2.i为虚数单位,=（ ）
A.1B.-1C.iD.-i
3.（2015河北唐山一模,5）执行下边的程序框图,则输出的A是（ ）
A.B.
C.D.
4.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,2）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于（ ）
A.1B.
C.-2D.3
5.（2015河南商丘二模,3）已知向量a=（,1）,b=（0,-1）,c=（k,）,若a-2b与c共线,则k的值为（ ）
A.1B.-1
C.2D.-2
6.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无数个,则实数a的取值集合是（ ）
A.{-3,0}B.{3,-1}
C.{0,1}D.{-3,0,1}
7.（2015广东广州一模,5）已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是（ ）
8.（2015广东广州一模,5）设抛物线C:
y2=4x上一点P到y轴的距离为4,则点P到抛物线C的焦点的距离是（ ）
A.4B.5
C.6D.7
9.（2015浙江杭州7校期末,7）已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC的中点,则||=（ ）
A.2B.4
C.6D.8
10.如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A.y=2x-x2-1
B.y=
C.y=（x2-2x）ex
D.y=
11.（2015四川资阳三模,9）如图,已知双曲线=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.2D.3
12.已知函数f（x）=cosxsin2x,下列结论中错误的是（ ）
A.f（x）既是偶函数又是周期函数
B.f（x）的最大值是1
C.f（x）的图象关于点对称
D.f（x）的图象关于直线x=π对称
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.（2015广东广州一模,13）已知函数f（x）=,点O为坐标原点,点An（n,f（n））（n∈N*）,向量i=（0,1）,θn是向量与i的夹角,则+…+的值为 .
14.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PAB的面积小于的概率是 .
15.（2015浙江杭州7校期末,15）若实数x,y满足x2+y2=4,则的取值范围是 .
16.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,14）设a=2xdx,则的展开式中常数项为 .
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,19）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a5=,S7=63.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）若数列{bn}满足b1=a1,bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.
18.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸（单位:
mm）的值落在[29.94,30.06）的零件为优质品.从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸的结果如下表:
甲厂的零件内径尺寸:
分
组
[29.86,
29.90）
[29.90,
29.94）
[29.94,
29.98）
[29.98,
30.02）
[30.02,
30.06）
[30.06,
30.10）
[30.10,
30.14）
频
数
15
30
125
198
77
35
20
乙厂的零件内径尺寸:
分
组
[29.86,
29.90）
[29.90,
29.94）
[29.94,
29.98）
[29.98,
30.02）
[30.02,
30.06）
[30.06,
30.10）
[30.10,
30.14）
频
数
40
70
79
162
59
55
35
（1）由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”;
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附:
K2=,其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂中抽取5件零件,从这已知的5件零件中任意抽取2件,将这2件零件中的优质品数记为X,求X的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）已知在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短的侧棱PC上的动点.
（1）求证:
P,A,B,C,D五点在同一个球面上,并求该球的体积;
（2）如果点F在线段BD上,DF=3BF,EF∥平面PAB,求的值;
（3）在
（2）的条件下,求二面角B-EF-C的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C1:
+y2=1（a>1）的长轴、短轴、焦距分别为A1A2,B1B2,F1F2,且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项.
（1）求椭圆C1的方程;
（2）若曲线C2的方程为（x-t）2+y2=（t2+t）2,过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切,求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值.
21.（本小题满分12分）（2015广东广州一模,21）已知函数f（x）=ln（1+x）+x2-x（a≥0）.
（1）若f（x）>0对x∈（0,+∞）都成立,求a的取值范围;
（2）已知e为自然对数的底数,证明:
∀n∈N*,请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,22）如图,A,B,C为☉O上的三个点,AD是∠BAC的平分线,交☉O于点D,过B作☉O的切线交AD的延长线于点E.
（1）证明:
BD平分∠EBC;
（2）证明:
AE·DC=AB·BE.
23.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l经过定点P（3,5）,倾斜角为.
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;
（2）设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
24.（本小题满分10分）（2015云南弥勒一模,24）已知f（x）=|x+1|+|x-1|,不等式f（x）<4的解集为M.
（1）求M;
（2）当a,b∈M时,证明:
2|a+b|<|4+ab|.
