优化设计大作业参考答案优秀作品.docx
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优化设计大作业参考答案优秀作品
结构优化设计课程
大作业
学生姓名
学号
任课教师
导师姓名
南京航空航天大学
2017年6月
第一部分基本知识作业
1.题3.21………………………………………………………………3
2.题4.73………………………………………………………………4
3.题5.24………………………………………………………………6
4.题8.37………………………………………………………………8
5.题8.51………………………………………………………………10
6.题11.24………………………………………………………………12
第二部分遗传算法
1.woodfunction函数…………………………………………………14
2.Powell奇异函数………………………………………………………17
3.Schaffer’s函数………………………………………………………18
第三部分附件
3.21Solvetherectangularbeamproblemofexercise2.17graphicallyforthefollowingdata.
解：
将exercize2.17中求梁横截面积最小值的问题用数学描述如下所示。
MinimizeS=bd
Subjectto
用Matlab作图可得如下所示。
图1:
题3.21示意图
从图中可以清楚地看到，在可行域内，最小值的所在点为（0.8,0.09375），最小值为0.075.
4.73Minimizef（x,y）=（x-8）2+（y-8）2;
Subjectto
解：
设
（u1,u2,u3,u4是拉格朗日乘子，s1,s2,s3,s4是松弛变量）
由KKT条件可得：
从其中的（a），（b），（c），（d）四项转换条件以下16种情况
Case1
U1=0,U2=0,U3=0,U4=0
Case2
U1=0,U2=0,U3=0,S4=0
Case3
U1=0,U2=0,S3=0,U4=0
Case4
U1=0,U2=0,S3=0,S4=0
Case5
U1=0,S2=0,U3=0,U4=0
Case6
U1=0,S2=0,U3=0,S4=0
Case7
U1=0,S2=0,S3=0,U4=0
Case8
U1=0,S2=0,S3=0,S4=0
Case9
S1=0,U2=0,U3=0,U4=0
Case10
S1=0,U2=0,U3=0,S4=0
Case11
S1=0,U2=0,S3=0,U4=0
Case12
S1=0,U2=0,S3=0,S4=0
Case13
S1=0,S2=0,U3=0,U4=0
Case14
S1=0,S2=0,U3=0,S4=0
Case15
S1=0,S2=0,S3=0,U4=0
Case16
S1=0,S2=0,S3=0,S4=0
依次求解各种情况，并进行比较可得，在case12这种情况可得最优点（6,6），最小值为8；如下图
（2）所示。
图2:
题4.73题示意图
5.24Minimize
Subjectto
解：
设
由第二种KKT条件可得：
由KKT条件中的转换条件（a）可得：
Case1:
U1=0
由此可得：
X1=1，X2=1，g1=-2
Case2：
g1=0
由此可得：
X1=0，X2=0，U1=-2
因为KKT条件要求拉格朗日乘子U需要大于0，所以case2不满足KKT条件。
由于在（1,1）这点没有激活条件，所以这一点是regularpoint.
通过计算可得海森矩阵为
，此矩阵为正定矩阵，满足StrongSufficentCondtion.
综上可见，（1，1）点为最优点，最小值为0.如下图所示。
图3:
题5.24示意图
8.37Minimize
Subjiectto
解：
引入松弛变量学，X3，X4，将问题转化为标准线性规划问题。
Minimize
Subjectto
创建单纯性法表格，利用单纯性法解决该线性规划问题。
Basic↓
X1
X2
X3
X4
b
Ratio
1.X3
-1
2
1
0
10
5
2.X4
3
2
0
1
18
9
3.Cost
2
-1
0
0
f
从初始的单纯性表，我们可以得到如下可行解
BasicvariablesX3=10，X4=18
NonbasicvariablesX1=0,X2=0
Costfunctiomf=0;
从初始单纯性表可以看出，最后一行存在系数为负数，所以上述可行解不是最优解，我们选择非基本变量X2替代基本变量X3.于是我们可以得到下表。
Basic↓
X1
X2
X3
X4
b
Ratio
1.X2
-0.5
1
0.5
0
5
2.X4
4
0
-1
1
8
3.Cost
1.5
0
0.5
0
f+5
从上述单纯性表中，我们可以得到如下可行解
BasicvariablesX2=5，X4=8
NonbasicvariablesX1=0,X3=0
Costfunctiomf=-5;
从初始单纯性表可以看出，最后一行存在系数为全为正数，所以上述可行解是最优解，如下图所示。
图4：
题8.37示意图
8.51Minimize
Subjectto
解：
引入松弛变量将此问题转换为标准线性规划问题。
Minimize
Subjectto
创建单纯性表格，利用单纯性法解决问题
Basic
X1
X2
X3
X4
X5
b
Ratio
1.X3
2
1
1
0
0
5
2.5
2.X4
3
4
0
1
0
10
3.33
3.X5
1
0
0
0
1
3
3
Cost
-2
-1
0
0
0
f
从初始单纯性表可以得到如下可行解。
BasicvaluablesX3=5,X4=10,X5=3,
NonbasicvaluablesX1=0,X2=0
Costfunctionf=0;
从初始表格可以看出，最后一行中存在系数为负数，所以上述解并不为最优解。
