EWMA控制图的灵敏性分析 doc.docx
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EWMA控制图的灵敏性分析doc
郑州航空工业管理学院
毕业论文（设计）
2012届质量与可靠性工程专业0805103班
题目EWMA控制图的灵敏性分析
姓名史国东学号080510319
指导教师张黎职称教授
二О一二年五月二十日
内容提要
控制图是对过程质量特性值进行测定、记录，并评估和监测过程是否处于控制状态的一种图形。
它是以统计方法为理论基础而设计的。
自从1924年shewhart控制图出现后在各行各业中得到了广泛的应用，也为各行业取得了很好的经济效益。
然而shewhart控制图只对过程的大波动灵敏，对于过程的小波动没有很好的检出能力。
针对这种情况指数加权移动平均（EWMA）控制图被提出，作为控制图的一种，由于充分考虑了历史数据，并且对不同的历史数据给予不同的权重要，所以EWMA控制图对过程均值的小波动和过程逐渐波动具有较强的检出能力。
本文所做的工作和创新为首先通过马尔科夫链方法计算控制图的性能评价指标ARL，分析EWMA和shewhart控制图的优越性。
然后通过仿真数据直观考察EWMA的灵敏性并与
控制图的灵敏性进行对比，结果表明EWMA图对监测过程小波动比
控制图更灵敏，而
控制图对均值突变情形比EWMA灵敏。
关键词
EWMA控制图；ARL；马尔科夫链方法；灵敏性分析
Sensitiveanalysisofewmacontrolchart
Author:
ShiGuodongTutor:
ZhangLi
Abstract
Thecontrolchartisakindofgraphwhichmeasures,records,assessesandmonitorstheprocessqualityandmakessurethattheprocessisincontrolstate.Thecontrolchartisdesignedonthetheoreticalbasisofstatisticalmethod.Since1924,theShewhartcontrolchartcameintobeingandwaswidelyappliedinallwalksoflife;ithasbroughtrespectableeconomicbenefitstovariousindustries.Howeveritisonlysensitivetolargefluctuationsbutweakindetectingsmallfluctuations.TheEWMAwasbroughtinunderthiscircumstance.Asakindofcontrolchart,EWMAhasagoodconsiderationonthehistoricaldata,soithasgivendifferentweightstodifferenthistoricaldata.Basedontheseconditions,EWMAhasgooddetectionabilityonthesmallfluctuationsandtheprocessofgradualfluctuations.
ThemainworkandinnovationofthispaperliesattheuseofMarkovchainmethodtocalculatethepropertyindexesARLofcontrolchart,andthenanalyzethesuperiorityofEWMAandShewhartcontrolchart.AccordingtothecomparisonofsensitivityofEWMAand
controlchart,itshowsthatEWMAismoresensitivethan
controlchartinthedetectingofsmallprocessfluctuation;while
controlchartismoresensitiveinhandlingmeanmutation.
Keywords
EWMAcontrolchart；ARL；Markovchainmethod；SensitivityAnalysis
EWMA控制图的灵敏性分析
080510319史国东指导教师：
张黎教授
1引言
