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基于内点法的最优潮流计算

点法是一种能在可liMSfl寻优的方法，即从初始点岀发，沿着中心胳径方向在可行域部直接走向最优解的方法。

其中路径跟踪法是目前最具有发展潜力的一类点算法，该方法鲁棒性强，对初值的选择不敏感，在目前电力系貌优化间题中得到了广泛的应用。

本文采用路径眼踪法进行最优求解，首先介绍了路径跟踪法的基本模型，并冃结合具It算例，用编写的Matlab程序进行仿真分析，StilT该方法在最优潮流it算中的优越性能。

关最优潮流、自法、路径跟踪法、仿真

0、引言1

1、路径跟踪法的基本数学模型2

2、路径跟踪法的最优潮流求解思路4

3、具体算例员程序实观流程7

3.1、算例描述7

3.2、程序具体实现流程9

4、运行结果及分析13

4.1运行结果13

4.2结果ftflf18

5、结论19

6、编程中遇到的间题20

参考文献21

附录21

0、引言

电力系统最优潮流，简称OPF（OptimalPowerFlow）oOPF间题是一个夏杂的非线性规则间题，要求满足待定的电力系筑运行和安全约東条件下，通il调整系貌中可利用腔制手段实现预定目标最优的系貌隐定运行状态。

针湘不同的应用，OPF模塑课以选择不同的控制变量、状态变量集合，不同的目标函数，以员不同的约東条件，其数学模里可描述为确定一组最优控制变量u,以使目标函数取板小值,并冃满足如下等式和不等式。

（minuf（xtu）

vS.t.\（x,u）=0

I9（uu）生0（0-1）

其中为优化的目标函数,可以表示系筑运行成本最小、或者系统运行网损最小°S・t・l（x,ii）=°为等贰约東，表示满足系统息定运行的助率平ftlo为不等式约東，表示电源有功岀力的上下界约束、节点电压上下线约東、线路传输助率上下线约東等等。

电力系貌最优潮流算法大致可以分为两类：

经典算法和智能算法。

其中经典算法主要是指以简化怫度法、牛顿法、自法和解耦法为代表的基干线性规则和非线性规解耦原则的算法，是研究最多的最优潮流算法，这类算法的特点是以一阶或二阶悌度作为寻找最优解的主要信息。

智能算法主要是指遗传算法和模jfl退火发等，这类算法的特点是不以梯度作为寻优信息，属于非导数的优化方法。

因此经典算法的优直是能按目标函数的导数信息确定捜索方向，廿算速度快,算法比敦成熟，结果可信度高。

缺点是对目标函数及约東条件有一定的限制,可能出现局部极小时难以收敛。

而智能算法的优贞是it算与导数无关，灵活性高,I®机性強，缺点是算法不隐定，结果不可信，并目腔制参数需凭经騎给岀。

通il对这些常见算法的简单比较，点法具有其优越的11能，特别是胳径眼踪法，其算法收敛迅速，鲁棒11强，对初值的选择不敏感，其迭代次数与系貌规模或腔制变量的数目关系不大，因此本文呆用该方法ati®优廿算。

1、路径跟踪法的基本数学模型

点法最初的基本思路是希望通il寻优迭代11程始终在可ItMSIt,因此，初始点应在可ItM,并在可行域的ill界设置’障碍’使迭代点接近边界时其目标函数迅速増大，从而保込迭代点均在可行域的点。

