第十二章 三角形内心的性质及应用.docx

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【基础知识】

第十二章三角形内心的性质及应用

三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列有趣的性质：

性质1：

三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．

性质2：

设I为△ABC内一点．I为其内心的充要条件是：

I到△ABC三边的距离相等．

性质3：

设I为△ABC内一点，AI所在直线交△ABC的外接圆于D．I为△ABC内心的充要条件是：

ID=DB=DC．

证明如图12­1，必要性：

连BI，由ÐDIB=1ÐA+1ÐB=ÐCBD+ÐIBC=ÐDBI，知ID=BD

2 2

=DC．

I

A

B C

D

充分性：

由DB=DC，即知AD平分ÐBAC．由DI=DB，有ÐDIB=ÐDBI，即

ÐDBC+ÐCBI=ÐIAB+ÐABI

故I为△ABC的内心．

，而ÐIAB=ÐIAC=ÐDBC，从而ÐCBI=ÐIBA，即BI平分ÐABC，

性质4设I为△ABC内一点，I为△ABC的内心的充要条件是：

ÐBIC=90°+1ÐA，

2

ÐAIC=90°+1ÐB，ÐAIB=90°+1ÐC

2 2

证明必要性显然．反正充分性：

作△ABC的外接圆，与射线AI交于点D，连DB，DC，如图12­1

由ÐAIB=90°+1ÐACB，知ÐDIB=90°-1ÐACB．

2

又ÐIDB=ÐADB=ÐACB，在△DIB

2

中，求得ÐDBI=90°=-1ÐACB，则ÐDIB

2



=ÐDBI



，故DB



=DI ．

同样地，DC=DI，即DI=DB=DC，由性质3即证得结论成立．

性质5设I为△ABC内一点，I为△ABC的内心的充要条件是：

△IBC，△ICA，△IAB的外心均在

△ABC的外接圆上．

证明必要性：

如图12-2，设△ABC的内心，AI，BI，CI的延长线分别交△ABC的外接圆于A1，

B1，C1，于是由性质3，知A1B=A1I=A1C，因此，A1是△IBC的外心．

C1

C2

A

I

I'

B1B2

B C

A2A1

图12-2

同理，B1，C1分别是△ICA，△IAB的外心．故必要性获证．

充分性：

又设I¢为△ABC内另一点，△I¢BC，△I¢CA，△I¢AB的外心A2，B2，C2均在△ABC的外接圆上，由A2B=A2C，A1B=A1C，知A2与A1重合．同理B2与B1重合，C2与C1重合．