在现在社会竞争日益激烈的情况下，产品质量对一个企业来说尤为重要，它是一个企业参与市场竞争，赖以生存和发展的基础。
企业要追求目标，首先是创造利润，创造利润是建立在高效率、高质量及低成本的基础之上的。
其中质量的好坏，又直接影响效率与成本。
也可以说，追求高质量的产品是企业生存与发展的基础。
质量代表了一个国家的综合实力，它是科技、文化等各方面实力的综合体现。
要想得到好的经济效益，首先就要以好的质量为前提。
当今世界经济的发展也不再以数量型增长为主，取而代之的是质量型增长模式，与此同时质量也成为市场竞争的主要工具。
面对国内外日益激烈的市场竞争，作为一个企业，特别是制造企业，必须稳定和提高过程产品的质量，进而实现可以生产适合国内外市场需求的一流产品的水平。
而要达到这样的结果，如果没有科学的质量管理方法，是不可真正能实现的。
科学的质量管理方法必须要运用有效的统计分析技术和统计分析方法。
在大批量生产的情况下，shewhart控制图得到广泛的应用，但随着社会的发展，企业对于过程的监控精度也提出了更高的要求，由于休哈特控制图没有考虑历史数据，所以对过程的小波动没有很好的检出能力。
在这种情况下，EWMA被提出来，它对于过程的小波动具有很好的检出能力。
本文首先对EWMA控制图的起源和特点作了介绍，然后以马尔科夫链的方法求得EWMA控制图在不同的阶跃干扰下的平均运行长度并与shewhart控制图对比，以此评价二者在过程中对于波动的检出能力。
最后再以仿真数据直观的考察EWMA与shewhart控制图的检出性能。
2控制图的理论
2.1质量的统计观点
质量的统计观点不仅是现代质量管理的基本观点之一，也是区分现代质量管理和传统质量管理（传统的质量观点认为质量就是符合技术标准，高质量来自于检验、测试和检查）的标准之一。
质量的统计观点即休哈特博士提出的观点包括以下两方面内容：
（1）质量具有变异性。
在工业革命以后很长的一段时间里，人们误认为：
由机器生产出来的产品应该是一样的。
但是经过相当一段时间的实践，随着各种测量工具与测量的理论知识的进步，人们发现，在生产过程中，代替手工操作的机械化生产并没有生产出来一模一样的产品，任何种类的产品，无论是大批量生产，还是小批量生产，产品质量总是在波动。
一个生产设备，同样的原材料，同样的技术参数，同一个操作人员，生产的产品的质量特性也不完全一样，存在着一定的差异。
人（man）、机（machine）、料（method），法（method）、环（environment）、测（measurement）这六大因素是造成这种差异的主要原因，而这六大质量因素在不停的发生变化，所以产品质量特性值也在不停的发生变化，这就是质量的变异性。
公差制度的建立就是承认质量具有变异性的一个标志。
（2）质量变异具有统计规律性。
质量特性值是波动的，具有规律性，但它不是通常的确定性现象的确定性规律，而是随机现象的统计规律。
所谓确定性现象，就是在一定的条件下确定发生或一定不发生的事件。
如掷一枚股子一定不会出现7点。
所谓统计规律性指在一定的条件下事件可能发生也可能不发生的现象。
例如，无法预知电灯泡的寿命是否在1000小时以上，但在对大量统计数据进行分析的基础上，可以得出结论：
电灯泡的寿命有80%的可能会大于1000小时。
用数学语言来描述是随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性，就是过程数据服从某种分布。
如果过程出现异常波动，就会偏离原来的分布，利用统计技术就可以发现偏离。
戴明在休哈特理论基础上从对质量影响的大小方面，将产生波动的原因分成两类：
偶然原因和异常原因。
偶然原因是过程固有的，始终存在，对质量的影响微小，但难以除去。
异常原因则是非过程固有，对质量影响大但不难除去。
这种对变异的区分是必要的，因为异常原因属于质量控制范畴，而偶然原因则属于质量改进范畴。
但是两种变异的划分又是主观的、相对的，随着质量改进的不断完成和科学技术的进步，今天的偶然原因可能成为明天的异常原因。
2.2控制图的基本理论
统计过程控制就是应用统计技术对过程进行控制，从而达到改进与保证产品质量的目的。
首先，在生产过程开始收集产品的质量数据。
然后，运用控制图对这些质量数据进行统计分析，找到过程的稳态，即只有偶因没有异因的状态。
最后，以该统计稳态为依据制定控制图，对生产系统的生产情况进行监控。
若过程没有处于稳态，需要利用“查出异因，采取措施，保证消除，纳入标准，不再出现”，立即对整个生产系统的工作情况进行检查，排除问题，重新收集数据建立控制图。