但是对于大规模实际间题而言,寻找初始点往往十分困难。

为此许多学者长期以来致力于点算法初始’点’条件的改进。

以下介给的路径跟踪法只要求在寻优il程巾松弛变量和拉格朋日乘子满足简单的大于0或者小于0的条件,即可代替原来必硕在可行域求解的要求，使得it算il程大为简化。

一般可以将最优潮流模型简化为血下的非线性优化模里。

Obj.mmuf^u）（1_1）

S.t.S・t・l（©u）=0（1_2）

（1-3）

其巾minuf（x9u）为优化的目|帀函数,

为等式约東,

为不等式约束，路径跟踪直法的基本思路是：

首先将式（1-3）的不等约東变成等式约東：

（1-4）

ffQc,v）\A=g

（1-5）

其中松弛变量u=[W1/...,ur]\应满足

u>0,l>0

这样原间题就转化为间题A：

Obj.mmuf（xfu）

h（x）=0

S.t.g（x）+u=g

g（x）-l=g然后，把目标函数改造成障碍函数，该函数在可行域应接近干原函数f（x）,而在遊界时变得很大。

一次可得带优itroB：

Obj.min./（x）-"£log（/J-"£log（“”）

>1>1

h（x）=0

S.t.g（x）+u=g

g（Qj=&

其中扰动因子或者障碍因子u>0。

当I或u接近辿界时，以上函数将趣于无穷大，因此满足以上障碍目标函数的极小解不可能在边界上找到。

这样就通il目标函数的变化把含不等贰限制的优化间题A变成只含等式限制优化的间题B了,因此可以直接用拉恪即日乘子法来求解。

优化间题B的EI8010目标函数为：

L=f（x）-yTh{x）-zr[g（x）-l-g]-wT[g（x）+u-g]-w^log（/r）-w^log（wr）

一>->>-i

式中：

y,z和叩均为应格朗日乘子。

因此最后简化的求解间题就是求®±ii表这式的极小解。

2、路径跟踪袪的最优潮罚求解思路

路径跟踪法的最优潮流求解il程就是湘应恪朋日目标函数求极小值间题：

L=/（X）-yTh（x）一zT[gM-l-g\-wrlgM+u-g]-适log（/J一适log（“J

—>1>1

aL-axaL_ayaL_azaLaraL_a/aL_aw一一一一一一一一一一=厶厶&厶W厶4

武中：

y,z和w均为拉怡即日乘子。

该同題极小值存在的必要条件是卫搐01日函数对所有变量及乘子的偏导数为0。

U：

=h（x）=0

=vi/（x）-Vi/?

（x）y-V^（x）（z+w）=O

=g（x）_/_§=0

=e（x）+u-2=0

通过上述表达武可以解岀:

定义：

Gap=Tz-urw,称为互补间晾o可借:

如果x是优化间題A的最优解,当u同定时,x（u）是优化问趣B的解，那么当GapoO,iiMo时，产生的序JiJ{x（u）}收敛至x'。

iO用：

P*学。

式中ae（0,l）f$为中心参数，一般取0.1,在大多数

场合可获得较好的收敛效果。

通过偏导数为0的表达式可以可得点法的修正方程为:

求解方程可得到第k次迭代的修正量,

干是最优解的一个新的近Itt解为:

u'z

0■

・&〕

-U'U；

-V：

g（x）

△/

L-

Avr

-ur：

▽：

g（x）

乂

Vv/z（x）

厶

Vrv/?

（x）

_Ay_

—L“

（2-4）

兀（“D

=严+6心

严十1）

=+aQ

=w°4-afAu

=ytk）+a^y

（A*!

）

=z,ki+adAz.

=vv，x，+©・Aw

（2-5）

式中，你和①为步长:

0.9995min{min（—,A/<0;—<0）,1}

A/△“

af=0.9995min{min（,Azf<0;—,Ah;>0）,1}（2-6）Az.Aw.

其潮流廿算的流程图如下图1所示，其中初始化部分

⑴、设置松弛变量I和U,保证[I,u]T>0

⑵、设置也怡即日乘子w、y、z,满足[w<0,z>0,Y!

=0]T

（3）、设置优ItIn）S的那值。

（4）、取中心参S<76（0,1）,给定廿算ffiK,选代次数初fiK=0o

图1.点asjsit算运棺图

3、具体算例及程序实现浦程

这部分主要有算例描iiHfi程序的实现流程两部分，其中算例描述主要是对系貌参UUK优化间题进行说明。

而程序的实现流程主要描述的是最优潮流廿算中所涉及的矩阵方程的描述。

3/1、算例描述

该算例为王甥凡编写的《现代电力系统分林》中的3-1的例题，是以系统燃料最省为最优潮流的目标函数。

选择该题目作为算例分林的原因是，该题目有比较详细的解题思路以员列写岀了比较详细的迭代结果，方便对编写程序的运行结果进行比对。

求如下图所示简化系貌的系貌燃料最省的最优潮流it算：

1.6+j0.8

除了由上图所提（ft的系统母线负荷功率UftL线路参数和变压器之路参数数据、变压器便比数据之外，以下噸序给出了线路传输助率边界（表3-1）,发电机有功无助出力上下界和燃料耗费曲线参数（表3-2）0若不作特姝说明，所有数据都是以标幺值形式给岀，功率基准值为10OMVA,母线电压上下界分别为门和0.9o

