中考数学一轮复习导学练案 几何与变换篇第三节特殊三角形导学练案.docx

1、中考数学一轮复习导学练案 几何与变换篇第三节特殊三角形导学练案第三节：特殊三角形导学练案学习目标：1. 掌握等腰三角形的性质与判定；2.了解线段垂直平分线性质与判定；3. 掌握等边三角形的性质与判定；4. 掌握直角三角形的性质与判定；5.熟练把握特殊三角形的性质与判定并能综合运用。复习反馈：1.等腰三角形定义与性质：（1）定义：如果等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为_；（2）等腰三角形的_相等（简称“等边对等角”）；（3） 等腰三角形的三线合一的性质：如图31，在ABC中，若AD平分BAC交BC于点D，则AD_BC，BD_CD；若D为BC的中点（即BD=CD），则AD_BC

2、，BAD_CAD；若ADBC于D，则BD_CD,BAD=CAD；（3）对称性：等腰三角形的对称轴是_;2.等腰三角形的判定：（1）两边相等的三角形是_；（2）两角相等的三角形是_，简称“_”.3.线段的垂直平分线：（1）概念：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线；（2）作法及性质：如图32，在直线a上找一点P，使P到点A、点B的距离相等；（3）判定：根据定义；如图33，若CA=CB，DA=DB，则直线CD是线段AB的_；4.等边三角形的性质与判定：（1）性质：等边三角形的三个内角都=_，三边_,同样具有“三线合一”的性质；（2）判定：三角相等的三角形是_，三边相等三角形是

3、_，有一个内角为_的腰三角形是_；5.直角三角形的性质：（1）直角三角形两内角_; (2) 在ABC中，若ACB=90，且A=30，则BC=_AB；(3) 在RtABC中，若ACB=90，且D为AB的中点，则DC=_AB=AD=DB；6.直角三角形的判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）两个内角_的三角形是直角三角形；（3）在ABC中，D为AB的中点，若满足DC=_AB,则ABC为Rt；合作探究：考点1 等腰三角形的性质与判定的应用（2015丹东，第6题3分）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（） A 1

4、5 B 17.5 C 20 D 22.5考点： 等腰三角形的性质分析： 先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据三角形外角性质得1+2=3+4+A，1=3+D，则21=23+A，利用等式的性质得到D=A，然后把A的度数代入计算即可解答： 解：ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，1=2，3=4，ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A，1=3+D，D=A=30=15故选A点评： 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180和三角形外角性质进行分析考点2 线段垂直平分线（2015湖北, 第7题3分）如图，在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于点E，垂

5、足为D，CE平分ACB若BE=2，则AE的长为（） A B 1 C D 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出B=DCE=30，再由角平分线定义得出ACB=2DCE=60，ACE=DCE=30，利用三角形内角和定理求出A=180BACB=90，然后在RtCAE中根据30角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1解答： 解：在ABC中，B=30，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，BE=CE=2，B=DCE=30，CE平分ACB，ACB=2DCE=60，ACE=DCE=30，A=180BACB=9

6、0在RtCAE中，A=90，ACE=30，CE=2，AE=CE=1故选B点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出A=90是解答此题的关键考点3等边三角形的性质与判定的应用（2015青海西宁第20题2分）如图，ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将BEF折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn=考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质.专题： 规律型分析： 根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即

7、可得到结果解答： 解：ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，BD=，BEF是边长为等边三角形，BD1=，BD2=，BDn=，故答案为：点评： 本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键考点4直角三角形的性质、判定的运用（2013潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛C靠近同时，从A处出发的救援船沿南偏西10方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）A海里/小时 B 30海里/小时 C海里/小时 D海里

8、/小时答案：D考点：方向角，直角三角形的判定和勾股定理考点5特殊三角形性质与判定的综合运用（2015营口，第25题14分）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，ABC=ACD=ADC=45，求BD的长（3）如图3，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析： （1）首先根据等式的性质证明EAC=BAD，则根据SAS