由于A1，C1分别是△IBC，△IAB的外心，知A1C1垂直平分线段BI¢，由此可知I¢与I重合，即I¢为

△ABC的内心．

注性质5中，三个三角形△I¢BC，△I¢CA，△I¢AB中有两个的外心在△ABC的外接圆上即可．性质6一条直线截三角形，把周长l与面积S分为对应的两部分：

l1与l2，S1与S2．

此直线过三角形内心的充要条件是l1=S1．

l2 S2

证明必要性：

如图12­3，设I是△ABC的内心，过I的直线交AB于P，交AC于Q．记BC=a，CA=b，

AB=c，AP=m，AQ=n，内切圆半径为r，则S△ABC

=1（a+b+c）×r=s，

2

S△APQ

=S△API

+S△AQI

=1（m+n）×r．

2

A

m

n

P

I

Q

1（a+b+c）×r

由S=2

B C

图12-3

=a+b+c=l，有l1=S1．

S1 1（m+n）×r2



m+n l1 l2 S2

充分性：

设直线PQ把△ABC的周长l与面积S分为对应的两部分成等比l1=S1，且与AB交于P，与

l2 S2

AC交Q，与ÐA的平分线交于I．

记BC=a，CA=b，AB=c，AP=m，AQ=n，I到AB，AC的距离为r，I到BC的距离为d．

1（a+b+c）×r

由l1+l2=a+b+c=2

1b×r+1c×r+1a×d

得S1+S2=2 2 2

l1 m+n

1（m+n）×r2

S1 1m×r+1n×r2 2

注意到l1+l2=S1+S2，从而有ad=ar，即d=r，故I为△ABC的内心，即直线PQ过内心．

l1 S1

性质7设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC，AC，AB边上的射影分别为D，

E，F；内切圆半径为r，令p=1（a+b+c），则

2

（1）ID=IE=IF=r，S△ABC=pr；

（2）r=

2S△ABC

a+b+c

，AE=AF=p-a，BD=BF=p-b，CE=CD=p-c；

（3）abc×r=p×AI×BI×CI．

证明仅证（3）．在△ABI中，

AI =

sin1ÐB



C

sinÐAIB=

c ．

cos1ÐC

2 2

类似地还有两式，此三式相乘，即有AI×BI×CI=tan1ÐA×tan1ÐB×tan1ÐC=

abc 2 2 2

△ABC

r r r pr3p-a×p-b×p-c=S2

=r，由此即证．

p

性质8设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，ÐA的平分线交BC于K，交△ABC的外

接圆于D，则AI=AD=

DI=b+c．

KI DI DK a

证明如图12­1，由AI=BA=AC=AB+AC=b+c及△ADC∽△CDK，有AD=AC=CD，亦有

KI BK KC BK+KC a

DC CK DK

AD=AC=AB=AB+AC=b+c，DI=CD=AC=AB=AB+AC=b+c．

DI CK BK CK+BK a DK DK CK BK CK+BK a

性质9过△ABC内心I任作一直线，分别交AB，AC于P及Q两点，

则AB×AC+AC×AB=AB+AC+BC或AB×sinÐB+AC×sinÐC=sinÐA+sinÐB+sinÐC．

AP AQ AP AQ

A

P

N

Q

B M C

图12-4

证明如图12­4，先看一般情形：

设M为BC上任意一点，直线PQ分别交AB，AM，AC，于P、N、

Q，则AM=AN+NM=S△APQ+S△MPQ=S△APM+S△AQM

AN AN S△APQ

AP×AQ×SAB×AC



△ABC

AP×S +AQ×S

=AB

△ABM AC

APAQ

△ACM

=AC×BM+AB×CM． ①

AQBC APBC

AB×AC×S△ABC

当N为△ABC的内心时，由三角形内角平分线性质及合比、等比定理，有BM= AB ，

MC= AC ，AM=AB+AC+BC．

BC AB+AC

BC AB+AC AN AB+AC

将上述三式代入①式即证得结论．

性质10设△ABC的内心为I，△ABC内一定P在BC，CA，AB上的射影分别为D，E，F，当P与I重合时，BC+CA+AB的值最小．

PD PE PF

证明设BC=a，CA=b，AB=c，PD=x，PE=y，PF=z，显然有ax+by+cz=2S△ABC是定值．

由柯西不等式，有（a+b+c）（ax+by+cz）³（a+b+c）2，故

x y z

BC CA AB a b cPD+PE+PF=x+y+z³

（a+b+c）2

2S△ABC



（定值）．

a b c

其中等号当且仅当

∶ax=

∶by=

∶cz即x=y=z时成立，此时P与I重合．

x y z

对于内切圆我们还有如下性质：

性质11三角形一内（外）角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶点关于内切圆（旁切圆）的切点弦直线与这条角平分线的交点．

证明如图12­5，在△ABC中，内切圆⊙I切边BC、CA、AB分别于点E、E、F，直线AI、BI、

CI为三条内角平分线．

A

F

H Y M

E

Z G I

N

S

B X D CT

图12-5

仅证直线CI上的点G，有CG^AGÛD、G、F三点共线．充分性．由D、G、F共线．联结FI，

ÐAIG=180°-ÐAIC=180°æ90°+1ÐBö=90°-1ÐB=ÐBFD=180°-ÐAFG（当G在△ABC外时，为

ç 2 ÷ 2

è ø

ÐAFG）．于是，A、F、G、I四点共圆，即ÐAGI=ÐAFI=90°．故CG^AG．

必要性．由CG^AG，联结FI，由IF^AB，知A、F、G、I四点共圆，又I为内心，知

ÐAIC=90°+1ÐB，则ÐAFG=180°-ÐAIG=ÐAIC=902

ÐBFD=90°-1B=ÐBFG．故D、G、F三点共线．

2

1+ Ð．B注意到，在等腰△BDF中，

°

2