一般来说，影响产品的质量因素有异常因素和偶然因素两类，如果生产过程中只有偶然因素影响产品的质量，我们就认为生产过程是处于统计控制状态的，反之，如果有异常因素起作用，就认为生产过程偏离了控制状态，这种能够保证生产过程处于统计控制状态、预防出现废品的统计控制方法的典型工具就是控制图。
利用控制图能够监测出影响产品质量特性的异常因素，从而对过程中的很多生产问题做出判断和纠正，这样就可对影响产品质量的主要工序进行改进，避免大量损坏品和需修品的出现。
控制图的提出由来已久，世界上第一张控制图是由休哈特博士于1924年提出来的，之后得到了广泛的应用和深入的研究，取得了相当好的经济效益和社会效益，为社会的发展尤其是对二战后世界经济的发展做出了巨大的贡献。
根据概率统计原理，把μ-3σ定为LCL，μ+3σ定为UCL，μ定为CL，这样得到的控制图称为3σ原理控制图，也称为休哈特（Shewhart）控制图。
更一般地，设X是要控制的质量特性值的某个样本统计量，则
（1）
其中E（X）是X的数学期望，
是X的标准差。
如在生产过程中，仅有偶然因素存在，则产品质量特征X将服从某种典型分布，通常为正态分布；当异常因素出现时，X就会偏离原来的典型分布，可用统计学中的假设检验方法来及时发现这种分布的偏离，从而以此来判断异常因素是否存在。
当过程不存在异常因素时，
于是就有
（2）
如图2-1所示：
图2-13σ原理控制图
从总体中任取一件样品，把所得样品的质量特性X的值绘在画有界限u±3σ的控制图上，在正常情况下点子落在[μ-3σ，μ+3σ]范围内的概率为99.73％，落在这个范围以外的概率为0.27％（记为α），它相对于99.73%是一个的很小的概率，过程正常即过程中只存在偶然因素的情况下人们一般认为它在一次实验中几乎不可能发生，如果点子落在这个范围内，则认为过程存在异常因素，这时应该对过程采取措施。
另一方面，对于休哈特控制图，由于统计量没有采用历史数据，所以对于界内点又增加了判异准则2——界内点排列不随机判异。
根据假设检验理论：
在一定的显著性水平下，若样本值落入拒绝域，则拒绝接受原假设，否则接受原假设。
如在控制图中，显著性水平取为α，这样在生产过程正常的情况下，样本值纯粹由于偶然原因而落入拒绝域的概率只有α，可以认为，在抽取有限个样本的条件下，这实际上是不可能发生的事情。
相反，在生产过程异常、存在有异常原因影响的情况下，产品质量的分布将偏离原来的分布类型，样本值落入拒绝域的可能性大大增加。
因此，可以利用控制图对生产过程进行监控，通过控制图上面点子的排列方式，可以判断生产过程是受偶然因素的影响，或者受偶因异因的共同影响，对生产过程当前是否处于控制状态作出判断。
此外，控制图也是估计工艺参数和分析工序能力的有效手段。
利用控制图上的控制限，还能对工艺上容许的规格界限做出较佳的判断，并对各种交叉设计和交叉的生产方法做出较佳的比较。
通过过程的改进，在较低检验费用条件下可以给出较佳的质量保证。
此外，根据休哈特控制图来对生产过程做出稳定性判断时，可能犯两钟错误：
第一种是在生产正常的情况下，纯粹由于偶然而点子出界的概率虽然很小，但总还不是绝对不可能发生的。
因此，在生产正常、点子出界的场合，根据点子出界而判断生产异常就犯了虚发警报的错误，这种错误通常称为犯第一类错误，将犯此错误的概率记为α，影响α大小的因素就是上下控制限的大小。
在3σ原理的控制图中，α=0.27％。
Shewhart将α取得如此小，这样，对于“点子出界就判异”这条准则来讲，虽不百发百中，也是千发九百九十七中了。
但α小，
就大。
为了减少第二类错误，对于控制图中的界内点增加了第二类判异准则，即“界内点子排列不随机判异”第二种是在生产异常的情况下，产品质量的分布已经偏离了典型分布，但总还有一部分产品的质量的特性值是在上、下控制界限之内。
如果抽到这样的产品进行检测并在控制图中描点，这是由于点子未出界而判断生产正常就会犯漏发警报的错误，这种错误通常称为第二类错误，将犯此错误的概率记为β。
通常α减小，β增大，反之则α增大，β减小。
无论如何，两种错误都不可避免。
根据使两种错误造成的总损失最小这一点来确定UCL和LCL二者之间的最优间隔距离，它随着产品与产地的不同而变化，所以不存在一个放之四海而皆准的最优间隔距离。
经验证明，休哈特所提出的3σ方式较好。
常规控制图的设计思想是先定α后定β，而按照3σ方式确定的UCL、LCL就等于确定了虚发警报的概率α=0.27%。
