专题17 平面几何之全等三角形问题解析卷.docx

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专题17平面几何之全等三角形问题解析卷

备考2019中考数学高频考点剖析

专题十七平面几何之全等三角形问题

考点扫描☆聚焦中考

全等三角形，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。

解析题主要以证明为主。

结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：

（1）全等三角形的性质；

（2）全等三角形的判定；

（3）涉及到全等三角形的综合应用．

考点剖析☆典型例题

例1（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）

A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．

【解答】解：

乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

SAS，

所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：

AAS，

所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等；

故选：

B．

例2（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B=∠CB．AD=AEC．BD=CED．BE=CD

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．

故选：

D．

例3（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．

求证：

∠C=∠E．

【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．

【解答】解：

∵∠BAE=∠DAC，

∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

∵

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠C=∠E．

例4（2018•哈尔滨）已知：

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．

（1）如图1，求证：

AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【分析】

（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．

【解答】解：

（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，

∴∠ADE=∠CGF，

∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，

∴∠DAE=∠GCF，

∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a，

∴S△ADE=

AE•DE=

•2a•a=a2，

∵BH是△ABE的中线，

∴AH=HE=a，

∵AD=CD、AC⊥BD，

∴CE=AE=2a，

则S△ADC=

AC•DE=

•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中，

∵

，

∴△ADE≌△BGE（ASA），

∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=

AE•BE=

•（2a）•2a=2a2，

S△ACE=

CE•BE=

•（2a）•2a=2a2，

S△BHG=

HG•BE=

•（a+a）•2a=2a2，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

考点过关☆专项突破

类型一全等三角形的性质

1.如图，在下列4个正方形图案中，与左边正方形图案全等的图案是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．A、B、D图案均与题干中的图形不重合，所以不属于全等的图案，C中的图案旋转180°后与题干中的图形重合．

故选C

2.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解析：

A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；

故选：

C

3.如图：

若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）

A．2B．3C．5D．2.5

解析：

∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3．

故选B

4.如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（　　）

A．AB=DEB．∠A=∠DC．BC=CDD．∠ACD=∠BCE

解析：

因为△ABC≌△DEC，可得：

AB=DE，∠A=∠D，BC=EC，∠ACD=∠BCE，

故选C

5.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（　　）

A．∠BB．∠AC．∠EMFD．∠AFB

解析：

∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B．

故选A

6.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．

（1）求∠EBG的度数．

（2）求CE的长．

解：

（1）∵△ABE≌△ACD，

∴∠EBA=∠C=42°，

∴∠EBG=180°-42°=138°；

（2）∵△ABE≌△ACD，

∴AC=AB=9，AE=AD=6，

∴CE=AC-AE=9-6=3．

类型二全等三角形的判定

1.（2018•四川成都•3分）如图，已知

，添加以下条件，不能判定

的是（ ）

A. 

 B. 

C. 

  D. 

【考点】三角形全等的判定

【解析】【解答】解：

A、∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此A不符合题意；

B、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB

∴△ABC≌△DCB，因此B不符合题意；

C、∵∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=CB，不能判断△ABC≌△DCB，因此C符合题意；

