中考数学一轮复习导学练案 几何与变换篇第七节 平移与轴对称导学练案.docx

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中考数学一轮复习导学练案几何与变换篇第七节平移与轴对称导学练案

第七节：

平移与轴对称导学练案

学习目标：

1.认识平移，理解平移的概念和平移的基本性质;

2.能按要求作出简单平面图形平移后的图形，能探索图形之间的平移关系；

3.理解轴对称及轴对称图形.掌握轴对称图形的性质；

4.能根据要求正确地作出轴对称图形，并利用轴对称进行简单的图案的设计；

5.掌握基本图形（平行四边形.矩形.菱形.正方形,圆）的轴对称性；

6.了解平面坐标系中两点的对称性.并能得出对称点的坐标.

复习反馈：

1.图形的平移.

（1.）定义:

在平面内，将某个图形沿某个______移动一定的_______，这样的图形运动为平移;

平移后，对应角________且对应角两边分别平行.方向相同.平移不改变图形的______.

（2）性质:

平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段______且________,______和______只改变图形位置，平移后新旧两图形全等.

（3）如图，△ABC平移到△A＇Ｂ＇Ｃ＇|

平行且相等的线段有

相等的角有

2.轴对称、轴对称图形

（1）轴对称图形：

如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是的，那么就称这样的图形为轴对称图形.这条直线称为，一定为直线.

（2）轴对称：

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成，两个图形中的对应点叫.如图1，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）

2.轴对称图形的性质

（1）轴对称图形的对应线段，对应角，对应点的连线被对称轴

.轴对称的两个图形，对应线段或延长线相交，交点在上.

（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的和，只改变图形的

，新旧图形具有对称性.

如如图2所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°,∠2＝46°,则∠x＝.

合作探究：

考点1平移

（2014年广西钦州，第17题3分）如图，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形，如果△ABC中有一点P的坐标为（a，2），那么变换后它的对应点Q的坐标为　（a+5，﹣2）　．

考点：

坐标与图形变化-平移．

分析：

根据对应点A、A′的坐标确定出平移规律为向右5个单位，向下4个单位，然后写出点Q的坐标即可．

解答：

由图可知，A（﹣4，3），A′（1，﹣1），

所以，平移规律为向右5个单位，向下4个单位，

∵P（a，2），

∴对应点Q的坐标为（a+5，﹣2）．

故答案为：

（a+5，﹣2）．

点评：

本题考查了坐标与图形变化﹣平移，观察图形得到变化规律是解题的关键．

考点2平面直角坐标系中点得平移

（2015•江苏镇江，第12题，2分）如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm．BC=2cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为　7　cm．

考点：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质．.

分析：

作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质和矩形的性质求得∠BAE=∠AC1B，∠AEB=∠BAC1=90°，从而证得△ABE∽△C1BA，根据相似三角形对应边成比例求得BC1=9，即可求得平移的距离即可．

解答：

解：

作AE⊥BC于E，

∴∠AEB=∠AEC1=90°，

∴∠BAE+∠ABC=90°

∵AB=AC，BC=2，

∴BE=CE=BC=1，

∵四边形ABD1C1是矩形，

∴∠BAC1=90°，

∴∠ABC+∠AC1B=90°，

∴∠BAE=∠AC1B，

∴△ABE∽△C1BA，

∴

=

∵AB=3，BE=1，

∴=

，

∴BC1=9，

∴CC1=BC1﹣BC=9﹣2=7；

即平移的距离为7．

故答案为7．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．

考点3平面直角坐标系中的点对称.

