江苏省十三市中考数学解答题压轴题汇编.docx

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江苏省十三市中考数学解答题压轴题汇编

江苏省十三市2017年中考数学解答题压轴题汇编

1．（2017·南京）已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．

（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　　．

A.0B.1C.2D.1或2

（2）求证：

不论m为何值.该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．

（3）当﹣2≤m≤3时.求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

2．（2017·南京）折纸的思考．

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步.对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①）.使AB与DC重合.得到折痕EF.把纸片展平（图②）．

第二步.如图③.再一次折叠纸片.使点C落在EF上的P处.并使折痕经过点B.得到折痕BG.折出PB、PC.得到△PBC．

（1）说明△PBC是等边三角形．

【数学思考】

（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现.在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化.可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为3cm.另一边长为acm.对于每一个确定的a的值.在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图.并写出对应的a的取值范围．

【问题解决】

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片.所需正方形铁片的边长的最小值为　　cm．

3．（2017·无锡）如图.以原点O为圆心.3为半径的圆与x轴分别交于A.B两点（点B在点A的右边）.P是半径OB上一点.过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C.D两点（点C在点D的上方）.直线AC.DB交于点E．若AC：

CE=1：

2．

（1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E.且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．

4．（2017·无锡）如图.已知矩形ABCD中.AB=4.AD=m.动点P从点D出发.在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动.连接CP.作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6.求当P.E.B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：

在动点P从点D到点A的整个运动过程中.有且只有一个时刻t.使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．

5．（2017·徐州）如图.将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠.展平后.得折痕AD、BE（如图①）.点O为其交点．

（1）探求AO与OD的数量关系.并说明理由；

（2）如图②.若P.N分别为BE.BC上的动点．

①当PN+PD的长度取得最小值时.求BP的长度；

②如图③.若点Q在线段BO上.BQ=1.则QN+NP+PD的最小值=　　．

6．（2017·徐州）如图.已知二次函数y=

x2﹣4的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.⊙C的半径为

.P为⊙C上一动点．

（1）点B.C的坐标分别为B（　　）.C（　　）；

（2）是否存在点P.使得△PBC为直角三角形？

若存在.求出点P的坐标；若不存在.请说明理由；

（3）连接PB.若E为PB的中点.连接OE.则OE的最大值=　　．

7．（2017·常州）如图.在平面直角坐标系xOy.已知二次函数y=﹣

x2+bx的图象过点A（4.0）.顶点为B.连接AB、BO．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若C是BO的中点.点Q在线段AB上.设点B关于直线CQ的对称点为B'.当△OCB'为等边三角形时.求BQ的长度；

（3）若点D在线段BO上.OD=2DB.点E、F在△OAB的边上.且满足△DOF与△DEF全等.求点E的坐标．

8．（2017·常州）如图.已知一次函数y=﹣

x+4的图象是直线l.设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B．

（1）求线段AB的长度；

（2）设点M在射线AB上.将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N.以点N为圆心.NA的长为半径作⊙N．

①当⊙N与x轴相切时.求点M的坐标；

②在①的条件下.设直线AN与x轴交于点C.与⊙N的另一个交点为D.连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q.当△APQ与△CDE相似时.求点P的坐标．

9．（2017·苏州）如图.已知△ABC内接于⊙O.AB是直径.点D在⊙O上.OD∥BC.过点D作DE⊥AB.垂足为E.连接CD交OE边于点F．

（1）求证：

△DOE∽△ABC；

（2）求证：

∠ODF=∠BDE；

（3）连接OC.设△DOE的面积为S1.四边形BCOD的面积为S2.若

=

.求sinA的值．

10．（2017·苏州）如图.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.OB=OC．点D在函数图象上.CD∥x轴.且CD=2.直线l是抛物线的对称轴.E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①.连接BE.线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上.求点F的坐标；

（3）如图②.动点P在线段OB上.过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M.与抛物线交于点N．试问：

抛物线上是否存在点Q.使得△PQN与△APM的面积相等.且线段NQ的长度最小？

如果存在.求出点Q的坐标；如果不存在.说明理由．

11．（2017·南通）我们知道.三角形的内心是三条角平分线的交点.过三角形内心的一条直线与两边相交.两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似.则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．

（1）等边三角形“內似线”的条数为　　；

（2）如图.△ABC中.AB=AC.点D在AC上.且BD=BC=AD.求证：

BD是△ABC的“內似线”；

（3）在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=4.BC=3.E、F分别在边AC、BC上.且EF是△ABC的“內似线”.求EF的长．