D、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB

∴△ABC≌△DCB，因此D不符合题意；

故答案为：

C

【分析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。

2．（2018年江苏省南京市•2分）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（　　）

A．a+cB．b+cC．a﹣b+cD．a+b﹣c

【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；

【解答】解：

∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，

∴∠A=∠C，∵AB=CD，

∴△ABF≌△CDE，

∴AF=CE=a，BF=DE=b，

∵EF=c，

∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，

故选：

D．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

3．（2018·山东临沂·3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．

【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．

【解答】解：

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=90°．

∵∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠DCA．

在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3．

∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2

故选：

B．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．

4.（2018·台湾·分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？

（　　）

A．115B．120C．125D．130

【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．

【解答】解：

∵正三角形ACD，

∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，

∵AB=DE，BC=AE，

∴△ABC≌△AED，

∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，

∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，

∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，

故选：

C．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．

5.（2018·湖北荆州·3分）已知：

∠AOB，求作：

∠AOB的平分线．作法：

①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　　．

【解答】解：

由作法①知，OM=ON，

由作法②知，CM=CN，

∵OC=OC，

∴△OCM≌△OCN（SSS），

故答案为：

SSS．

6.（2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AB=ED　（只需写一个，不添加辅助线）．

【考点】三角形全等的判定方法

【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．

【解答】解：

添加AB=ED．

∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF．

∵AB∥DE，∴∠B=∠E．在△ABC和△DEF中

，∴△ABC≌△DEF（SAS）．

故答案为：

AB=ED．

【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　75　°．

【解答】

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，

∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=

=75°，故答案为：

75．

8.（2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：

AB=EF．

【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．

【解答】证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）

∴∠EAF=∠BMA，

∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°=∠B，（4分）

在△ABM和△EFA中，

∵

，

∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）

∴AB=EF．（6分）

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．

9.（2018•咸宁）已知：

∠AOB．

求作：

∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB

（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；

（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；

（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；

（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．

根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．

【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．

【解答】证明：

由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，

在△OCD和△O′C′D′中

，

∴△OCD≌△O′C′D′，

∴∠COD=∠C′O′D′，

即∠A'O'B′=∠AOB．

10.（2018•山东滨州•13分）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．

（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：

BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？

请利用图②说明理由．

【分析】

（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；

（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．

【解答】

（1）证明：

连接AD，如图①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵点D为BC的中点，

∴AD=

BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，证明如下：

连接AD，如图②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，

，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：

（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；

（2）根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．

类型三全等三角形和其它几何图形的综合应用

1．（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是　①②③　（写出所有正确结论的序）

①当E为线段AB中点时，AF∥CE；

②当E为线段AB中点时，AF=

；

③当A、F、C三点共线时，AE=

；

④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．

【考点】PB：

翻折变换（折叠问题）；KB：

全等三角形的判定；LB：

矩形的性质．

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：

如图1中，当AE=EB时，

∵AE=EB=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，

∴∠BEC=∠EAF，

∴AF∥EC，故①正确，

作EM⊥AF，则AM=FM，

在Rt△ECB中，EC=

=

，

∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，

∴△CEB∽△EAM，

∴

=

，

∴

=

，

∴AM=

，

∴AF=2AM=

，故②正确，

如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．

则EB=EF=3﹣x，AF=

﹣2，

在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，

∴x2=（

﹣2）2+（3﹣x）2，

∴x=

，

∴AE=

，故③正确，

如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，

故答案为①②③．

【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

2．（2018·广东深圳·9分）如图：

在

中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且

.

（1）求AB的长度；

（2）求AD·AE的值；

（3）过A点作AH⊥BD，求证：

BH=CD+DH.

【答案】

（1）解：

作AM⊥BC，

∵AB=AC,BC=2，AM⊥BC，

∴BM=CM=

BC=1,

在Rt△AMB中，

∵cosB=

BM=1,

∴AB=BM÷cosB=1÷

=

.

（2）解：

连接CD，∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠ADC+∠ABC=180°,

又∵∠ACE+∠ACB=180°,

∴∠ADC=∠ACE，

∵∠CAE=∠CAD，

∴△EAC∽△CAD，

∴

∴AD·AE=AC2=AB2=（

）2=10.

（3）证明：

在BD上取一点N，使得BN=CD,

在△ABN和△ACD中

∵

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN=AD，

∵AH⊥BD，AN=AD，

∴NH=DH,

又∵BN=CD,NH=DH,

∴BH=BN+NH=CD+DH.

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】【分析】

（1）作AM⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM=

BC=1,在Rt△AMB中，根据余弦定义得cosB=

由此求出AB.

（2）连接CD，根据等腰三角形性质等边对等角得∠ACB=∠ABC，再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得∠ADC=∠ACE；由相似三角形的判定得△EAC∽△CAD，根据相似三角形的性质得

； 从而得AD·AE=AC2=AB2.

（3）在BD上取一点N，使得BN=CD,根据SAS得△ABN≌△ACD，再由全等三角形的性质得AN=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.

3.（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：

BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

【考点】四边形综合题．

【分析】

（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．

（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．

（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．

【解答】

（1）解：

结论AE=EF=AF．

理由：

如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ADC是等边三角形，

∴∠BAC=∠DAC=60°

∵BE=EC，

∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

∵∠EAF=60°，

∴∠CAF=∠DAF=30°，

∴AF⊥CD，

∴AE=AF（菱形的高相等），

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF．

（2）证明：

如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF．

（3）解：

过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，

∴BG=2，AG=2

，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2

，

∴EB=EG﹣BG=2

﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2

﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，

∵∠EAF=60°，AE=AF，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=∠AFE=60°

∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，

∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

在RT△EFH中，∠CEF=15°，

∴∠EFH=75°，

∵∠AFE=60°，

∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，

在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2

﹣2，

∴FH=CF•cos30°=（2

﹣2）•

=3﹣

．

∴点F到BC的距离为3﹣

．

【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．