解三角形问题及其简单应用易错笔记.docx

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解三角形问题及其简单应用易错笔记

第十七讲解三角形问题及其简单应用

1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究

1.1为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形

1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解

1.3由产生的漏解现象

2.解三角形出现增解的应对策略

2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定

2.2根据两角正弦值大小剔除增解

2.3根据三角函数值的范围剔除增解

3．几何法判断三角形解的个数

3.1画图观察直观判断三角形解的个数

3.2根据三角形解的个数求字母参数范围

4.三角形形状的判定

4.1利用余弦定理判断锐角、直角、钝角

4.2化边为角判定三角形形状

4.3化角为边判断判定三角形形状

5.三角形中的取值范围与最值问题

5.1三角形形状隐含角的范围

5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用

5.3利用余弦定理、基本不等式求最值

5.4化归为三角函数的最值与值域问题

6.三角形中几种常见的变换方法

6.1两角和与第三角的三角函数关系

6.2不能遗忘的“切化弦”

7.常见的解三角形实例

7.1距离的测量问题

7.2高度的测量问题

7.3角度的测量问题

7.4是否进入某区域问题

7.5与最值有关的实际应用问题

1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究

1.1为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形

【典例】在，角所对的边分别为，且.

（1）若，则_______；

（2）若，则_______．

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，则=.

【变式2】已知在中，角所对的边分别为，，试判断符合条件的有多少个？

1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解

【典例1】在中，，求的面积.

【变式1】若的面积为，且，则等于．

【变式2】中，角所对的边分别为，且，的面积为，求与的值.

【变式3】已知，是的内角，且，求的大小.

【变式4】在中，角所对的边分别为，

（1）求角；

（2）若，的面积为，求.

【典例2】在中，角所对的边分别为，如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点？

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

【变式3】在中，内角所对的边分别为.已知，．求角的大小．

1.3由产生的漏解现象

【典例】在中，角所对的边分别是，已知.若，求△ABC的面积.

【变式1】若是三角形的内角，则可能为0，但

在△ABC中，已知角.若，求角的大小.

【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立

在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

2.解三角形出现增解的应对策略

2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定

【典例】在中，角所对的边分别为，若，,,则角的大小为.

【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角

在中，角所对的边分别为，已知，则边长等于（　　）

　A.B.C.D.

【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，，，则．

【变式3】已知在中，，则的面积为___________.

【变式4】在中，角所对的边分别为，若，则角______.

【变式5】在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，，则角.

【变式6】在中，已知.求的值.

2.2根据两角正弦值大小剔除增解

【典例】在中，，，则的值为___________.

【变式1】在中，求证：

.

【变式2】在中，若，，则的值为．

【变式3】在中，，，则的值为___________.

2.3根据三角函数值的范围剔除增解

【典例】在中，角所对的边分别为，，，，则满足此条件的三角形有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式1】钝角的面积是，，，则（）

A．5　　B.　　C．2　　　D．1

【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论

已知在中，角所对的边分别为，为锐角，且，，则的值为．

【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解

在中，已知，则角.

3．几何法判断三角形解的个数

3.1画图观察直观判断三角形解的个数

【典例】已知在中，角所对的边分别为，，试判断符合条件的有多少个？

【变式1】已知在中，角所对的边分别为，不解三角形，则下列判断正确的

（1）有两个解；

（2）有一个解；

（3）有一解；

（4）无解.

【变式2】已知在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形：

①＝30°，＝14，＝7；②＝60°，＝10，＝9．那么，下面判断正确的是（）

A．①只有一解，②也只有一解．B．①有两解，②也有两解．

C．①有两解，②只有一解．D．①只有一解，②有两解．

【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则此三角形有（　　）

A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定

【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，则满足此条件的三角形的个数是几个？

3.2根据三角形解的个数确定字母参数的范围

【典例】如果满足，的三角形ABC恰好有一个解，那么实数的取值范围是

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，此三角形有解，则角的取值范围是.

【变式2】若满足条件，，的有两个，则边长的取值范围是.

【变式3】在中，角所对的边分别是，已知，且此三角形只有一个解，则边长的取值范围是.

