第十二章 三角形内心的性质及应用.docx

1、【基础知识】第十二章 三角形内心的性质及应用三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列有趣的性质：性质 1：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点性质 2：设 I 为 ABC 内一点 I 为其内心的充要条件是： I 到 ABC 三边的距离相等性质 3：设 I 为 ABC 内一点， AI 所在直线交 ABC 的外接圆于 D I 为 ABC 内心的充要条件是：ID = DB = DC 证明 如图 121，必要性：连 BI ，由DIB = 1 A + 1 B = CBD + IBC = DBI ，知 ID = BD22=DC IABCD充分性：由 DB = DC ，即知 AD 平分BAC

2、由 DI = DB ，有DIB = DBI ，即DBC + CBI = IAB + ABI故 I 为 ABC 的内心，而IAB = IAC = DBC，从而CBI = IBA ，即 BI 平分ABC ，性质 4 设 I 为 ABC 内一点， I 为 ABC 的内心的充要条件是： BIC = 90 + 1 A ，2AIC = 90 + 1 B ， AIB = 90 + 1 C22证明 必要性显然反正充分性：作 ABC 的外接圆，与射线 AI 交于点 D ，连 DB ， DC ，如图 121由AIB = 90 + 1 ACB ，知DIB = 90 - 1 ACB 2又IDB = ADB = ACB

3、 ，在DIB2中，求得DBI = 90 = - 1 ACB ，则DIB2=DBI，故 DB=DI同样地， DC = DI ，即 DI = DB = DC ，由性质 3 即证得结论成立性质 5 设 I 为 ABC 内一点， I 为 ABC 的内心的充要条件是：IBC ， ICA ， IAB 的外心均在 ABC 的外接圆上证明 必要性：如图12 - 2 ，设 ABC 的内心， AI ， BI ， CI 的延长线分别交 ABC 的外接圆于 A1 ，B1 ， C1 ，于是由性质 3，知 A1B = A1I = A1C ，因此， A1 是IBC 的外心C 1C 2AIIB1 B2BCA2 A1图 12-

4、2同理， B1 ， C1 分别是ICA ， IAB 的外心故必要性获证充分性：又设 I 为 ABC 内另一点， I BC ， I CA ， I AB 的外心 A2 ， B2 ， C2 均在 ABC 的外接圆上，由 A2 B = A2C ， A1B = A1C ，知 A2 与 A1 重合同理 B2 与 B1 重合， C2 与C1 重合由于 A1 ， C1 分别是IBC ， IAB 的外心，知 A1C1 垂直平分线段 BI ，由此可知 I 与 I 重合，即 I 为 ABC 的内心注 性质 5 中，三个三角形I BC ， I CA ， I AB 中有两个的外心在 ABC 的外接圆上即可性质 6 一条

5、直线截三角形，把周长l 与面积 S 分为对应的两部分： l1 与l2 ， S1 与 S2 此直线过三角形内心的充要条件是 l1 = S1 l2S2证明 必要性：如图 123，设 I 是 ABC 的内心，过 I 的直线交 AB 于 P ，交 AC 于Q 记 BC = a ，CA = b ，AB = c ， AP = m ， AQ = n ，内切圆半径为r ，则 S ABC= 1 (a + b + c) r = s ，2S APQ= S API+ S AQI= 1 (m + n) r 2AmnPIQ1 (a + b + c) r由 S = 2BC图 12-3= a + b + c = l ，有 l

6、1 = S1 S11 (m + n) r 2 m + nl1l2S2充分性：设直线 PQ 把 ABC 的周长l 与面积 S 分为对应的两部分成等比 l1 = S1 ，且与 AB 交于 P ，与l2S2AC 交Q ，与A 的平分线交于 I 记 BC = a ， CA = b ， AB = c ， AP = m ， AQ = n ， I 到 AB ， AC 的距离为 r ， I 到 BC 的距离为d 1 (a + b + c) r由 l1 + l2 = a + b + c = 21 b r + 1 c r + 1 a d得 S1 + S2 = 222l1m + n1 (m + n) r 2S11