教师用卷参考答案（8-4）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.（2015四川资阳三模,1）已知集合A={x|x2<4},B={x|-1≤x≤4},则A∪B=（ ）
A.{x|-1≤x<2}
B.{x|-2C.{x|-1≤x<4}
D.{x|-4解析:
A={x|-2所以A∪B={x|-2答案:
B
2.i为虚数单位,=（ ）
A.1B.-1C.iD.-i
解析:
因为=-i,
所以=（-i）2=-1,故选B.
答案:
B
3.（2015河北唐山一模,5）执行下边的程序框图,则输出的A是（ ）
A.B.
C.D.
解析:
i=0,A=2;A=2+,i=1;A=2+,i=2;A=2+,i=3;A=2+,i=4;输出A,A=.
答案:
C
4.（2015辽宁朝阳三校协作体一模,2）等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于（ ）
A.1B.
C.-2D.3
解析:
因为S3=6,所以a1+（a1+d）+（a1+2d）=6,即3a1+3d=6⇒a1+d=2.
因为a1=4,所以d=-2.故选C.
答案:
C
5.（2015河南商丘二模,3）已知向量a=（,1）,b=（0,-1）,c=（k,）,若a-2b与c共线,则k的值为（ ）
A.1B.-1
C.2D.-2
解析:
利用向量的运算和向量共线定理即可得出.
∵a=（,1）,b=（0,-1）,
∴a-2b=（,1）-2（0,-1）=（,3）.
∵a-2b与c共线,∴-3k=0,
∴k=1.故选A.
答案:
A
6.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无数个,则实数a的取值集合是（ ）
A.{-3,0}B.{3,-1}
C.{0,1}D.{-3,0,1}
解析:
作出不等式组表示的区域如下图所示.由z=ax+y得y=-ax+z.当-a>0时,平行直线的倾斜角为锐角,从第一个图可看出,当a=-1时,线段AC上的所有点都是最优解;当-a<0时,平行直线的倾斜角为钝角,从第二个图可看出,当a=3时,线段BC上的所有点都是最优解.故选B.
答案:
B
7.（2015广东广州一模,5）已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该锥体的俯视图可以是（ ）
解析:
由正视图得:
该锥体的高是h=,因为该锥体的体积为,所以该锥体的底面面积是S==2.A项的正方形的面积是2×2=4,B项的圆的面积是π×12=π,C项的三角形的面积是×2×2=2,D项的三角形的面积是×22=,故选C.
答案:
C
8.（2015广东广州一模,5）设抛物线C:
y2=4x上一点P到y轴的距离为4,则点P到抛物线C的焦点的距离是（ ）
A.4B.5
C.6D.7
解析:
抛物线C的准线方程为x=-1,设抛物线C的焦点为F,由抛物线的定义知:
|PF|=d（d为点P到抛物线C的准线的距离）,而d=4+1=5,所以|PF|=5,故选B.
答案:
B
9.（2015浙江杭州7校期末,7）已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC的中点,则||=（ ）
A.2B.4
C.6D.8
解析:
因为）=2m-2n,
故||2=（2m-2n）2=4×3-8m·n+4×4=28-8××2×cos=28-24=4,所以||=2.
答案:
A
10.如图可能是下列哪个函数的图象（ ）
A.y=2x-x2-1
B.y=
C.y=（x2-2x）ex
D.y=
解析:
对于选项A,x=1显然是函数的零点,此外f（4）·f（5）<0,即函数在区间（4,5）上还至少有一个零点,与图象不符;对于选项B,当x→+∞时,y→0,与图象不符;对于选项D,显然定义域为x>0,且x≠1,与图象不符.故选C.
答案:
C
11.（2015四川资阳三模,9）如图,已知双曲线=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.2D.3
解析:
QF1=MF1=2+PF2.
又PF1-PF2=2+QF1-PF2=2a,
∴2+2=2a,∴a=2.
∴离心率e==2,选C.
答案:
C
12.已知函数f（x）=cosxsin2x,下列结论中错误的是（ ）
A.f（x）既是偶函数又是周期函数
B.f（x）的最大值是1
C.f（x）的图象关于点对称
D.f（x）的图象关于直线x=π对称
解析:
因为f（-x）=cos（-x）sin2（-x）=cosxsin2x=f（x）,所以函数f（x）为偶函数.