现将基本变量X3与非基本变量X1替换。
可得下表
Basic
X1
X2
X3
X4
X5
b
Ratio
1.X1
1
0.5
0.5
0
0
2.5
2.X4
0
2.5
-1.5
1
0
2.5
3.X5
0
-0.5
-0.5
0
1
0.5
Cost
02
0
1
0
0
f+5
从上表可以得到下述可行解：
BasicvaluablesX1=2.5,X4=2.5,X5=0.5;
NonbasicvaluablesX2=0,X3=0;
Costfunctionf=-5;
从上表中可以看出，最后一行系数全为正数，所以此解即为最优解。
如下图所示。
图5:
题8.51示意图
11.42f（X1,X2,X3,X4）=（X1-10X2）2+5（X3-X4）2+（X2-2X3）4+10（X1-X4）4,
Letthestartingdesignbe（1,2,3,4）;
解：
本题采用牛顿法进行迭代求解。
牛顿法的基本思路如下所示
1.选定初始点，确定准许的误差，令K=0；
2.求
，检验
，如果其大小误差，否则进入第（3）步。
3.令Sk=
，XK+1=XK+SK.转回第二步。
根据此思想，编程如下
clc;
clear;
%定义函数
symsx1x2x3x4;
f=（x1-10*x2）^2+5*（x3-x4）^2+（x2-2*x3）^4+10*（x1-x4）^4;
%定义初始点
x0=[1;2;3;4];
%求函数的梯度和海森矩阵
g=jacobian（f,[x1;x2;x3;x4]）;
G=jacobian（[g
（1）;g
（2）;g（3）;g（4）],[x1,x2,x3,x4]）;
%计算初值
g0=subs（g,[x1,x2,x3,x4],[x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）]）;
G0=subs（G,{x1,x2,x3,x4},{x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）}）;
f0=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）]）;
%定义迭代最大次数
n=10;
%定义迭代点集合，以及初始化
X=zeros（4,n）;
F=zeros（1,n）;
X（:
1）=x0-inv（G0）*g0';
A=X（:
1）;
F
（1）=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
%定义精度
q=0;
data=10;
i=1;
while（data>=q&i<10）
A=X（:
i）;
gi=subs（g,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
Gi=subs（G,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
i=i+1;
X（:
i）=X（:
i-1）-inv（Gi）*gi';
A=X（:
i）;
F（i）=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
data=abs（F（i）-F（i-1））;
end
X
F
data
运行程序得到如下结果：
迭代10次，每次所在点如下图
每次迭代所得结果为：
2遗传算法
遗传算法是一种寻求函数最优解的算法。
其基本原理是：
模拟自然界生物繁衍过程中基因重组与自然进化的过程。
把待解决问题的参数编程二进制码或十进制码（即基因），若干基因组成一个染色体（即个体），许多染色体进行类似于自然选择，配对交叉和变异的运算，经过多次迭代，直至得到最优结果。
其算法思路如下所示。
图6:
遗传算法思路
遗传算法具体实现通过Matlab自带函数ga实现的，对该函数的用法这里不再细述，进队我们使用的参数进行说明。
2.1woodfunction函数
解：
1.首先编辑函数文件，定义为Problem1，具体如下所示。
functionfitness=problem1（x）
fitness=100*（x
（1）^2-x
（2））+（x
（1）-1）^2+（x（3）-1）^2+...
90*（x（3）^2-x（4））^2+10.1*（（x
（2）-1）^2+（x（4）-1）^2）+...
19.8*（x
（2）-1）*（x（4）-1）;
End
2.设置ga函数参数，并调用ga函数求解。
具体代码如下.
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem1,4,[],[],[],[],[],[],[],options）;
3.ga函数的重要参数，以及运算结果。
Ga函数的重要参数，即遗传算法的基本参数如下表所示。
属性名
说明
取值
PopolationSize
表示个体数目的数值
20
Elitecount
不变化的下一代最优个体数目
2
CrossoverFraction
个体间交换基因的比例
0.8
Generations
允许代的最大数目
60
TolFun
约束的终止容限
1e-6
运行结如下图所示。
图7：
遗传算法每次迭代最佳适应度函数值
图8：
遗传算法的运行信息
由上可知，总共迭代52次，最优个体为（0.0587，7.4164，0.0337，-0.4795），函数最优值为-468.7200.
2.2Powell奇异函数：
解：
1.首先编辑函数文件，定义为Problem1，具体如下所示。
functionf=problem2（x）
f=（x
（1）+10*x
（2））^2+5*（x（3）-x（4））^2+（x
（2）-2*x（3））^4+10*（x
（1）-x（4））^4;
End
2.设置ga函数参数，并调用ga函数求解。
具体代码如下.
