割线法与隐函数图像.docx
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割线法与隐函数图像
专业 序号 姓名 日期
实验3割线法
【实验目的】学会分别用单点割线法和双点割线法来求解方程的根
【实验内容】
用割线法求方程在区间（1，1.5）内之间的根（）。
【方法】
双点割线法：
设a,b为迭代初值,求两点（a,f（a））与（b,f（b））的连线（割线）与x轴的交点记为c，
再把迭代初值换成b,c,重复计算.
单点割线法：
设a,b为迭代初值,求两点（a,f（a））与（b,f（b））的连线（割线）与x轴的交点记为c，
但只把一个迭代初值a换成c或把b换成c，来看结果是否不同。
【程序如下】:
functionmysecant
f=inline（'x^4+2*x^2-3-x'）;
a=1.5;b=1;
delta=1e-9;epsilon=1e-9;max1=20;
[c,err,iter,yc]=secant（f,a,b,delta,epsilon,max1）
%---------------------------------------------------------
function[c,err,iter,yc]=secant（f,a,b,delta,epsilon,max1）
%[c,err,iter,yc]=secant（f,a,b,delta,epsilon,max1）
%输入:
f连续函数
%%a,b迭代初值
%%delta,epsilon容差
%%max1最大迭代次数
%%输出:
c近似根
%%err误差
%%iter迭代次数
%%yc=f（c）
%
fork=1:
max1
ya=feval（f,a）;%ya=f（a）
yb=feval（f,b）;
c=b-f（b）*（b-a）/（f（b）-f（a））;%割线与x轴交点的横坐标
err=abs（c-b）;%相邻两次迭代的误差
relerr=err/（abs（c）+eps）;%相对误差,eps是matlab常数（机器精度）约为1e-16
%为什么分母要加上一个小常数?
yc=feval（f,c）;
if（errbreak
end
a=b;%单点割线法时，将a用c替换，b不变
b=c;
end
iter=k;
%%-------------------------------------
【运行结果如下】：
双点割线法：
c=
1.12412302970431
err=
4.523648122756185e-010
iter=
6
yc=
-7.993605777301127e-015
单点割线法（令b为定值）：
c=
1.12412302972061
err=
0.12412302972061
iter=
12
yc=
1.495257251349358e-010
单点割线法（令a为定值）
c=
1.12412302922453
err=
1.026502216561198e-009
iter=
17
yc=
-4.403701847621733e-009
【结果分析】：
1、这个实验中，双点割线法显然收敛速度明显快于单点割线法，可知双点割线法的收敛速度为，确实比单一的线性收敛快，并且迭代次数更少。
2、由结果可知，即使是同一种你算法，单点割线法的初值不同，同样会影响迭代次数，当分别以a和b为定值时，迭代次数则分别为17和12，
实验4绘制的隐函数的图像
【方法】众所周知,隐函数一般是不能用显式方式表示的,故确定隐函数的大致图像是非常重要的.
对于方程F（x,y）=0如果固定x就是一个关于y的非线性方程,我们可以通过求根的方法求出y
因此只要对x离散化x（k）,k=1,2,...,再求得y（k）,把点（（x（k）,y（k）））连起来
就能得到由方程F（x,y）=0所确定的隐函数y=f（x）的大致图像
【实验要求】
绘制由下面方程所确定的隐函数y=f（x）的图像
这里把[-5,5]用linspace命令100等分
第一次初值用y0=-4.6,以后用y（k）作为下一次求y（k+1）的迭代初值
【程序如下】:
%%隐函数作图
functionimplicit_function
globalp%定义全局变量
n=101;
x=linspace（-5,5,101）;
y=zeros（1,n）;%定义矩阵,初值是零,这是最常用的定义矩阵的方法
y0=-4.6;%第一次迭代初值
fork=1:
n
p=x（k）;
y（k）=fzero（@fun,y0）;
y0=y（k）;
end
plot（x,y）%作图
title（'隐函数'）%加个标题
%%------------------------------
functionz=fun（y）%定义函数,这是最常用的定义函数的方式
globalp
x=p;
z=y^3/（2+0.1*sin（x*y））+x^2-4*x;
【运行结果如下】：
【结果分析】：
虽然隐函数的图像无法用显式方式表示的,但我们任然可以用离散的点来大致的描述出函数的图像，这有利于我们对隐函数的性质的进一步理解。
学习和掌握好隐函数的绘制和应用，有利于我们今后的学习。
实验5fsolve命令求解
【实验目的】
，通过作图观察根的近似值，再掌握用fsolve命令来求更精确的解
【实验内容】
由于每个方程都可以表示显式函数,故可以通过作图观察根的大致位置（两个曲线的交点）
解下列方程
在|x|<1，|y|<1内求解
【程序如下】:
clf%清图像
x=-1.5:
0.01:
1.5;%离散化,步长0.01,这也是常用的方法
y1=（3-x）/2;%第一个方程求函数值,注意所有运算都是'点'运算,和常数相乘等就不用写'点'了
y2=sqrt（（5-x.^2）/2）;%第二个方程求函数值,注意这里自变量与函数是颠倒的
plot（x,y1,y2,x）%作图,注意再把自变量与函数颠倒过来
gridon
axis（[-2013]）%限制横坐标与纵坐标的范围,这里要通过不断偿试来得到合适的范围
%通过作图发现在（0,-1）附近有一个根,调用fsolve求更精确的解
clc
X0=[-2,0];%初值
X=fsolve（@myfun,X0）；fprintf（'%.2f%.2f',X）;
%------------定义函数组myfun----------------
functionF=myfun（X）
F=[sin（X
（1））/2-X
（2）;
cos
（2）/2-X
（1）];
%[注]这里F必须是列向量;
%----------------------------------------------
functionstudy_fsolve
clf%清图像
x=-1:
0.01:
1;%离散化,步长0.01,这也是常用的方法
y1=sin（x）/2;%第一个方程求函数值,注意所有运算都是'点'运算,和常数相乘等就不用写'点'了
y2=cos（x）/2;%第二个方程求函数值,注意这里自变量与函数是颠倒的
plot（x,y1,y2,x）%作图,注意再把自变量与函数颠倒过来
gridon
axis（[-11-11]）%限制横坐标与纵坐标的范围,这里要通过不断偿试来得到合适的范围
%通过作图发现在（0,-1）附近有一个根,调用fsolve求更精确的解
clc
X0=[0.5,0.2];%初值
X=fsolve（@myfun,X0）;fprintf（'x=%.2fy=%.2f',X）;
%------------定义函数组myfun----------------
functionM=myfun（X）
M=[sin（X
（1））/2-X
（2）;
cos
（2）/2-X
（1）];
%[注]这里F必须是列向量;
%----------------------------------------------
【运行结果如下】：
方程的解：
x=-0.208073418273571y=-0.103287628825787
【结果分析】：
1、在函数方程组的求解过程中，我们可以先通过函数图象来大致确定一下根的大致范围，在利用fsolve函数在进行较为精确的求解，这样不仅可以有效的加快运算速度，还可以进一步的了解这个方程组的一些特点
2、从最后结果的图像上来看，我们可以清楚的确定解的范围，从而在利用fsolve函数来精确求解，比较方便。
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