（2015•铜仁市）（第14题）已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab=　﹣6　．

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标

分析：

根据关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a=2，b=﹣3，进而可得答案．

解答：

∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），

∴a=2，b=﹣3，

∴ab=﹣6，

故答案为：

﹣6．

点评：

此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

考点4轴对称与轴对称图形

（2015，广西钦州，1，3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

轴对称图形．

分析：

根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

解答：

解：

A、该图形不是轴对称图形，故本选项错误；

B、该图形是中心对称图形，故本选项错误；

C、该图形是轴对称图形，故本选项正确；

D、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

考点5轴对称性质的应用

（2015•天津,第18题3分）（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．

（Ⅰ）如图①，当BE=时，计算AE+AF的值等于　

（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）　取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．　．

考点：

轴对称-最短路线问题；勾股定理．

专题：

作图题．

分析：

（1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=

，再解答即可；

（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=

=5，结合相似三角形选出格点K，根据

，得BP=BH=

=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到

，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．

解答：

解：

（1）根据勾股定理可得：

DB=

，

因为BE=DF=，

所以可得AF=

=2.5，

根据勾股定理可得：

AE=

，所以AE+AF=

，

故答案为：

；

（2）如图，

首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=

=5，结合相似三角形选出格点K，根据

，得BP=BH=

=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到

，得DG=DM=×5=3，易证△DFG≌BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．

故答案为：

取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．

点评：

此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．

形成提升：

1.（2015•重庆A2，4分）下列图形是轴对称图形的是（）

　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D

2.（2015•内蒙古赤峰3，3分）下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.（2014•广西来宾，第12题3分）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（　　）

A．（﹣5，﹣3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣3）

4.（2014年湖北咸宁9．（3分））点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为　．

5.（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为　　．

6.（2015•湖南张家界，第18题6分）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：

（1）将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；

（2）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2（不写作法，但要标出字母）；

（3）求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长．

7.（2015•枣庄,第10题3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（　　）

A．2种B．3种C．4种D．5种

【归纳总结】

【形成提升参考答案】

1.（2015•重庆A2，4分）下列图形是轴对称图形的是（）

　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D

考点：

轴对称图形．

分析：

根据轴对称图形的概念求解．

解答：

解：

A、是轴对称图形，故正确；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故错误．

故选A．

点评：

本题考查了轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称

轴折叠后可重合．

2.（2015•内蒙古赤峰3，3分）下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：

轴对称图形．

分析：

根据轴对称图形的定义即可得出结论．

解答：

解：

由轴对称图形的性质可知，四个字中的轴对称图形有：

美、赤．

故选B．

点评：

本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解答此题的关键．

3.（2014•广西来宾，第12题3分）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（　　）

A．（﹣5，﹣3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣3）

考点：

关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．

分析：

首先利用平移变化规律得出P1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．

解答：

∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，

∴P1（1，3），

∵点P2与点P1关于原点对称，

∴P2的坐标是：

（﹣1，﹣3）．

故选；C．

点评：

此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．

4.（2014年湖北咸宁9．（3分））点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣1，﹣2）　．

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网

分析：

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．

解答：

解：

点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．

故答案为：

（﹣1，﹣2）．

点评：

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

5.（2015•辽宁省盘锦,第15题3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为　3　．

考点：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：

连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果．

解答：

连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=2，

∴∠BPC=90°，

∵E为BC的中点，

∴BE=BC=1，PE=BC=1，

∴PE=BE，

∵∠DAB=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠PBE=60°，

∴△PBE是等边三角形，

∴PB=BE=PE=1，

∴PB+BE+PE=3；

故答案为：

3．

点评：

本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

6.（2015•湖南张家界，第18题6分）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个△ABC，顶点A、B、C及点O均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：

（1）将△ABC向上平移4个单位，得到△A1B1C1（不写作法，但要标出字母）；

（2）将△ABC绕点O旋转180°，得到△A2B2C2（不写作法，但要标出字母）；

（3）求点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长．

考点：

作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换．

分析：

（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；

（2）根据图形旋转的性质画出△ABC绕点O旋转180°后得到的△A2B2C2；

（3）根据弧长的计算公式列式即可求解．

解答：

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示：

（3）∵OA=4，∠AOA2=180°，

∴点A绕着点O旋转到点A2所经过的路径长为

=4π．

点评：

本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．也考查了弧长的计算．

7.（2015•枣庄,第10题3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（　　）

A．2种B．3种C．4种D．5种

考点：

利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．

分析：

利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．

解答：

如图所示：

组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，

则这个格点正方形的作法共有4种．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键