3EWMA控制图
3.1EWMA的起源
传统的Shewhart控制图统计变量只考虑了当前的数据，对于历史数据弃之不用，这种只考虑当前数据的统计方法忽视了数据之间的联系，不仅浪费了大量的历史数据和相关信息，另一方面，也造成了传统的休哈特控制图无法具有较高的精度和对小波动持续上升、下降以及循环趋势质量变异敏感性的缺点，由此人们提出了累加和（CumulativeSum，CUSUM）控制图。
（3）
其中
表示第i个样本的均值，μ为过程的目标值，S
为到第i个样本为止的累积和。
从公式（3）可以看出，累加和控制图与shewhart控制图的统计变量的主要区别在于:
累加和控制图的统计量之间有一定的联系，它很好的运用了历史数据并且给予历史数据相同的权重。
通过实际的应用，研究人员慢慢发现，CUSUM控制模型只是偏重于被控系统的时域信息，而忽略了在不同时间条件下观察值反应的系统质量信息多寡的不同，shewhart控制图的缺点在于只是注重系统当时观测值的应用影响，而降低了对趋势性的质量变异的敏感性。
CUSUM控制图的不足则正好相反，由于考虑了较多的时域信息，而使在没有异常情况下产生异常报警，并且根据V_MASK方法进行操作在实际应用中很难，这就降低了其的应用范围。
由此，Robert于1959年提出了指数加权移动平均（ExponentiallyWeightedMovingAverage，EWMA）控制图。
如果把Shewhart控制图、CUSUM控制图和EWMA控制图的控制变量都看作是对所有观测值的加权相加的关系，且每个观测值的权值为W
（i=l，2，…n），为了保持控制图的稳定性，则所有权值的和应为1（
）。
Shewhart控制图的控制变量为最后一个观测值得到所有的权重
，且其他观测值的权重为零的加权组合，CUSUM控制图的控制变量为每一个观测值具有相同的权重
（i=1,2，…n）的加权组合。
在EWMA控制图中，W
是一个随观测时间的推移越来越小的量，而且减小的趋势可以通过调整
（
[0,1]）加以改变，以适应不同的加工过程的特点。
因此，这种统计方法更合理地反映生产实际中质量变异的情况。
由此可以得出EWMA控制图的统计变量实际上是观测值的一个加权线性组合，可由下式表示：
EWMA=
（4）
其巾W
为第i个点的权值，
表示第i个样本的均值。
符合相对于i递增的规律，满足
的限制。
根据Shewhart控制图、CUSUM控制图及EWMA控制图对历史的数据利用率，可以从图3-1直观的看出：
图3-1数据权重图
3.2控制图的统计量
设
，
是相互独立的观测值序列，满足
，
。
则EWMA统计量为：
（5）
其中
=μ，
[0,1]为平滑系数。
则EWMA控制图的控制限为：
（6）
其中L为控制限系数，n为样本容量，对于给定的λ，只要λ不太小，随着t的增加，
趋近于
。
3.3EWMA的特点
EWMA控制图的优点：
（1）在检测过程均值的小波动和过程逐渐波动时,如波动幅度在0.5σ～1.5σ之间，EWMA控制图比均值控制图更有效。
（2）预测，EWMA的统计量
可以解释为对下一个观测值的预测，即将统计量
看作
的预测，其数值等于
的当前预测值
加上λ倍的预测误差
。
EWMA控制图的缺点：
（1）不能很好发现过程中的突发变化，这是因为对过去样本数据波动的积累造成的。
比如，前一个均值向上有一个波动，后一个均值向下有一个较大的波动，由于考虑了历史因素，使得这两个突发因素被完全抵消或部分抵消，从而减少了对突发变化的敏感性。
（2）做控制图的假设前提是点子序列具有不相关性，而EWMA的统计量之间具有一定的相关性。
所以EWMA图中的点子可能会出现不随机的形式。
4EWMA控制图的灵敏性分析
4.1EWMA控制图的ARL
控制图的灵敏性是指当过程存在异常波动时，控制图能够尽快的识别。
常用的评价指标是平均运行长度（ARL,AverageRunLength），即从监控过程开始，直到第一个样本观测值落在控制限之外结束，控制图上样本观测值的平均个数。
根据3σ原则建立的均值图，当过程受控时，点子落在控制界限外的概率为p=0.0027，则ARL=370。
根据小概率事件原理，如果点子出界，则判断测量过程失控。
这种判异存在两种风险，风险Ⅰ：
虚发警报；风险Ⅱ，漏发警报。
通常希望受控ARL越大越好，即虚发警报的概率越小越好；失控的ARL越小越好，即漏发警报的概率越低越好。
常用的EWMA控制图的ARL的计算方法有迭代算法（如积分方程法，马尔科夫链法），模拟算法（蒙特卡洛法），优化算法（遗传算法）。