表3-1线路传輸助率ill界

支路号

首未端骨线号

线路传输功率ill界

1-2

1-3

0.65

2-3

2-4

3-5

表3-2发电机数据

发电

机序

号

出力上界

出力下界

燃料耗费曲线参数

有劝

无功

有劝

无助

二次系数

一次系数

常数

-3

50.4395

200.4355

1200.64

-2.1

200.55

500.745

1857.20

3.2、程序具体实现过程

针对上述系筑,首先我们先列写岀该算侧的数学模塑和有关廿算公式。

在该

算例中，共有5个节点，相应的状态量为：

丘=电mq匕a%q匕aKi

系统中有2台发电机，没有其他无功源，因此腔制变量为：

狂"%Q“）

应该指出，此处发电机和无功源的编号与及i矣单编号无关，是独立编号的。

这是因为系筑中一个节点可能接有多台发电机的缘故。

因此系统中总变量共有14个：

*｛心aPsQgqXaKq匕qK氏W

最优潮流的数学模型为：

目标函数:

min.（冬几人2+终耳+弘）+（a22PG2A2+al2PG2+am）

约東条件：

毎个节点有两个淋流方程，共有10个等式约東条件，対非发电机而言：

△£=一仏一匕£岭（Gycosq+B.sinq）=0

（i=1.2,3）

△Q=-QDl+X工岭（G“sinq-坊cosq）=0

y-i

对发电机节虑:

△E=工仏一匕一Xf岭（qcosq+Bt,sinq）=0

keiy-1

5（i=4,5）

△Q=》Qa_Q.+匕工岭（qsinq厂坨cosq）=0

kei;-!

式中：

kei表示第k台发电机接在节点it。

不等式约東共有14个条件,分别是:

（心1，2）

（山1,2）

（心1,・・・,5）

（对所有5条支路）

根抵以上模塑可以形戒修正方程。

该方程包括形成等式左边的系数拒阵和等式右边的常数以阿部分。

1、形成系数矩阵

1）、等式约束的雅克比葩阵

「dh

Vv/?

（x）=

等式右端包播3f子葩阵:

%沁P\

沁Q、

亦

沁Q、

沁P,oA&

砥忑丄w

其中：

代I

〔0d

dAPs

沁Q「

「沁R

6辺

dh_

◎

•••

◎

d\P}

cQ（;：

dQG2

•••

0Q』

aeJ）

2x10

沁p、

叫0

其中:

dSP八

1（/ej）

0（宀）

—=0

型I

式中：

i为发电机的序号；j为节点号；（S表示第i台发电机是在节点jJt

的。

6△片

沁P\

•••

6△片

沁P\

6、P\

•••

■

6△/

•

••

6△乙

■

明

•••

6△出

［劳

•••

10x10

（潮流廿算巾的雅克比葩阵）

2）、不等式约束的雅克比葩阵

oP（;

処；

呱

空

*（兀）=

武中：

匕、3、*和幻依次表示电源有功出力的上下界约束，无功电淵岀

力的上下界约東，节点电压呱值的上下界约東和线路潮流约東。

=I…

=°y

繭.

2x2,

2X29

亦2

zz1

2x2,

他

2x29

=0IOk2,

宛2

-=0心2

2x5,

叫，計

-0姒-（）

冲臥2X5

2x5

式中:

第2•/If/列元素为1,

3）、对角矩阵

...0

其他元素均为0。

…说

现44

…州

■

••

叽

■

...理

阻

…现44

匸'z=diagG//r...,z14/Zl4）

U^lW=diagg/叫,•…耳4/wj

4k海森（BJBK

H1=一▽了⑴+^h（x）y+刃g⑴（z+W）一yg⑴［DZ—fTW叱g（x）

逹是最复杂的部分,共包含四顶。

有上述推导已经可以得到其中的第呱顶为:

yg（x）0Z-fTW]£g（x）

其余三顶是：

目标函数的海森伯葩阵▽丁（Q、等武约東海森伯葩阵与也格即日乘子y的乘枳V：

/2（x）y和不等式约東海森阳矩阵与也格即日乘子z+w的乘枳▽:

g（x）（z+w）。

2、形成常数顶

Ly,L：

L‘,味©沟可根据定义貞接求得。

厶可以表示为：

4=VJ（x）-V^（x）y-V^（x）（z+iv）4-V^（x）[r\^+ZLI）+t/-,（^-WLJ]

当知道目标函数梯度矢量

Map<^ce5r一a\

之后，再根据以上等式和不等式约束的雅克比葩阵公式就可以求得：

。

4、运行结果及分桥

4.1运行结果

以下对该算例的寻优il程用数字加以说明，设4、5节自发电UI沟能有算法调节其岀力。

在初始化过程中各变量初值根据实际问题自行设置的，我们给出所用变量的处置#07：

节点电压丫十=00=1,2,3,4）;平炳节自Y=1.05,0=0;发电机出力有功取其21界值;松弛因子/=lur=l,当收敛条件£=10"时,需要迭代进行23次（例題所给出的迭代次数为17次）。