又因为f（x+2π）=cos（x+2π）sin2（x+2π）=cosxsin2x=f（x）,所以函数f（x）为周期函数,故选项A正确;f（x）=cosxsin2x=sin2xsinx,其最大值一定小于1,故选项B错误;因为f（π-x）=sin（2π-2x）·sin（π-x）=-sin2xsinx=-f（x）,所以函数f（x）的图象关于点对称,故选项C正确;
因为f（2π-x）=sin（4π-2x）sin（2π-x）=f（x）,
所以函数f（x）的图象关于x=π对称,故选项D正确.
答案:
B
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.（2015广东广州一模,13）已知函数f（x）=,点O为坐标原点,点An（n,f（n））（n∈N*）,向量i=（0,1）,θn是向量与i的夹角,则+…+的值为 .
解析:
因为f（n）=,
所以,
所以cosθn=,
因为0≤θn≤π,
所以sinθn=,
所以.
所以+…+
=1-+…+
=1-.
答案:
14.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PAB的面积小于的概率是 .
解析:
如图,PE⊥AB,设矩形的边长AB=a,BC=b,PE=h,由题意得ah≤,∴h≤,由几何概型的概率计算公式得所求概率P=.
答案:
15.（2015浙江杭州7校期末,15）若实数x,y满足x2+y2=4,则的取值范围是 .
解析:
令x+y=t（t≠2）,
则xy=.
又≤2,得t∈[-2,2]且t≠2,
所以∈[1-,2）∪（2,1+].
答案:
[1-,2）∪（2,1+]
16.（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,14）设a=2xdx,则的展开式中常数项为 .
解析:
a=2xdx=x2=4-1=3,
∴Tr+1=（ax）6-ra6-r（-1）rx6-2r,令6-2r=0,
得r=3,因此展开式中常数项为33（-1）3=-540.
答案:
-540
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）（2015河南商丘二模,19）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a5=,S7=63.
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）若数列{bn}满足b1=a1,bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn.
解:
（1）方法一:
设正项等差数列{an}的首项为a1,公差为d,an>0,
则
解得
∴an=3+（n-1）×2=2n+1.
方法二:
∵{an}是等差数列且a1+a5=,
∴2a3=.
又∵an>0,∴a3=7.
∵S7==7a4=63,∴a4=9.
∴d=a4-a3=2.∴an=a3+（n-3）d=2n+1.
（2）∵bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,
∴bn+1-bn=2n+3.
当n≥2时,bn=（bn-bn-1）+…+（b2-b1）+b1
=（2n+1）+…+5+3=n（n+2）,
当n=1时,b1=3满足上式,bn=n（n+2）.
∴.
∴Tn=+…+
=
=
=.
18.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸（单位:
mm）的值落在[29.94,30.06）的零件为优质品.从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽出500件,量其内径尺寸的结果如下表:
甲厂的零件内径尺寸:
分
组
[29.86,
29.90）
[29.90,
29.94）
[29.94,
29.98）
[29.98,
30.02）
[30.02,
30.06）
[30.06,
30.10）
[30.10,
30.14）
频
数
15
30
125
198
77
35
20
乙厂的零件内径尺寸:
分
组
[29.86,
29.90）
[29.90,
29.94）
[29.94,
29.98）
[29.98,
30.02）
[30.02,
30.06）
[30.06,
30.10）
[30.10,
30.14）
频
数
40
70
79
162
59
55
35
（1）由以上统计数据填下面2×2列联表,并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”;
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附:
K2=,其中n=a+b+c+d.
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层）从乙厂中抽取5件零件,从这已知的5件零件中任意抽取2件,将这2件零件中的优质品数记为X,求X的分布列及数学期望.
解:
（1）2×2列联表如下:
甲厂
乙厂
合计
优质品
400
300
700
非优质品
100
200
300
合计
500
500
1000
K2=≈47.619>10.828.
所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”.
（2）分层抽样从乙厂抽取优质品3件,非优质品2件.
X取值为0,1,2.
P（X=0）=,P（X=1）=,
P（X=2）=,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E（X）=0×+1×+2×.
19.（本小题满分12分）已知在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短的侧棱PC上的动点.
（1）求证:
P,A,B,C,D五点在同一个球面上,并求该球的体积;
（2）如果点F在线段BD上,DF=3BF,EF∥平面PAB,求的值;
（3）在
（2）的条件下,求二面角B-EF-C的余弦值.