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem2,4,[],[],[],[],[],[],[],options）;
4.ga函数的重要参数，以及运算结果。
Ga函数的各个参数同上，这里不再赘述。
运行结如下图所示。
图9：
遗传算法每次迭代最佳适应度函数值
图10：
遗传算法的运行信息
由上可知，总共迭代57次，最优个体为（-0.1126,0.0139，-0.0157，-0,0146），函数最优值为.0.0132
2.3Schaffer’s函数
解：
1.首先编辑函数文件，定义为Problem1，具体如下所示。
functionf=problem3（x）
f=0.5-（sin（sqrt（x
（1）^2+x
（2）^2））*sin（sqrt（x
（1）^2+x
（2）^2））-0.5）/（1+0.001*（x
（1）^2+x
（2）^2））^2;
end
2.设置ga函数参数，并调用ga函数求解。
具体代码如下.
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem3,2,[],[],[],[],[-100;-100],[100;100],[],options）;
3.ga函数的重要参数，以及运算结果。
Ga函数的各个参数同上，这里不再赘述。
运行结如下图所示。
图11：
遗传算法每次迭代最佳适应度函数值
图12：
遗传算法的运行信息
由上可知，总共迭代51次，最优个体为（1.1213，1.0978），函数最优值为0.0025.
3.附件
3.1题3.21的相关matlab程序
clc;
clear;
d=0.1:
0.01:
2;
b1=0.06./（d.^2）;
plot（d,b1,'k'）;
holdon
b2=0.075./d;
plot（d,b2,'k'）;
holdon;
%g=@（x,y）x.*y;
%ezcontour（@（x,y）g（x,y）,[0.05,1]）
fori=0.05:
0.25:
1
bi=i./d;
plot（d,bi,'b-'）
holdon
end
xlim（[0,1]）;
ylim（[0,1]）;
plot（0.8,0.09375,'k*'）;
fill（[0.245,0.8,1,1],[1,0.09375,0.075,1],[1,0.5,0.5],'FaceAlpha',0.5）;
gtext（'0.05'）;
gtext（'0.075'）;
gtext（'0.3'）;
gtext（'0.55'）;
3.2题11.42的相关程序（牛顿法）
clc;
clear;
%定义函数
symsx1x2x3x4;
f=（x1-10*x2）^2+5*（x3-x4）^2+（x2-2*x3）^4+10*（x1-x4）^4;
%定义初始点
x0=[1;2;3;4];
%求函数的梯度和海森矩阵
g=jacobian（f,[x1;x2;x3;x4]）;
G=jacobian（[g
（1）;g
（2）;g（3）;g（4）],[x1,x2,x3,x4]）;
%计算初值
g0=subs（g,[x1,x2,x3,x4],[x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）]）;
G0=subs（G,{x1,x2,x3,x4},{x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）}）;
f0=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[x0
（1）,x0
（2）,x0（3）,x0（4）]）;
%定义迭代最大次数
n=10;
%定义迭代点集合，以及初始化
X=zeros（4,n）;
F=zeros（1,n）;
X（:
1）=x0-inv（G0）*g0';
A=X（:
1）;
F
（1）=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
%定义精度
q=0;
data=10;
i=1;
while（data>=q&i<10）
A=X（:
i）;
gi=subs（g,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
Gi=subs（G,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
i=i+1;
X（:
i）=X（:
i-1）-inv（Gi）*gi';
A=X（:
i）;
F（i）=subs（f,[x1,x2,x3,x4],[A
（1）,A
（2）,A（3）,A（4）]）;
data=abs（F（i）-F（i-1））;
end
X
F
Data
3.3woodfunction函数的相关matlab程序（遗传算法）
3.3.1woodfunction函数的编译程序
functionfitness=problem1（x）
fitness=100*（x
（1）^2-x
（2））+（x
（1）-1）^2+（x（3）-1）^2+...
90*（x（3）^2-x（4））^2+10.1*（（x
（2）-1）^2+（x（4）-1）^2）+...
19.8*（x
（2）-1）*（x（4）-1）;
End
3.3.2遗传算法的实现程序
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem1,4,[],[],[],[],[],[],[],options）;
3.4powell奇异函数的相关matlab程序（遗传算法）
3.4.1woodfunction函数的编译程序
functionf=problem2（x）
f=（x
（1）+10*x
（2））^2+5*（x（3）-x（4））^2+（x
（2）-2*x（3））^4+10*（x
（1）-x（4））^4;
End
3.4.2遗传算法的实现程序
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem2,4,[],[],[],[],[],[],[],options）;
3.5schaffer’s函数的相关matlab程序（遗传算法）
3.5.1schaffer’s函数的编译程序
functionf=problem3（x）
f=0.5-（sin（sqrt（x
（1）^2+x
（2）^2））*sin（sqrt（x
（1）^2+x
（2）^2））-0.5）/（1+0.001*（x
（1）^2+x
（2）^2））^2;
end
3.5.2遗传算法的实现程序
clc;
clear;
options=gaoptimset（'PlotFcns',@gaplotbestf,'Generations',60）;
[x,fval,exitflag,output]=ga（@problem3,2,[],[],[],[],[-100;-100],[100;100],[],options）;
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