实际问题与二元一次方程组经典例题针对各类型题型.docx
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实际问题与二元一次方程组经典例题针对各类型题型
实际问题与二元一次方程组经典例题目标认知学习目标：
1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3．体会列方程组比列一元一次方程容易
4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力
5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；
重点：
1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
难点：
正确找出问题中的两个等量关系
知识要点梳理知识点一：
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.
知识点二：
列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：
（1）追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ；；
（2）相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程。
（3）航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③船的顺水速度－船的逆水速度＝2×水速。
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：
工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
（1）利润＝售价－成本（进价）；
（2）；（3）利润＝成本（进价）×利润率；
（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；
注意：
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4．储蓄问题：
（1）基本概念
①本金：
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：
本金与利息的和叫做本息和。
④期数：
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：
利息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息×（1－利息税率）⑤年利率＝月利率×12⑥。
注意：
免税利息=利息
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
原量×（1＋增长率）＝增长后的量；
原量×（1－减少率）＝减少后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：
较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数字10+个位数字
9．浓度问题：
溶液质量×浓度=溶质质量.
10．几何问题：
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11．年龄问题：
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
12．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：
（1）审：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；
（2）设：
根据题意设元
（3）找：
找出能够表示题意两个相等关系；
（4）列：
根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（5）解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
（6）检：
检查所求的解是否符合实际问题;
（7）答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
解答步骤简记为：
问题方程组解答
（4）列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
经典例题透析类型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：
画直线型示意图理解题意：
（1）这里有两个未知数：
①汽车的行程；②拖拉机的行程.
（2）有两个等量关系：
①相向而行：
汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
②同向而行：
汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
解：
设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组
解这个方程组，得:
.
答：
汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【分析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
，
整理得
，
解得
，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
点评：
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．举一反三：
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
解：
设甲、乙两人每小时分别行走千米、千米。
根据题意可得：
解得：
答：
甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米。
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
分析：
船顺流速度＝静水中的速度＋水速
船逆流速度＝静水中的速度－水速
解：
设船在静水中的速度为x千米/时，水速为y千米/时，
则，解得：
答：
船在静水中的速度为17千米/时，水速3千米/时。
跟踪训练
1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？
甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？
类型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？
分析：
由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得
解得：
答：
甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件
2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的
；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？
要求的期限是几天？
分析：
设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，
依题意，得
，
解得
点评：
工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
解：
设甲、乙两公司每周完成总工程的和，由题意得：
，解得：
所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。
设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元，万元，根据题意得：
，解得：
故甲公司单独完成需工钱：
（万元）；乙公司单独完成需工钱：
（万元）。
答：
甲公司单独完成需6万元，乙公司单独完成需4万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独完成.
跟踪训练
1、〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。
”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
类型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
1一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
分析：
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.
解方程组
，
解得
，
因此，此商品定价为200元．
总结：
利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有两种方法，一是：
利润=售价-进价；二是：
利润=进价×利润率．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润＝进价×利润率
解：
甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：
，解得：
答：
两件商品的进价分别为600元和400元。
举一反三：
【变式1】（2011XXXX）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解：
设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了亩，则：
，解得
答：
李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩．
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：
获利=售价—进价）
求该商场购进A、B两种商品各多少件；
解：
设购进A种商品件，B种商品件，根据题意得：
化简得：
解得：
答：
该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。
跟踪训练
1、打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，买50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少钱？
2、 有甲、乙两种债券，年利率分别是10％与12％，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？
类型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
思路点拨：
设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：
解：
设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：
，解得：
答：
存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.
举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应缴利息所得税=利息金额×20%）
思路点拨：
扣税的情况：
本金×年利率×（1-20%）×年数=利息（其中，利息所得税=利息
金额×20%）.不扣税时：
利息=本金×年利率×年数.
解：
设第一种储蓄的年利率为x，第二种储蓄的年利率为y，根据题意得:
，解得:
答：
第一种储蓄的年利率为2.25%，第二种储蓄的年利率为0.99%.
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
解：
设第一种存款数为X元，则第二种存款数为y元，根据题意得：
，解得：
答：
第一种存款数为1500元，第二种存款数为2500元。
类型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍（注意：
别把2倍的关系写反了）.
解：
设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：
答：
用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
2某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
分析：
要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：
每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得
，解之，得
．
故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．
总结：
解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
“二合一”问题：
如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:
b，要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a:
b.举一反三：
【变式1】现有190X铁皮做盒子，每X铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少X铁皮制盒身，多少X铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
思路点拨：
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮X数，两个相等关系是：
①制盒身铁皮X数+制盒底铁皮X数=190；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.
解：
设xX铁皮制盒身，yX铁皮制盒底，由题意得：
答：
用110X制盒身，80X制盒底，正好制成一批完整的盒子.
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
解：
由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有x人，生产螺母的有y人，
则：
，解得：
答：
生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。
【变式3】一X方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少X方桌？
解：
设用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得：
，解得：
∴可做50×3＝150X方桌。
答：
用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150X方桌。
类型六：
列二元一次方程组解决——数字问题
8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
思路点拨：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
问题1：
在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：
100x＋y
问题2：
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：
100y＋x
解：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y。
依题意可得：
，解得：
答：
这两个两位数分别为45，23.
举一反三：
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
解：
设十位数为x，个位数为y，则：
，解得：
答：
这两位数为56
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
解：
设个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：
，解得：
答：
这个两位数为72.
【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
解：
设原三位数的百位数字为x，个位数字为y，由题意得：
，
答：
所求三位数是504。
跟踪训练
1、 一个两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
2、 甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？
类型七：
列二元一次方程组解决——增长率问题
6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值（万元）
总支出（万元）
利润（万元）
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
解：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：
，解之得：
答：
去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元
总结升华：
当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。
举一反三：
【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
解：
设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，由题意得：
，解得：
答：
今年的总产值为2000万元，总支出为1800万元
思考：
本问题还有没有其它的设法？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨：
由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
（1）城镇人口+农村人口=42万；
（2）城镇人口×（1+0.8%）+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）
解：
设现在城镇人口为x万，农村人口为y万，由题意得：
解得
答：
现在城镇人口14万人，农村人口为28万人
类型八：
列二元一次方程组解决
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