（1）证明:
设PA的中点为M,连接AC,CM,
∵△PAC为直角三角形,
∴CM=PM=AM=.
设正方形ABCD的中心为点O,连接OM,则OM∥PC,OM=1.
∵PC⊥底面ABCD,
∴OM⊥底面ABCD,
又O为BD的中点,连接BM,DM.
则BM=DM=,
∴CM=PM=AM=BM=DM,
故点P,A,B,C,D在以M为球心,半径为的球上,且V球M=π.
（2）解:
连接CF并延长交AB于K,连接PK.
∵EF∥平面PAB,EF⊂平面PCK,平面PCK∩平面PAB=PK,
∴EF∥PK.
∵DF=3BF,AB∥CD,∴CF=3KF.
∵EF∥PK,∴CE=3PE,∴.
（3）解:
以C为原点,所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz,则C（0,0,0）,D（1,0,0）,A（1,1,0）,B（0,1,0）,P（0,0,2）.
∵DF=3BF,CE=3PE,
得E,F,
故.
设n1=（x,y,z）是平面BEF的法向量,
则n1·x+y-z=0,n1·x-y=0.
取x=1,则n1=.
设n2=（p,q,r）是平面CEF的法向量,
则n2·p+q-r=0,n2·p+q=0.
取p=3,则n2=（3,-1,0）,
设向量n1,n2的夹角为θ,
则cosθ=.
故二面角B-EF-C的余弦值为-.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C1:
+y2=1（a>1）的长轴、短轴、焦距分别为A1A2,B1B2,F1F2,且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项.
（1）求椭圆C1的方程;
（2）若曲线C2的方程为（x-t）2+y2=（t2+t）2,过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切,求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值.
解:
（1）由题意得|B1B2|=2b=2,|A1A2|=2a,|F1F2|=2c,a2-b2=c2,又2×（2c）2=（2a）2+22,解得a2=3,c2=2,故椭圆C1的方程为+y2=1.
（2）由
（1）可取椭圆的左顶点坐标为A1（-,0）,设直线l的方程为y=k（x+）.
由直线l与曲线C2相切得=（t+）t,整理得=t.
又因为0联立消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+9k2-3=0.
直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1（-,0）,设另一端点为B,解方程可得点B的坐标为,
所以|A1B|=.
令m=（1则|A1B|=.
由函数y=3m-的性质知y=3m-在区间（1,]上是增函数,所以当m=时,y=3m-取得最大值2,从而|A1B|min=.
21.（本小题满分12分）（2015广东广州一模,21）已知函数f（x）=ln（1+x）+x2-x（a≥0）.
（1）若f（x）>0对x∈（0,+∞）都成立,求a的取值范围;
（2）已知e为自然对数的底数,证明:
∀n∈N*,（1）解:
∵f（x）=ln（1+x）+x2-x,其定义域为（-1,+∞）,
∴f'（x）=+ax-1=.
①当a=0时,f'（x）=-,当x∈（0,+∞）时,f'（x）<0,
则f（x）在区间（0,+∞）上单调递减,此时,f（x）②当00,
当x∈时,f'（x）<0,则f（x）在区间上单调递减,
此时,f（x）③当a=1时,f'（x）=,当x∈（0,+∞）时,f'（x）>0,
则f（x）在区间（0,+∞）上单调递增,
此时,f（x）>f（0）=0,符合题意.
④当a>1时,令f'（x）=0,得x1=0,x2=<0,当x∈（0,+∞）时,f'（x）>0,
则f（x）在区间（0,+∞）上单调递增,此时,f（x）>f（0）=0,符合题意.
综上所述,a的取值范围为[1,+∞）.
（2）证明:
由
（1）可知,当a=0时,f（x）<0对x∈（0,+∞）都成立,
即ln（1+x）∴ln+ln+…+ln
<+…+,
即ln
<.
由于n∈N*,则=1.
∴ln<1.
∴由
（1）可知,当a=1时,f（x）>0对x∈（0,+∞）都成立,
即x-x2∴
即
得
由于n∈N*,
则.
∴∴.
∴请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）（2015东北三省四市教研联合体高考模拟一,22）如图,A
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