中考数学一轮复习导学练案 几何与变换篇第三节特殊三角形导学练案.docx
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中考数学一轮复习导学练案几何与变换篇第三节特殊三角形导学练案
第三节:
特殊三角形导学练案
学习目标:
1.掌握等腰三角形的性质与判定;
2.了解线段垂直平分线性质与判定;
3.掌握等边三角形的性质与判定;
4.掌握直角三角形的性质与判定;
5.熟练把握特殊三角形的性质与判定并能综合运用。
复习反馈:
1.等腰三角形定义与性质:
(1)定义:
如果等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为_______;
(2)等腰三角形的_________相等(简称“等边对等角”);(3)等腰三角形的三线合一的性质:
如图3-1,在△ABC中,若AD平分∠BAC交BC于点D,则AD___BC,BD___CD;若D为BC的中点(即BD=CD),则AD___BC,∠BAD___∠CAD;若AD⊥BC于D,则BD___CD,∠BAD=∠CAD;(3)对称性:
等腰三角形的对称轴是___________;
2.等腰三角形的判定:
(1)两边相等的三角形是______;
(2)两角相等的三角形是______,简称“_________”.
3.线段的垂直平分线:
(1)概念:
垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线;
(2)作法及性质:
如图3-2,在直线a上找一点P,使P到点A、点B的距离相等;(3)判定:
根据定义;
如图3-3,若CA=CB,DA=DB,则直线CD是线段AB的__________;
4.等边三角形的性质与判定:
(1)性质:
等边三角形的三个内角都=_____°,三边_____,同样具有“三线合一”的性质;
(2)判定:
三角相等的三角形是_____,三边相等三角形是_____,有一个内角为_____°的腰三角形是______;
5.直角三角形的性质:
(1)直角三角形两内角_______;
(2)在△ABC中,若∠ACB=90°,且∠A=30°,则BC=___AB;(3)在Rt△ABC中,若∠ACB=90°,且D为AB的中点,则DC=___AB=AD=DB;
6.直角三角形的判定:
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形;
(2)两个内角_____的三角形是直角三角形;(3)在△ABC中,D为AB的中点,若满足DC=___AB,则△ABC为Rt△;
合作探究:
考点1等腰三角形的性质与判定的应用
(2015•丹东,第6题3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )
A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°
考点:
等腰三角形的性质.
分析:
先根据角平分线的定义得到∠1=∠2,∠3=∠4,再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∠1=∠3+∠D,则2∠1=2∠3+∠A,利用等式的性质得到∠D=∠A,然后把∠A的度数代入计算即可.
解答:
解:
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,
∴2∠1=2∠3+∠A,
∵∠1=∠3+∠D,
∴∠D=∠A=×30°=15°.
故选A.
点评:
本题考查了三角形内角和定理,关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析.
考点2线段垂直平分线
(2015•湖北,第7题3分)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A.
B.1C.
D.2
考点:
含30度角的直角三角形;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
分析:
先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1.
解答:
解:
∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,
∴BE=CE=2,
∴∠B=∠DCE=30°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,
∴AE=CE=1.
故选B.
点评:
本题考查的是含30度角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,角平分线定义,三角形内角和定理,求出∠A=90°是解答此题的关键.
考点3等边三角形的性质与判定的应用
(2015•青海西宁第20题2分)如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD为AC边上的高,将△ABC折叠,使点B与点D重合,折痕EF交BD于点D1,再将△BEF折叠,使点B于点D1重合,折痕GH交BD1于点D2,依次折叠,则BDn=
.
考点:
翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质..
专题:
规律型.
分析:
根据等边三角形的性质依次求出边上的高,找出规律即可得到结果.
解答:
解:
∵△ABC是边长为1的等边三角形,BD为AC边上的高,
∴BD=
,
∵△BEF是边长为等边三角形,
∴BD1=
,
∴BD2=
,
…
∴BDn=
,
故答案为:
.
点评:
本题考查了翻折变换﹣折叠问题,等边三角形的性质,根据已知条件找出规律是解题的关键.
考点4直角三角形的性质、判定的运用
(2013·潍坊,9,3分)一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为()
A.
海里/小时B.30海里/小时
C.
海里/小时D.
海里/小时
答案:
D
考点:
方向角,直角三角形的判定和勾股定理.
考点5特殊三角形性质与判定的综合运用
(2015•营口,第25题14分)【问题探究】
(1)如图1,锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图2,四边形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.
(3)如图3,在
(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
分析:
(1)首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD,则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD,根据全等三角形的性质即可证明;
(2)在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EA、EB、EC,证明△EAC≌△BAD,证明BD=CE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解;
(3)在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,证明△EAC≌△BAD,证明BD=CE,即可求解.
解答:
解:
(1)BD=CE.
理由是:
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE;
(2)如图2,在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EA、EB、EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE.