7、m r + 1 n r 22注意到 l1 + l2 = S1 + S2 ，从而有ad = ar ，即d = r ，故 I 为 ABC 的内心，即直线 PQ 过内心l1S 1性质 7 设 I 为 ABC 的内心， BC = a ， AC = b ， AB = c ， I 在 BC ， AC ， AB 边上的射影分别为 D ，E ， F ；内切圆半径为r ，令 p = 1 (a + b + c) ，则2（1） ID = IE = IF = r ， SABC = pr ；（2） r =2S ABCa + b + c， AE = AF = p - a ， BD = BF = p - b ， CE =

8、CD = p - c ；（3） abc r = p AI BI CI 证明 仅证（3）在 ABI 中，AI=sin 1 BCsin AIB =ccos 1 C22类似地还有两式，此三式相乘，即有 AI BI CI = tan 1 A tan 1 B tan 1 C =abc222 ABCrrrpr3 p - a p - b p - c = S 2= r ，由此即证p性质 8 设 I 为 ABC 的内心， BC = a ， AC = b ， AB = c ， A 的平分线交 BC 于 K ，交 ABC 的外接圆于 D ，则 AI = AD =DI = b + c KIDIDKa证明 如图 121

9、，由 AI = BA = AC = AB + AC = b + c 及 ADCCDK ，有 AD = AC = CD ，亦有KIBKKCBK + KCaDCCKDKAD = AC = AB = AB + AC = b + c ， DI = CD = AC = AB = AB + AC = b + c DICKBKCK + BKaDKDKCKBKCK + BKa性质 9 过 ABC 内心 I 任作一直线，分别交 AB ， AC 于 P 及Q 两点，则 AB AC + AC AB = AB + AC + BC 或 AB sin B + AC sin C = sin A + sin B + sin

10、C APAQAPAQAPNQBMC图 12-4证明 如图 124，先看一般情形：设 M 为 BC 上任意一点，直线 PQ 分别交 AB ，AM ，AC ，于 P 、N 、Q ，则 AM = AN + NM = S APQ + SMPQ = S APM + S AQM ANANS APQAP AQ S AB AC ABCAP S+ AQ S= AB ABMACAP AQ ACM= AC BM + AB CM AQ BCAP BCAB AC S ABC当 N 为 ABC 的内心时， 由三角形内角平分线性质及合比、等比定理， 有 BM =AB，MC =AC， AM = AB + AC + BC BC

11、AB + ACBCAB + ACANAB + AC将上述三式代入式即证得结论性质 10 设 ABC 的内心为 I ， ABC 内一定 P 在 BC ，CA ， AB 上的射影分别为 D ， E ， F ，当 P与 I 重合时， BC + CA + AB 的值最小PDPEPF证明 设 BC = a ， CA = b ， AB = c ， PD = x ， PE = y ， PF = z ，显然有 ax + by + cz = 2S ABC 是定值由柯西不等式，有( a + b + c )(ax + by + cz) (a + b + c)2 ，故xyzBCCAABabc PD + PE + PF

12、 = x + y + z (a + b + c)22S ABC（定值）abc其中等号当且仅当ax =by =cz 即 x = y = z 时成立，此时 P 与 I 重合xyz对于内切圆我们还有如下性质：性质 11 三角形一内（外）角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶点关于内切圆（旁切圆）的切点弦直线与这条角平分线的交点证明 如图 125，在 ABC 中，内切圆I 切边 BC 、CA 、 AB 分别于点 E 、 E 、 F ，直线 AI 、 BI 、CI 为三条内角平分线AFHYMEZGINSBXDC T图 12-5仅证直线CI 上的点G ，有CG AG D 、G 、 F 三

13、点共线充分性由 D 、G 、 F 共线联结 FI ，AIG = 180 - AIC = 180 90 + 1 B = 90 - 1 B = BFD = 180 - AFG （当G 在 ABC 外时，为22AFG ）于是， A 、 F 、G 、 I 四点共圆，即AGI = AFI = 90 故CG AG 必要性 由 CG AG ， 联结 FI ， 由 IF AB ， 知 A 、 F 、 G 、 I 四点共圆， 又 I 为内心， 知AIC = 90 + 1 B ， 则 A F G=1 8 0 - A I G = A I C =9 0 2BFD = 90 - 1 B = BFG 故 D 、G 、 F 三点共线21 +B注意到， 在等腰 BDF 中，2