九年级数学第14讲 正多边形和圆教案.docx

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九年级数学第14讲正多边形和圆教案

正多边形和圆

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

正多边形和圆

教学目标

1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，正多边形内角、中心角的求法.

2、掌握圆与正多边形之间的关系及其相关运算.

3、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.

教学重点

正多边形内角、中心角的求法，正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.

教学难点

会应用圆与圆的内接正多边形的边长之间的关系解数学问题.

教学过程

一、课堂导入

观察图片，思考我们学过的正多边形圆本章我们学习的圆的知识有怎样的关系？

二、复习预习

切线长定理

1、切线长定义：

从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长（如图AB长度即为切线长）.

2、切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO.

三、知识讲解

考点/易错点1

1、与正多边形有关的概念

正多边形的中心：

正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

正多边形的边心距：

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

中心角：

正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点/易错点2

正多边形的定义、正多边形的对称性

1、定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系

只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

4、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

四、例题精析

【例题1】

【题干】如果一个正多边形的内角和等于900°，那么这个正多边形是（　　）

A．正六边形B．正七边形C．正方形D．正三角形

【答案】B．

【解析】根据正多边形的内角和定义（n-2）×180°列方程求解．

解：

（n-2）×180°=900°，

n-2=5，

∴n=7．

【例题2】

【题干】下面给出五个命题

（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆

（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形

（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形

（4）正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形

（5）正n边形的中心角

，且与每一个外角相等

其中真命题有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】A．

【解析】利用正多边形的性质对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数．

解：

（1）正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；

（2）各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；

（3）圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；

（4）边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；

（5）正n边形的中心角

，且与每一个外角相等．

故正确的是

（1）（5）．

【例题3】

【题干】

（1）如图1，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC多少度？

；

（2）如图2，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC﹦α﹒

①如果α﹦45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？

若有可能，那么此多边形是几边形？

请说明理由﹒

②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为？

﹒

【答案】30°、正方形、

【解析】

（1）先根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；

（2）①假设AC是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为

，故此多边形是正方形；

②根据正多边形内角和定理即可求出答案．

解：

（1）∵△PAC是圆O的内接正三角形，

∴∠AOC=2∠APC=2×60°=120°，

∵OA=OC，

；

（2）①能﹒

∵α=45°，

∴圆内接正多边形的一个内角为90°，

∴是正方形﹒

②∵AC是圆的内接正n边形的一边，

【例题4】

【题干】如图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．

（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；

（3）根据前面探索和图3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

【答案】解：

（1）方法一：

连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M．

∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，

∴OA=OB．

∵正方形ABCD，

∴OM=

AB，

∴S△ABO=

S正方形ABCD．（1分）

∵∠AOB=90°，

∴∠OAF=∠OBE=45度．（2分）

又∵∠A‘OC‘=90°，∠AOF+∠A‘OB=∠A‘OB+∠BOE=90°，

∴∠AOF=∠BOE．

∴△AOF≌△BOE．（3分）

∴S△AOF=S△BOE．

∴重叠部分面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF=S△ABO=

S正方形ABCD．

∴S阴影=

S正方形ABCD．

∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：

3．（4分）

方法二：

过正方形ABCD的外接圆圆心O分别作OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为M，N．

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∴OM=ON=

AB．（1分）

∵∠ABC=90°，

∴四边形MBNO为矩形．

∵OM=ON，

∴四边形MBNO为正方形．

∴S正方形MBNO=

S正方形ABCD．（2分）

∵∠FOE=90°，

∴∠FOM+∠MOE=∠MOE+∠EON=90度．

∴∠FOM=∠EON．

∴△FOM≌△EON．（3分）

∴S△FOM=S△EON．

∴重叠部分面积=S△FOM+S四边形MBEO=S四边形MBEO+S△EON=S正方形MBNO=

S正方形ABCD．

∴S阴影=

S正方形ABCD．

∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1：

3．（4分）

（2）1：

2；（5分）

（3）n边形的每一个内角度数=

，阴影部分对应的中心角=360°-

=

，

两个相同正n边形重叠部分面积与阴影部分面积之比=

：

=（n-2）：

（n+2）．

但当边数超过六以后，正多边形的边长小于半径，因而结论不适合推广．（7分）

【解析】可先根据两个图形的特殊位置得到结果，然后证明一般的情况下结果相同，把问题转化为证明图形全等．

【例题5】

【题干】如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．

（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；

（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数

（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）

【答案】解：

（1）∠APN=60∘.

∵∠APN=∠ABP+∠BAP，

且点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动，

∴BMˆ=CNˆ，

∴∠ABP=∠NBC，

∴∠APN=∠ABP+∠NBC，

即∠APN=∠ABC=60∘；

（2）同理：

图2中,∠APN=∠ABC=90∘;图3中,∠APN=∠ABC=108∘；

（3）由

（1）

（2）可知∠APN的度数等于多边形的内角的度数，

当正多边形为n边形时,其内角和为

，

所以每个内角的度数为

，

所以∠APN=

【解析】

（1）由△ABC为等边三角形可知∠ABC=60°，再由等速运动可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性质可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代换可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度数；

（2）和

（1）同理可得到∠APN的度数和∠ABC的度数相等，图③中∠APN的度数和∠ABC的度数相等；

（3）结合

（1）

（2）可得到∠APN的度数等于多边形的内角的度数，可得到结论．

课程小结

1．正多边的有关概

念，正多边形与圆的关系.

2．正多边形的半径、正多

边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系．

3．运用以上的知识解决实际问题．