但计算较为复杂，本文以马尔科夫链法计算EWMA的平均运行长度ARL。
具体过程如下：
将控制图的受控区域[LCL,UCL]分成
个长度相等的小区间，每个小区间的长度为
。
记第j个子区间为（
，
）（j=1,2,……,2m+1）,则：
（7）
（8）
将第j个区间的中点记为
，则：
（9）
将从状态
（i=1,2，……，2m+1）一步转移到状态
的概率记为
，则：
（10）
其中：
（11）
（12）
则该控制图在这2m+1个状态空间的转移概率矩阵为
定义
其中I为
的单位矩阵。
定义
，则EWMA控制图的平均运行长度ARL为：
（13）
其中1为元素全为1的2m+1维列向量。
假设
，
用matlab计算，程序如下：
functiony=FEWMAARL（L,λ,k,UCL,LCL）
L=input（'请输入控制限系数'）;
λ=input（'请输入平滑系数'）;
k=101;
UCL=L*sqrt（λ/（（2-λ）*5）;
LCL=-UCL;
d=（UCL-LCL）/k;
fori=1:
1:
k
forj=1:
1:
k
temp=（LCL+d*j-（1-λ）*（LCL+（i-0.5）*d））/（λ）;
T1=normcdf（temp,0,1/sqrt（5））;
temp=（LCL+d*（j-1）-（1-λ）*（LCL+（i-0.5）*d））/（λ）;
T2=normcdf（temp,0,1/sqrt（5））;
R（i,j）=T1-T2;
end;
end;
PM=0*ones（1,k）;
PM（1,k/2）=1;
SS=PM*inv（eye（k）-R）*ones（k,1）;
y=SS;
计算结果如表4-1：
表4-1阶跃干扰（δσ）下的EWMA（λ，L）和shewhart控制图的ARL比较
δ
EWMA
shewhart
（0.05,2）
（0.15,2.8）
（0.25,3）
0
127.292
369.045
502.166
370.370
0.5
7.402
8.103
9.026
33.278
1.0
3.627
3.356
3.137
4.472
1.5
2.488
2.237
2.032
2.754
2.0
2.020
1.813
1.530
1.076
2.5
1.793
1.392
1.146
1.005
3.0
1.381
1.082
1.015
1.001
3.5
1.078
1.006
1.001
1.000
4.0
1.006
1.000
1.000
1.000
4.5
1.000
1.000
1.000
1.000
5.0
1.000
1.000
1.000
1.000
4.2控制图的灵敏性分析
要对不同的控制图的控制效果进行比较，应使这些控制图处于同样的条件下，一般使受控时的平均运行长度相同，然后比较失控时的平均运行长度。
从图中可以看出对于1.5σ以内小波动，EWMA控制图的灵敏性明显比shehwart控制图的灵敏性好，而对于大于3σ的波动，EWMA不如shehwart控制图灵敏。
4.3与均值图的比较分析
用minitab模拟一组服从正态分布X～N（2,0.01）的数据200个，如表4-2所示：
表4-2原始正态数据
1
1.98167
1.99844
2.00529
1.98945
2.00023
2
1.98903
2.00661
2.00867
1.9961
2.00527
3
2.00841
1.98823
1.99497
2.00203
1.99897
4
2.00542
2.01534
2.01573
2.0011
1.99907
5
2.01413
2.00445
2.00475
1.9992
1.99596
6
1.99442
2.01394
2.00562
2.00995
1.99753
7
1.99269
2.01305
2.01159
1.98855
2.00886
8
2.00314
2.01539
1.99082
1.99785
1.99411
9
2.00888
1.99441
2.01028
1.99673
1.99053
10
1.99613
2.00422
2.01615
1.99459
2.00874
11
1.99126
2.00655
2.00177
1.99337
1.99779
12
1.99738
1.99529
1.99903
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