数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念11 113 第1课时 Word版含答案.docx
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数学新学案同步人教A版必修一讲义第一章集合与函数概念11113第1课时Word版含答案
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集
学习目标
1.理解并集、交集的概念.2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3.会求简单集合的并集和交集．
知识点一 并 集
（1）定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”）．
（2）并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
（3）图形语言：
、
.阴影部分为A∪B.
（4）性质：
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B.
知识点二 交 集
思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？
答案 1张．红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张．
梳理
（1）定义：
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）．
（2）交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（3）图形语言：
，阴影部分为A∩B.
（4）性质：
A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，A∩B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
1．若x∈A∩B，则x∈A∪B.（√）
2．A∩B是一个集合．（√）
3．如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在．（×）
4．若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素．（×）
类型一 求并集
命题角度1 数集求并集
例1
（1）（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于（ ）
A．{1,2,3,4}B．{1,2,3}
C．{2,3,4}D．{1,3,4}
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 A
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
∴A∪B＝{1,2,3,4}．
故选A.
（2）A＝{x|－1考点 并集的概念及运算
题点 无限集合的并集运算
解 如图：
由图知A∪B＝{x|－1反思与感悟 有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不等式表示的，常借助数轴求并集．由于A∪B中的元素至少属于A，B之一，所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集．
跟踪训练1
（1）A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B.
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
解 B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}．
（2）A＝{x|－13}，求A∪B.
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
解 如图：
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}．
命题角度2 点集求并集
例2 集合A＝{（x，y）|x>0}，B＝{（x，y）|y>0}，求A∪B，并说明其几何意义．
考点 并集的概念及运算
题点 无限集合的并集运算
解 A∪B＝{（x，y）|x>0或y>0}．
其几何意义为平面直角坐标系内去掉第三象限和x轴，y轴的非正半轴后剩下的区域内所有点．
反思与感悟 求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数．
跟踪训练2 A＝{（x，y）|x＝2}，B＝{（x，y）|y＝2}．求A∪B，并说明其几何意义．
考点 并集的概念及运算
题点 无限集合的并集运算
解 A∪B＝{（x，y）|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上所有的点组成的集合．
类型二 求交集
例3
（1）（2016·全国Ⅱ）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）＝0，x∈Z}，则A∩B等于（ ）
A．{1}B．{2}
C．{－1,2}D．{1,2,3}
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 B
解析 B＝
，
∴A∩B＝
（2）若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
解析 在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分，即A∩B＝{x|－3（3）集合A＝{（x，y）|x>0}，B＝{（x，y）|y>0}，求A∩B并说明其几何意义．
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
解 A∩B＝{（x，y）|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合．
反思与感悟 求集合A∩B的步骤
（1）首先要搞清集合A，B的代表元素是什么；
（2）把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；
（3）把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可．
跟踪训练3
（1）集合A＝{x|－13}，求A∩B；
（2）集合A＝{x|2k（3）集合A＝{（x，y）|y＝x＋2}，B＝{（x，y）|y＝x＋3}，求A∩B.
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
解
（1）A∩B＝{x|－1（2）A∩B＝{x|2（3）A∩B＝∅.
类型三 并集、交集性质的应用
例4 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝B，求a的取值范围．
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 利用集合的交集、并集性质求参数的取值范围
解 A∪B＝B⇔A⊆B.
当2a>a＋3，即a>3时，A＝∅，满足A⊆B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A⊆B.
当2a需
或
解得a<－4或
综上，a的取值范围是
{a|a>3}∪{a|a＝3}∪
＝
.
反思与感悟 解此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件．在翻译成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集．
跟踪训练4 若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足（ ）
A．ACB．CAC．A⊆CD．C⊆A
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 交集、并集的性质
答案 C
解析 A∩B＝A⇔A⊆B，B∪C＝C⇔B⊆C，所以A⊆C.
