12、若复数
(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=________.
13、已知-1<2x-1<1,则
-1的取值范围为________.
14、(坐标系与参数方程选做题)极坐标系内的曲线
的中心
与点
的距离为__________。
15、(几何证明选讲选做题)如图,
是半圆
的直径,点
在半圆上,
于点
,
且
,设
,则
=.
3、计算、解答、证明题:
(15、16小题各12分,17、18、19、20小题各14分,本题共80分)
16、(本题满分12分)已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)由y=sinx的图象经过怎样变换得到y=f(x)的图象,试写出变换过程;
(3)当x∈[0,
]时,求函数f(x)的最大值及最小值.
17、(本题满分12分).某高级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在高三年级抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年级中女生不比男生多的概率.
18、(本题满分14分)如右图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点,△AEC面积的最小值是3.
(1)求证:
AC⊥DE;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积
19、(本题满分14分)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn},a1=b1=1,a3+a5+a7=9,a7是b3和b7的等比中项.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)若cn=2an·b
,求数列{cn}的前n项和Tn.
20、(本题满分14分)已知函数f(x)=x3-
ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-mx在区间[-2,2]上为减函数,求实数m的取值范围.
21、(本题满分14分)如右图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°.曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若△OEF的面积不小于2
,求直线l斜率的取值范围.
2013~2014学年度新发中英文学校第一学期第一次月考
高三年级数学答题卷
座号班级姓名成绩
一、选择题:
(每小题5分,共10小题,本题共50分,每题只有一个正确选项,请把正确选项的字母填在下面的表格中,不选、错选、多选均不得分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
二、填空题:
(每小题5分,共4小题,本题共20分)
11、;12、;
13、;14、;15、。
三、计算、解答、证明题:
(16、17小题各12分,18、19、20、21小题各14分,本题共80分)
16、
17、
18、
19、
20、
21、
(2)若函数g(x)=f(x)-mx在区间[-2,2]上为减函数,求实数m的取值范围.
解:
(1)解法一:
以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,
则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(
,1),
依题意,得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|
=
-
=2
<|AB|=4,
∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,
则c=2,2a=2
,∴a2=2,b2=c2-a2=2.
∴曲线C的方程为
-
=1.
解法二:
同解法一建立平面直角坐标系,
则依题意可得
||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4,
∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.
设双曲线的方程为
-
=1(a>0,b>0),