《线性代数理》综合复习资料doc.docx

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《线性代数（理）》综合复习资料

填空题

ax1入C]

2冏b、cx+勺

1、已知行列式

a2b2c2

=4,则

2a2b2c2+b2

a3b3c3

2a3伙c3+h3

（11、

2、2阶方阵力=的逆矩阵为A"二

匕3丿

<0>

々）、

0

&2=

2

0

则Q=

1

9

1

用线性表示的表达式

4、行列式D=

5=2,

/表示B的转置，贝卜

Q2

6、已知4=03

J°

0、

2,齐次方程组Ar=0有非零解，贝畀=

atb、c}

4舛2$-qC]

7、若

a2b2c2

—1,则

4a22b2一c2c2

a3”3C3

4曲2b3—c3C3

5

兀-1

0x

行列式

00

ab

0

-1

X

c

0

的第4行第3列元素C的代数余子式

-1

43

9、若徐冬是线性方程组Ax=b的两个解，则A（5+$2）=

alb\

q

2a{2b{2q

10、设

a2b2

C2

=a,则

2a22b22c2

a3/?

3

2禺2优2c3

%

11、设a2

a.

*b2$

b、

b2

2a

1

1

1

<1

0

-n

/、

12、齐次方程组

0

1

i

兀2

0

o丿

a3

为

0的通解（即所有解）可表示

二.选择题

<11

1）

/、

（1>

1、要使非齐次方程组

01

1

兀2

—

1

有无穷多个解，必须

<00

<7-2,

/

丿

3一3丿

A.a=2,b=3

B.a=2,b主3

C.aH2,b=3

D.dH2，b壬3

2、假设人B皆为〃阶可逆方阵，则卜•列式子不成立的是

A.（AB）'1=8^~]

B.（仙尸=川矿】

c.\ab\=\a\\b

D.\AB\^O

3、设4阶方阵A的秩为3,则下列说法正确的是

A.A的所有3阶子式都为零

B.A的所有3阶子式都不为零

c.|a|ho

D・|a|=o,但至少有一个3阶子式不为零

4、设A为“阶可逆方阵，则A的秩厂必定满足；

A.r=n

B.r=n-l

C.r

D.r

5、设为农阶方阵，则下列等式成立的是；

A.AB—BA

B.\a+b\=\a\+\b\

C.若AB=0则A=0或B=0

D.若\AB\=0则|A|=0或0|=0

6、设3维向量maj9a2,a3线性相关，则下列说法不正确的是

A.其中的任意两个向量都线性相关

B.对于任意一个3维向量0,向量组0,少,42，^3必线性相关

C.6^,03小必有一个向量可以用其余两个线性表示

D.存在不全为零的你込,心，使得k{a{+k2a2+k3a3=0

7、设A,B为同阶方阵，则必有:

A.\a+b\=\a\+\b

B.AB=BA

C.\ab\=\a\\b

D.（A+B）-1=A_1+5_,

8、若A为”阶方阵，且同乂0,贝ij非齐次方程组Ax=b的解的情况为—

A.无解

B.不能断定冇解

C.有唯一解

D.有无穷多个解

rl

1

1

r

9、矩阵

2

2

2

2

的秩为

<3

3

3

3

/

A.1

B.2

C.3

D.4

1（）、设A为加xn阶矩阵，则线性方程组Ax=b有解的充分必要条件为；

A.7?

（A）=m

B./?