9、即可证明EACBAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明EACBAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，证明EACBAD，证明BD=CE，即可求解解答： 解：（1）BD=CE理由是：BAE=CAD，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE；（2）如图2，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使BAE=90，AE=AB，连接EA、EB、

10、ECACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即EAC=BAD，在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CEAE=AB=7，BE=7，AEC=AEB=45，又ABC=45，ABC+ABE=45+45=90，EC=，BD=CE=（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AEAB于点A，交BC的延长线于点E，连接BEAEAB，BAE=90，又ABC=45，E=ABC=45，AE=AB=7，BE=7，又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，BAEBAC=DACBAC，即EAC=BAD在EAC和BAD中，EACBAD，BD=CE，BC=3，BD=CE=73（cm

11、）点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键形成提升：1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A 11 B 16 C 17 D 16或172. (2015年陕西省,6,3分)如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A2个 B3个 C4个 D5个3. （2015四川遂宁第8题4分）如图，在ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7cm，则BC的长为（）

12、A1cm B 2cm C 3cm D 4cm4. （2015河北,第20题3分）如图，BOC=9，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=5. (2015年浙江省义乌市中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=O

13、B=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm6.（2015曲靖23题10分）如图，过AOB平分线上一点C作CDOB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A 11 B 16 C 17 D 16或17考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系专题： 分类讨论分析： 分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周

14、长的定义列式计算即可得解解答： 解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17故选D点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论2. (2015年陕西省,6,3分)如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A2个 B3个C4个 D5个考点：等腰三角形的判定与性质分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出

15、图中的等腰三角形解答：AB=AC，ABC是等腰三角形；AB=AC，A=36，ABC=C=72，BD是ABC的角平分线，ABD=DBC=ABC=36，A=ABD=36，BD=AD，ABD是等腰三角形；在BCD中，BDC=180DBCC=1803672=72，C=BDC=72，BD=BC，BCD是等腰三角形；BE=BC，BD=BE，BDE是等腰三角形；BED=（18036）2=72，ADE=BEDA=7236=36，A=ADE，DE=AE，ADE是等腰三角形；图中的等腰三角形有5个故选D点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角

16、平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏3. （2015四川遂宁第8题4分）如图，在ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7cm，则BC的长为（） A1cm B 2cm C 3cm D 4cm考点： 线段垂直平分线的性质.分析： 首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可解答： 解：MN是线段AB的垂直平分线，AN=BN，BCN的周长是7cm，BN+NC+BC=7（cm），AN+NC+BC=7（cm），AN+NC=AC，AC+BC=7（cm），又AC=4cm，BC=

17、74=3（cm）故选：C点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等4. （2015河北,第20题3分）如图，BOC=9，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不

18、能再画出符合要求的线段了，则n=9考点： 等腰三角形的性质分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A1AB的度数，A2A1C的度数，A3A2B的度数，A4A3C的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于90即可求解解答： 解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，则AOA1=OA1A，A1OA2=A1A2A，BOC=9，A1AB=18，A2A1C=27，A3A2B=36的度数，A4A3C=45，9n90，解得n10故答案为：9点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和5. (2015年浙江省义乌市

19、中考,13,5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，AOB=60，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm考点：等边三角形的判定与性质.专题：应用题分析：根据有一个角是60的等腰三角形的等边三角形进行解答即可解答：解：OA=OB，AOB=60，AOB是等边三角形，AB=OA=OB=18cm，故答案为：18点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60的等腰三角形的等边三角形进行分析6.（2015曲靖23题10分）如图，过AOB平分线上一点C作CDOB交O

20、A于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N，探究线段OD、ON、DM之间的数量关系，并证明你的结论考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质.分析： 首先根据OC是AOB的平分线，CDOB，判断出DOC=DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CDOB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可解答： 解：线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON证明：OC是AOB的平分线，DOC=C0B，又CDOB，DCO=C0B，DOC=DC0，OD=CD=DM+CM，E是线段OC的中点，CE=OE，CDOB，CM=ON，又OD=DM+CM，OD=DM+ON点评： （1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合