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于（ ）
A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}D．{0,1}
考点 并集的概念及运算
题点 有限集合的并集运算
答案 B
2．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}B．{0,1}
C．{0,2}D．{0,1,2}
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合的交集运算
答案 C
3．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|0A．{x|x>0}B．{x|x>1}
C．{x|1考点 并集的概念及运算
题点 无限集合的并集运算
答案 A
4．已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝________.
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 ∅
5．已知集合A＝{1,3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 利用集合的交集、并集性质求参数的值
答案 0或3
1．对并集、交集概念的理解
（1）对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：
x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
（2）A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.
2．集合的交、并运算中的注意事项
（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
（2）对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
一、选择题
1．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是（ ）
A．N⊆MB．M∪N＝M
C．M∩N＝ND．M∩N＝{2}
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 D
解析 ∵－2∈N，但－2∉M，
∴A，B，C三个选项均不对．
2．若集合M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，则M∩N等于（ ）
A．{－3}B．{1}
C．{－3,1,4}D．{－3,1}
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合与无限集合的交集运算
答案 D
解析 M＝{x|－3≤x＜4}，N＝{－3,1,4}，
则M∩N＝{－3,1}，故选D.
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于（ ）
A．{y|0C．{y|y>0}D．{（0,1），（1,0）}
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 B
解析 ∵B＝{y|y＝x2}＝
，
∴A∩B＝{y|0≤y≤1}．
4．已知集合M＝{x|（x－1）2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于（ ）
A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 A
解析 集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.
5．集合A＝
，B＝
，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 C
解析 A＝
，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝
，
∴真子集个数为24－1＝15.
6．（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（ ）
A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
7．已知集合A＝
，A∪B＝
，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点 集合的交集、并集性质及应用
题点 利用交集、并集性质求集合的个数
答案 D
解析 因为集合A＝
，A∪B＝
，
所以B中至少含有3,4两个元素，
所以满足条件的集合B为
，
，
，
，共4个．
8．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于（ ）
A．{x|1≤x<3}
B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3}
D．{x|0≤x≤1或x≥3}
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
答案 C
解析 由题意知，A∪B＝{x|x≥0}，
A∩B＝{x|1≤x≤3}，
则A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
二、填空题
9．已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝
}，则P∩Q＝________.
考点 交集的概念及运算
题点 无限集合的交集运算
答案 {x|x<0}
解析 |x|>x⇒x<0，
∴P＝{x|x<0}，∵1－x≥0⇒x≤1，
∴Q＝{x|x≤1}，故P∩Q＝{x|x<0}．
10．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
考点 并集的概念及运算
题点 由并集运算结果求参数问题
答案 {a|a≤1}
解析 A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
11．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1,2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
考点 交集的概念及运算
题点 有限集合与无限集合的交集运算
答案 {（0,1），（－1,2）}
解析 A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
三、解答题
12．已知集合A＝
，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
考点 并集、交集的综合运算
题点 并集、交集的综合运算
解 解不等式组
得－2则A＝{x|－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x|－213．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）若A∩B＝{x|1≤x≤3}，求实数m的值；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
解 A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
（1）∵A∩B＝{x|1≤x≤3}，∴
解得m＝3.
（2）若A∩B＝∅，则A⊆{x|x∴m－2＞3或m＋2<－1.
∴实数m的取值范围是{m|m＞5或m<－3}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝
，B＝
，且9∈（A∩B），则a的值为________．
考点 交集的概念及运算
题点 由交集的运算结果求参数的值
答案 5或－3
解析 因为9∈A∩B，所以9∈A，且9∈B，即2a－1＝9或a2＝9，
解得a＝5或a＝±3.
当a＝5时，A＝
，B＝
，A∩B＝
，9∈A∩B，符合题意；
当a＝3时，A＝
，a－5＝1－a＝－2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a＝－3时，A＝
，B＝
，A∩B＝
，9∈A∩B，符合题意，
综上所述，a＝5或a＝－3.
15．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图的应用
解 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学参加课外探究小组可得（26－6－x）＋6＋（15－10）＋4＋（13－4－x）＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
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