∵AE=AB=7,
∴BE=
=7
,∠AEC=∠AEB=45°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,
∴EC=
=
=
,
∴BD=CE=
.
(3)如图3,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E,连接BE.
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠E=∠ABC=45°,
∴AE=AB=7,BE=
=7
,
又∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴∠BAE=∠DAC=90°,
∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC,即∠EAC=∠BAD
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE,
∵BC=3,
∴BD=CE=7
﹣3(cm).
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,正确理解三个题目之间的联系,构造
(1)中的全等三角形是解决本题的关键.
形成提升:
1.(2015•衡阳,第7题3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为( )
A.11B.16C.17D.16或17
2.(2015年陕西省,6,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
3.(2015•四川遂宁第8题4分)如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
4.(2015•河北,第20题3分)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;…
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= .
5.(2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方
便操作。
小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可。
如图1,
衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离
是cm
6.(2015•曲靖23题10分)如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间的数量关系,并证明你的结论.
【归纳总结】
【形成提升参考答案】
1.(2015•衡阳,第7题3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为( )
A.11B.16C.17D.16或17
考点:
等腰三角形的性质;三角形三边关系.
专题:
分类讨论.
分析:
分6是腰长和底边两种情况,利用三角形的三边关系判断,然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解.
解答:
解:
①6是腰长时,三角形的三边分别为6、6、5,
能组成三角形,
周长=6+6+5=17;
②6是底边时,三角形的三边分别为6、5、5,
能组成三角形,
周长=6+5+5=16.
综上所述,三角形的周长为16或17.
故选D.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于分情况讨论.
2.(2015年陕西省,6,3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
考点:
等腰三角形的判定与性质.
分析:
根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形.
解答:
∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD=36°,
∴BD=AD,
∴△ABD是等腰三角形;
在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,
∴∠C=∠BDC=72°,
∴BD=BC,
∴△BCD是等腰三角形;
∵BE=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE是等腰三角形;
∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,
∴∠A=∠ADE,
∴DE=AE,
∴△ADE是等腰三角形;
∴图中的等腰三角形有5个.
故选D.
点评:
此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏.
3.(2015•四川遂宁第8题4分)如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
考点:
线段垂直平分线的性质..
分析:
首先根据MN是线段AB的垂直平分线,可得AN=BN,然后根据△BCN的周长是7cm,以及AN+NC=AC,求出BC的长为多少即可.
解答:
解:
∵MN是线段AB的垂直平分线,
∴AN=BN,
∵△BCN的周长是7cm,
∴BN+NC+BC=7(cm),
∴AN+NC+BC=7(cm),
∵AN+NC=AC,
∴AC+BC=7(cm),
又∵AC=4cm,
∴BC=7﹣4=3(cm).
故选:
C.
点评:
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①垂直平分线垂直且平分其所在线段.②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.③三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.
4.(2015•河北,第20题3分)如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1,按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;
再以A1为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A2,得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3;…
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= 9 .
考点:
等腰三角形的性质.
分析:
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数,∠A2A1C的度数,∠A3A2B的度数,∠A4A3C的度数,…,依此得到规律,再根据三角形外角小于90°即可求解.
解答:
解:
由题意可知:
AO=A1A,A1A=A2A1,…,
则∠AOA1=∠OA1A,∠A1OA2=∠A1A2A,…,
∵∠BOC=9°,
∴∠A1AB=18°,∠A2A1C=27°,∠A3A2B=36°的度数,∠A4A3C=45,…,
∴9°n<90°,
解得n<10.
故答案为:
9.
点评:
考查了等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等;三角形外角的性质:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
5.(2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方
便操作。
小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可。
如图1,
衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离
是cm
考点:
等边三角形的判定与性质..
专题:
应用题.
分析:
根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
解答:
解:
∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=18cm,
故答案为:
18
点评:
此题考查等边三角形问题,关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析.
6.(2015•曲靖23题10分)如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间的数量关系,并证明你的结论.
考点:
全等三角形的判定与性质;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质..
分析:
首先根据OC是∠AOB的平分线,CD∥OB,判断出∠DOC=∠DC0,所以OD=CD=DM+CM;然后根据E是线段OC的中点,CD∥OB,推得CM=ON,即可判断出OD=DM+ON,据此解答即可.
解答:
解:
线段OD、ON、DM之间的数量关系是:
OD=DM+ON.
证明:
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠DOC=∠C0B,
又∵CD∥OB,
∴∠DCO=∠C0B,
∴∠DOC=∠DC0,
∴OD=CD=DM+CM,
∵E是线段OC的中点,
∴CE=OE,
∵CD∥OB,
∴
,
∴CM=ON,
又∵OD=DM+CM,
∴OD=DM+ON.
点评:
(1)此题主要考查了平行线的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①定理1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
两直线平行,同位角相等.②定理2:
两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.③定理3:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
两直线平行,内错角相等.
(2)此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个底角相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.