（A）=n

C.R（A,b）=m

D.R（A,b）=R（A）

这里R（A）,R（A,b）分别表示矩阵A,增广矩阵（A,b）的秩

11、设4是斤阶可逆矩阵，4*是伴随矩阵，则下列等式成立的是；

A.\A\=A*

B.|矿

c.|a|h=A*

D.WW

12、设A是斤阶方阵，则它的〃个列向量匕，也,・・・,色线性无关的充分必要条件

为:

A.列向量组中任何一个向量都不能由其余的兀一1个向量线性表示

B.ava2,...,an均不为零向量

C.列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例

d.|a|=0

三、计算题

2411

43-11

1、计算行列式D=

0024

<1

1

P

3、已知A=

12

1

<1

1

3丿

（2）给出分别与爲,§2对应的特征值人,人;

4、

求矩阵X,使得4（E+X）=E；

0013

<-4

-1（）

（）、

了-2、

2>已知A=

1

3

0

'*51-

-1

'§2-

1

<3

6

1；

k_3>

<0>

（1）求码,街2

©

了3、

已知向最组©=

-i

也=

3

0

&4=

-i

/丿

<0>

（1）求向量组的秩;

（2）求向量组的一个授大无关组;

3330

22025、计算行列式D=

1011

0111

-1-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

1

<1-1

—11

6、已知A=

求屮;

-1）

-3,求

‘1-1

7、已知4=2-1

<-34

‘1〕

〔1）

8、已知向量组Q]=

1

也=

-1

心=

3

夠=

-1,

（1）求向量组的秩;

2100

0210

9、计算行列式0=“

0021

100/1

<12、

'ab'

10、己知矩阵A=

与3=

可交换，即AB=BA,求a,b；

L1-1;

32；

\y

1-n

11、已知A=

0

11

且满足A~+AX—E=0,

<0

（）—i丿

（1）求A-1；

（2）

求矩阵X；

<1

-1

1

-1、

12、已知矩阵人=

1

2

3

1

<3

3

7

1）

7

（1）求A的秩;

（2）

求A的列向最组的一个最人无关组;

-1

0

-1

4

100

—020

13、已知£）=

003

123

求其第4行元素的代数余了式Z和，即求A41+A42+A43+A44；

<0

1

0、

14、已知人=

-1

0

1

求从屮+2A：

<0

-1

0>

<0

1

2、

15、已知A=

1

1

4,

求4二

<2

-1

°丿

-2、

-6

1（）

2

‘1-13

1-32

16、已知矩阵人=

15-1

《线性代数（理）》综合复习资料参考答案

填空题

1、8

（3—1）

2、

1-21

11

4、-24

5、4

8

6、——

3

7、8

8、X2

9、2b

10>Sa

11、-2a2

12、Jt（l,-l,l）r

选择题

题目

1

?

3

4

5

6

答案

A

B

D

A

D

A

题目

7

8

9

1（）

11

12

答案

C

C

A

D

B

A

三、计算题

1

-1

2

1

1

1

4

3

24

43

1、计算行列式D=

00

00

2

4

41

3-

解:

D=

0

0

2

0

0

1

124

10-5

4~00

300

1

-3

2

1

1-5

-3-1

24=-20

13

（2）给出分别与§2对应的特征值人,人；

⑵码=—2鼻

（11

3、已知A=12

J1

1）

1,求矩阵X,使得A（E+X）=E；

3;

/

解：

X=A~[-E

<-4

-10

（）、

<5>

了-2、

2、己知人=

1

3

0

-1

'§2-

1

<3

6

1丿

<_3>

<0>

（1）求码,街2

一0、

解：

（1）対=2

3丿

'-2、

（A£）=

（1

1

所以X=A^]-E

5

2

-1

~2

'3

2

:

-1

-1

-1

7

~2

0

1

2）

_n

~2

0

_丄

~2>

<1、

（0）

r、

已知向量组©=

-1

=

3

s=

0

&4=

-i

/丿

<0>

0

~2

%1

a

0

3

1、

<1

0

3

1）

解：

3

0

-1

T

0

3

3

0

<4

2

14

0丿

<0

2

2

一4丿

‘1031、

t0110

（）00—2,

\7

所以，

（1）向量纟R的秩为3

（2）alya2,a4（或）为其一个最大无关组

3330

22025、计算行列式D=

1011

0111

解：

对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式

33

22D=

10

01

1

0

1

1

0

2

-2

0

0

3

0

-3

0

1

1

1

3

0

1

1

2

=-3

1

-20

0-3=-18

11

6、

-1-1

-1

-1

-1

-1

1

-1

-1

1

<1-1

—11

已知A=

求屮;

