名师精编小学奥数难题汇编50道精选二1120.docx

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名师精编小学奥数难题汇编50道精选二1120

小学奥数难题汇编50道精选

（二）（11-20）

11.特殊值

有些数学题，按一般思路不易求解，若从给出的特殊值入手，紧扣条件和问题之间的联系，将会优化解题思路，很快找到解题捷径。

例1如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分为两部分，S△DBC比S△ABD大10cm2。

BC与AD的和为5cm，差为5cm，求S梯?

一般是借助“辅助线”解。

其实只要仔细分析题意，利用给出的特殊条件可简捷求解。

底，它们等高，由BC=2AD，知△BDC=2△ABD。

所以

S梯=10×（2+1）=30（cm２）。

例2设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米，用四个这样的直角三角形拼成如图所示正方形，求大正方形的边长。

此题用勾股定理求解

＝10。

通过观察可以发现，大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。

小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差8-6=2（cm），大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。

1/2×8×6×4+（8-6）2=100（cm2）。

这个面积是一个特殊值100=10×10，所以大正方形的边长为10cm。

例3四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形（如图）大正方形的面积是49平方米，小正方形面积是4平方米。

问长方形的短边长度是几米?

（第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题）

因为4=2×2，49=7×7，所以小正方形边长2cm，大正方形边长7cm。

长方形长宽之和为7cm，差为2cm，即

从而可求得，宽为2.5cm。

例41992年奥林匹克决赛题：

一个正方形（如图），被分成四个长方形，他们的面积分别是

图中阴影部分是一个正方形，那么它的面积是多少平方米。

大正方形边长为1米。

仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形Ⅰ、Ⅲ的长和宽有关。

只要求出Ⅲ的长和Ⅰ的宽即可求得小正方形的边长了。

12.特殊结论

有些题目按照一般的思考方法解答，或者较麻烦，或者不能获得正确答案。

用特殊结论解题，思路清楚，方法简便。

例1周长为28cm的长方形，如果长和宽都增加1cm，这个长方形的面积增加多少?

增加部分的面积=（半周长+增加数）×增加数。

分析示意图，不难发现。

（28÷2+1）×1=15（cm2）

例2周长为28cm的长方形，长增加1cm，宽增加2cm，面积增加24cm2，求原长方形的面积。

思路一：

假设长和宽都增加1cm，根据以上结论，这个长方形的面积增加：

（28÷2+1）×1=15（cm2），因实际宽比假设多增加1cm，而面积多增加24-15=9（cm2）如图，所以原长方形的长为9÷1-1=8（cm）。

宽为28÷2-8=6（cm）。

面积是8×6=48（cm2）

思路二：

假设长和宽都增加2cm，根据以上结论，面积增加：

与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm，只增加1cm，假设比实际多的部分的面积如图中阴影部分的面积。

所以，原长方形的宽为8÷1-2=26（cm），长为28÷2-6=8（cm）。

面积为8×6=48（cm2）

例3如图，已知S阴影=6.28cm2，求空白部分的圆面积。

S圆=6.28×2

=12.56（cm２）根据：

结论——任意一个圆心角为90°的扇形面积，等于以这个扇形的半径为直径的圆的面积。

证明：

设有一圆心角为90°，半径为R的扇形。

则它的面积为

直径为R的圆的面积为

结论，得证。

13.特殊数题1

（1）21-12

当被减数和减数个位和十位上的数字（零除外）交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即（2-1）×9。

减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=（3-1）×9=18。

减数从12—89，都可类推。

被减数和减数同时扩大（或缩小）十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大（或缩小）相同的倍数，其差不变。

如

210-120=（2-1）×90=90，

0.65-0.56=（6-5）×0.09=0.09。

（2）31×51

个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

若十位数字的和满10，进1。

如

证明：

（10a+1）（10b+1）

=100ab+10a+10b+1

=100ab+10（a+b）+1

（3）26×8642×62

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。

若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：

（10a+c）（10b+c）

=100ab+10c（a+b）+cc

=100（ab+c）+cc（a+b=10）。

（4）17×19

十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

原式=（17+9）×10+7×9=323

证明：

（10+a）（10+b）

=100+10a+10b+ab

=[（10+a）+b]×10+ab。

（5）63×69

十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

原式=（63+9）×6×10+3×9

=72×60+27=4347。

证明：

（10a+c）（10a+d）

=100aa+10ac+10ad+cd

=10a[（10a+c）+d]+cd。

（6）83×87

十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。

如

证明：

（10a+c）（10a+d）

=100aa+10a（c+d）+cd

=100a（a+1）+cd（c+d=10）。

（7）38×22

十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式=（30+8）×（30-8）

=302-82=836。

（8）88×37

被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

（9）36×15

乘数是15的两位数相乘。

被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

（10）125×101

三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。

125+1=126。

原式=12625。

再如348×101，因为348+3=351，

原式=35148。

（11）84×49

一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

原式=8400÷2-84

=4200-84=4116。

14.特殊数题2

（12）85×99

两位数乘以9、99、999、…。

在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

原式=8500-85=8415

不难看出这类题的积：

最高位上的两位数（或一位数），是被乘数与1的差;