表4・1迭代过椁中各节点电压脂量的变化悄况

迭代次数

△V,

-0.342655

-0.167831

-0.26638

-0.229198

-0.26803566

0.533424

0.8116598

0.121828

0.7537347

-0.02621233

2.9475874

1.7281676

3.325311

1.4377643

3.001650322

0.9044296

-0.227402

2.314238

-0.410468

2.406142062

0.0317565

0.2589346

-0.18991

0.2779252

-0.23101102

-0.301923

-0.117806

-0.31384

-0.085802

-0.29148216

-0.396482

-0.116134

-0.52191

-0.068149

-0.51779841

0.50336

-0.045965

1.092422

-0.134319

1.128697751

0.2101792

-0.05228

0.570784

-0.095105

0.605124969

-0.150019

-0.039233

-0.13409

-0.021024

-0.11435018

-0.141952

-0.039185

-0.135

-0.02272

-0.1228649

0.3587259

0.0029517

0.638045

-0.050525

0.663350104

0.0328824

-0.007168

0.0966

-0.013986

0.101132708

0.0452686

-0.007506

0.127766

-0.014789

0.142054592

-0.037015

-0.005358

-0.01655

1.24E-05

-0.00740759

-0.030654

-0.005288

-0.01235

-0.001191

-0.00566326

-0.012631

-0.003095

-0.00473

-0.004306

-0.00333363

0.0016418

-0.00223

0.002955

-0.004447

-0.00095998

0.0017166

-0.002398

0.001914

-0.004628

-0.00253085

0.0005951

-0.000847

0.000732

-0.000783

-0.0008939

0.000136

-0.000195

0.000187

0.0001657

-0.0002038

4.42E-08

-7.14E-08

&44E-06

1.71E-05

-6.67E-08

-9.43E-09

7.65E-09

1.38E-07

2.40E-08

1.58E-08

表4-2迭代过程中各节点相角增量的变化情况

选代次数

△a

10.166113

10.671005

9.959333

10.765508

9.987441809

0.2317866

-0.056322

0.443469

-0.159786

0.487075194

0.3617911

-0.808557

0.725769

-0.806886

0.251629571

0.1506635

0.1694727

0.083258

0.2051569

-0.01587529

-28.46696

-28.48845

-28.5226

-28.58592

-28.3776798

32.479474

35.220757

29.1472

35.154861

29.06743415

-0.470667

-0.412112

-0.30025

-0.363094

-0.18119718

-0.467826

-0.345623

-0.3624

-0.07659

-0.6869756

-0.086311

0.0376297

-0.27117

0.0365628

-0.42343914

6054.9484

-6300.974

6058.914

3059.0885

-121.104325

-0.158896

0.0202972

-0.13752

0.0226728

-0.13021014

-131.1933

-133.1411

-129.232

-131.1213

-131.21147

0.409651

0.4154433

0.463427

0.4182827

0.489259247

0.0008763

-0.001778

-0.11121

0.0019211

-0.10130429

0.0291783

0.03296

-0.04828

6.43E-02

-0.03148972

0.1716757

0.1009002

0.006839

-0.062816

0.022575108

-0.214753

-0.185676

-0.18778

-0.118917

-0.17647442

-6.68934

-6.67987

-6.6504

-6.62907

-6.6387642

-0.06977

-0.045184

-0.00065

-0.011004

-0.08874676

-0.00417

-0.006299

-0.00209

-0.00978

-0.0002933

0.973E-06

0.966E-06

0.97E-06

0.9718E-06

0.9797E-06

-1.42E-08

-1.43E-08

-1.41E-08

1.01E-09

1.1E-08

1.01E-09

表4-3迭代过样中有功源有功、无功谏无功增量的变化情况

迭代次数

有助源有功岀力増量

无功源无劝岀力增量

△匕

6.3621244

0.9378756

0.486592

2.0426169

1.1461572

0.7519606

3.407153

-3.181495

0.2643491

-0.817387

-11.7288

-1.321261

-0.263123

-0.113899

-15.2923

8.537302

0.9906992

0.2427705

3.702688

-1.677168

1.0718102

0.3074704

3.156515

0.5391201

0.5593984

0.7245499

4.392399

-0.961407

-0.217688

0.3751495

-6.52471

4.5299664

0.3661814

0.078903

-3.01366

3.0701114

0.6301053

0.0189525

1.619294

0.7513961

0.1407198

0.4162916

1.47339

0.4541527

0.2992523

-0.178165

-3.81381

3.4308557

-0.261633

0.3695489

-0.45866

0.6443822

0.3030544

-0.11

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