等腰三角形。

　　△ＡＣ内角的度数（要求Ｂ分求Ｂ各只一或：

…出三个不同的解）。

　　解：

１如图（）若ＡＡＣ中底角是顶角的２，／Ａ＝（）１，Ｂ倍设－ｘ。

　　ＢＣ２。

　　＝＝ｘ，则ｘ２＋ｘｌ０ｘ３。

　　＋ｘ２＝８，＝６，三内角分别为３ｏ６，，７，２。

　　２。

　　７。

　　Ｏａ４。

　　其中仅≠３￣０￣３。

　　仅≠一＜＜５，０，ｔ６，１０８￣。

　　问题３（０７江苏无锡中考题）２０年（）１已知ＡＡＣ中，＝０，＝７。

　　请画一条直线，ＢＬＡ９。

　　ＬＢ６．，５把这个三角形分割成两个等腰三角形。

　　请你选用下面绐出的（备用图，所有不同的分割方法都画出来。

　　只需画图，必说把不明理由，要在图中标出相等两角的度数。