最低位上的两位数，是100与被乘数的差;

中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：

设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a（a≠0），则

如果被乘数的个位数是1，例如

31×999

在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。

71×9999=709999-70=709929。

这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为（10a+1）的形式，由9组成的自然数可表示为（10n-1）的形式，其积为

（13）1÷19

这是一道颇为繁复的计算题。

原式=0.052631578947368421。

根据“如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。

原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：

（1）先用0.1÷2=0.05。

（2）把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

如此除到循环为止。

仔细分析这个算式：

加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。

这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。

除数末位是9，都可用此法计算。

例如1÷29，用0.1÷3计算。

1÷399，用0.1÷40计算。

15.顺推

例1永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时，见第三块里程碑上的数是A0B。

经研究很快明白了，这三块里程碑上的数分别是16、61、106。

试说明算理?

思路一BA与AB的差，只能是两位数或一位数。

车匀速前进，B必大于A。

A0B与BA的差必等于BA与AB的差，不会是三位数。

A只能是1，若是2以上的数，则A0B与BA的差肯定是三位数了。

由下表知：

思路二：

由速度一定知BA-AB=A0B-BA。

写成十进数，化简

（10B+A）-（10A+B）=（100A+B）-（10B+A）

10B+A-10A-B=100A+B-10B-A

9B-9A=99A-9B

B=6A

B是一位数，且只能是一位数。

故A=1，B=6。

A和B的数字确定了，其它随之出现。

例2美国小学数学奥林匹克（1982～1983）第二次2题：

1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，同样价格下，2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。

问1个面包多少钱。

由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元，可知，1个面包和2个鸡蛋价值2.40÷2=1.20（元）。

又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元，知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60（元）。

所以1个面包价值（2.40-0.60）÷2=0.90（元）。

16.数字的双重作用

例美国小学数学奥林匹克，第一次（1980年11月）题2：

时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推。

从1点至12点这12小时共敲了（）下。

由“首尾之和”知

例2第二次（1980年12月）2题：

如果全体自然数如下表排列，数到1000应在哪个字母的下面。

（）

ABCDEFG

1234567

891011121314

151617………………

…………………………

1、2、3、4、5、6既是列的序数，又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数，本列除以7余数为0。

1000÷7=142余6

所以1000与6位于同一列，即在字母F的下面。

17.竖式填空之巧填除法例题1

奥数难题：

竖式填空之巧填除法例题1

例1一个三位数，其十位数字是0，且能被一个一位数整除；如果被另一个一位数除则余3。

请填上所有适合的情况。

根据所有条件，全面分析，有序思考：

式

（1）中，由除数与商的首位数之积是一个数字，知被除数的百位数字为1；

式

（2）中，由余数是3，且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”，知除数只能为4、5、6，被除数的前两位数为10，除数只能为5，被除数的末位数字为8，这个数为108；

因为108能被2、3、4、6、9整除，但除数为2不符合式

（1）的书写形式。

答案为：

18.竖式填空之巧填除法例题2

例2

由第一乘积和第一余数，知除数是35;商的十位数字可能是6或4。

商是62不合题意，则除数是35，商为42。

例3下式可整除，请在□中填进适当的数。

对比联想，逆向思考——转除为乘。

显然，A位只能为7。

B=5，是一定的。

C只能是2，到此整个算式解开。

19.竖式填空之巧填除法例题3

例4第五册数学思考题：

首尾观察：

观察式

（1），知商的百位上是6;再观察式

（2），知商的个位上是2。

则被除数为4816。

例5美国小学数学奥林匹克，第四次（1981年2月）题5：

在右边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A和B表示商的数字。

求A和B的值。

ABAB

由B×5□=432，知B=8;进而知A×54=□6□，A=3。

20.竖式填空之巧填乘法例题1

奥数难题：

竖式填空之巧填减法例题1

例1式中的字母各代表什么数。

M不能大于3，如果是4、则4×4＝16。

也不能小于3，如果是2，则2×2＝4，都不符合积的要求。

M＝3。

3×N＝21，N＝7；P＝0。

即