4.三角形形状的判定

4.1利用余弦定理判断锐角、直角、钝角

【典例】在中，角所对的边分别为，用余弦定理证明：

当角C为钝角时，；当角C为锐角时，.

【变式1】在中，若，则的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

【变式2】在中，若，则的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

【变式3】在中，角所对的边分别为，若三边满足，则的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

4.2化边为角判定三角形形状

【典例】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式2】在中，已知，判定的形状.

【变式3】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.

【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.

4.3化角为边判断判定三角形形状

【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，，判断的形状.

【变式1】在中，若，则的形状一定是（　　）

　A.等腰直角三角形　　B.直角三角形C.等腰三角形　　　D.等边三角形

【变式2】在中，角所对的边分别为，若，，试判断的形状．

【典例2】在△ABC中，若，试判定△ABC的形状.

【变式1】在△ABC中，若，则△ABC的形状.

【变式2】在△ABC中，若，则△ABC的形状如何？

5.三角形中的取值范围与最值问题

5.1三角形形状隐含角的范围

【典例】设锐角三角形的内角的对边分别为，且，求的取值范围．

【变式1】在锐角中，，，则的取值范围是.

【变式2】锐角的内角的对边分别为，设，则的取值范围是.

【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是.

【变式4】在锐角中，则的值等于，的取值范围为.

【变式5】锐角△ABC满足不等式同时成立

锐角中，若，则的取值范围是.

5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用

【典例】在锐角中，角所对的边分别为，边长，则边长的取值范围是.

【评注】为锐角三角形同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若是钝角，则且.

【变式1】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是.

【变式2】在钝角中，三边长分别为4,5，，则实数的取值范围为_______________.

5.3利用余弦定理、基本不等式求最值

【典例1】若的内角A、B、C满足，则的最小值是.

【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。

同时要注意取等的条件，即取最值的条件。

【变式1】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【变式2】利用，求角的取值范围

在△ABC中，角所对边长分别为，,则角的取值范围是.

【变式3】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等差，则角C的取值范围是.

【变式4】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等比，则角C的取值范围是.

【变式5】利用，求边长的最小值

在△中，角所对边长分别为，，若△的面积为，则边的最小值为．

【变式6】利用，，求周长的最小值

已知分别是的三个内角的对边，.

（）求角的大小；（II）若的面积，求周长的最小值．

【典例2】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为_________．

【评注】最值问题经常利用的不等式：

，，.

【变式1】利用余弦定理结合求周长的最大值

已知分别为三个内角的对边，，，则周长的最大值为_______．

【变式2】利用，结合余弦定理求面积的最大值

在锐角中，角的对边分别为,已知,，且.

（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

【变式3】已知内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆）,且.

（1）求角的大小;

（2）求面积的最大值.

【变式4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.

【变式5】已知分别是的三个内角的对边，且

（I）求角B的大小；（II）若，求b的取值范围．

5.4化归为三角函数的最值与值域问题

【典例】在中，，则的最大值为________.

【评注】在中，根据（为外接圆半径），可将边长转化为三角形内角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.

【变式1】在ABC中，.

（1）求的大小；

（2）求的最大值.

【变式2】设的内角所对的边分别为，且

（1）求角B的大小；

（2）若，求的周长的取值范围。

【变式3】如图，在等腰直角中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若点在线段上，且，问：

当取何值时，的面积最小？

并求出面积的最小值．

6.三角形中几种常见的变换方法

6.1两角和与第三角的三角函数关系

【典例】在中，角所对应的边分别为.已知，，求角C.

【评注】在中，，所以有；；.

【变式1】在中，角所对应的边分别为.若,,，则（）

（A）4（B）（C）3（D）

【变式2】在中，角所对应的边分别为.已知，则的值为.

【变式3】在中，角所对应的边分别为.若，则之间的关系可用等式表示为．

【变式4】在中，角所对应的边分别为.已知，，求B.

【变式5】已知是三角形三内角，向量，且，若，求的值.

【变式6】在中，已知．

（1）求证：

；

（2）若求A的值．

【变式7】已知的内角，面积满足所对的边，求证：

。

【变式8】在锐角三角