<1

-1

解：

A2=

-1

1

_1

-1

<-1

-1

-1

_1）

-1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

-1

-1

1丿

—

-1

-1

-1

1

-1

—1、

-1

-1

0、

0

=4E

0

所以，A10=（A2）5=210E

（1-1-1]

求川;

7>已知A=2—1-3

曰44丿

<1

-1

-1

1

0

0>

<1

-1

-1

1

0

（））

解:

（A,E）=

2

-1

-3

0

1

0

0

1

-1

-2

1

0

<-3

4

4

0

0

1丿

<0

1

1

3

0

01

i_丄

22

j_1

~2L

2、

1

p0

所以丄11

2

（5_1

丁

<1>

<0

8、已知向量组e=

1

&2=

-1

S=

3

也=

-1,

丄

<1；

.-1

\7

（1）求向量组的秩;

（2）求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示;

<11

1

1、

q

1

1

1）

解：

1-1

3

-1

0

-2

2

-2

J1

1

-1

<0

0

0

-2

/

所以，向量组的秩为3

a^a2.a4为其一个最大无关组

仃111、

<1020>

继续初等行变换得

1-13-1

—>

01-1（）

J11T丿

J）001丿

由此，=2ax-a2

2

0

1

2

0

1

0

0

9、计算行列式D=

•

•

0

0

A

1

1

0

0

2

解：

利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式

21

0AD=

00

10

000

10_0

A1-0

0A1

10-才

210

021

002

10-才

210=A4-1

021

（\

1（）、已知矩阵4=

11

b\

可交换，即AB=BAf求q,b

2丿

（a+6b+4、解：

AB=

—3b_2丿

（a+b2a-b\BA=

54

比较，得a-3=5.

/?

-2=4,所以q=&b=6

11、已知A

-1]

1,FL满足+AX—E=O,

（1）求A1；

-I

求矩

解：

（1）（A,E）=

<1

0

<0

-1

-1

—2、

所以，A-1

rl

0

<0

‘0

0

T丿

-2

0

0

-r

o

o>

p-11-1]

12、已知矩阵A=1231

、3371丿

<1

一1

1

-1、

<1

-1

1

-1]

解：

A：

二

1

2

3

1

T

0

3

2

2

3

7

1

<0

6

4

4丿

7

\

7

<1

—-

-1

1

-1、

T

0

3

2

2

0

0

0丿

（1）求A的秩;

（2）求A的列向量组的一个授大无关组;

所以，A的秩为2

A的任意两列都是列向量组的一个最大无关组

100-1

0200

13、已知/）=

003-1

1234

求其第4行元素的代数余子式之和,

即求A4I+A42+A43+A44；

10

02解：

A41+A42+A43+=

0

-1

0

0

3

-1

1

1

11

10

按第2行展开

=203

11

-1

-1

1

<0

1

0

14、已知A=

-1

0

1

<0

-1

0

求A?

A’+24；

=14

了0

1

0、

厂0

1

0、

<-l

0

解：

A2=

-1

0

1

-1

0

1

=

0

-2

0

-1

0>

-1

0丿

<1

0

-b

’01（）、

（-101、

‘0-20、

川=

-101

0-20

=

20-2

<0-1

」oi丿

<020,

-2A

所以A3+2A=O

15、已知A

-1

解:

（A,E）=

-1

-1

-1

-1

-2

1

2>

O'

所以,A"1

1

2>

<1

—2、

已知矩阵4=

10

（3

（1）求A的秩；

（2）求A的列向量组的一个最大无关组;

<1

-1

3

-2、

<1

-1

3

-2、

1

-3

2

-6

0

-2

-1

-4

解：

A=

1

5

-I

10

0

6

-4

12

<3

1

4

2丿

<0

4

-5

8丿

‘1-13

0-2-1

T001

、000

-2、

-4

0

所以，

（1）A的秩为3

（2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组