12．（2017·南通）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）.与y轴正半轴相交于点C.过点A作AD⊥x轴.垂足为D．

（1）若∠AOB=60°.AB∥x轴.AB=2.求a的值；

（2）若∠AOB=90°.点A的横坐标为﹣4.AC=4BC.求点B的坐标；

（3）延长AD、BO相交于点E.求证：

DE=CO．

13．（2017·连云港）如图.已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3.0）.B（4.1）.且与y轴交于点C.连接AB、AC、BC．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M.请直接写出圆心M的坐标；

（3）若将抛物线沿射线BA方向平移.平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1.△A1B1C1的外接圆记为⊙M1.是否存在某个位置.使⊙M1经过原点？

若存在.求出此时抛物线的关系式；若不存在.请说明理由．

14．（2017·连云港）问题呈现：

如图1.点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上.AE=DG.求证：

2S四边形EFGH=S矩形ABCD．（S表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：

若图1中AH≠BF.点G在CD上移动时.上述结论会发生变化.分别过点E、G作BC边的平行线.再分别过点F、H作AB边的平行线.四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1.得到矩形A1B1C1D1．

如图2.当AH＞BF时.若将点G向点C靠近（DG＞AE）.经过探索.发现：

2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S

．

如图3.当AH＞BF时.若将点G向点D靠近（DG＜AE）.请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S

之间的数量关系.并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4.点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点.已知AH＞BF.AE＞DG.S四边形EFGH=11.HF=

.求EG的长．

（2）如图5.在矩形ABCD中.AB=3.AD=5.点E、H分别在边AB、AD上.BE=1.DH=2.点F、G分别是边BC、CD上的动点.且FG=

.连接EF、HG.请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

15．（2017·淮安）【操作发现】

如图①.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°.点B的对应点为B′.点C的对应点为C′.连接BB′；

（2）在

（1）所画图形中.∠AB′B=　　．

【问题解决】

如图②.在等边三角形ABC中.AC=7.点P在△ABC内.且∠APC=90°.∠BPC=120°.求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考.对上述问题形成了如下想法：

想法一：

将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°.得到△AP′B.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系；

想法二：

将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°.得到△AP′C′.连接PP′.寻找PA.PB.PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法.完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③.在四边形ABCD中.AE⊥BC.垂足为E.∠BAE=∠ADC.BE=CE=2.CD=5.AD=kAB（k为常数）.求BD的长（用含k的式子表示）．

16．（2017·淮安）如图①.在平面直角坐标系中.二次函数y=﹣

x2+bx+c的图象与坐标轴交于A.B.C三点.其中点A的坐标为（﹣3.0）.点B的坐标为（4.0）.连接AC.BC．动点P从点A出发.在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时.动点Q从点O出发.在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动.当其中一点到达终点时.另一点随之停止运动.设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）填空：

b=　　.c=　　；

（2）在点P.Q运动过程中.△APQ可能是直角三角形吗？

请说明理由；

（3）在x轴下方.该二次函数的图象上是否存在点M.使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在.请求出运动时间t；若不存在.请说明理由；

（4）如图②.点N的坐标为（﹣

.0）.线段PQ的中点为H.连接NH.当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时.请直接写出点Q′的坐标．

17．（2017·盐城）【探索发现】

如图①.是一张直角三角形纸片.∠B=90°.小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形.经过多次操作发现.当沿着中位线DE、EF剪下时.所得的矩形的面积最大.随后.他通过证明验证了其正确性.并得出：

矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　　．

【拓展应用】

如图②.在△ABC中.BC=a.BC边上的高AD=h.矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上.顶点Q、M在边BC上.则矩形PQMN面积的最大值为　　．（用含a.h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③.有一块“缺角矩形”ABCDE.AB=32.BC=40.AE=20.CD=16.小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角）.求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④.现有一块四边形的木板余料ABCD.经测量AB=50cm.BC=108cm.CD=60cm.且tanB=tanC=

.木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN.求该矩形的面积．

18．（2017·盐城）如图.在平面直角坐标系中.直线y=

x+2与x轴交于点A.与y轴交于点C.抛物线y=﹣

x2+bx+c经过A、C两点.与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD.设直线BD交线段AC于点E.△CDE的面积为S1.△BCE的面积为S2.求

的最大值；

②过点D作DF⊥AC.垂足为点F.连接CD.是否存在点D.使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？

若存在.求点D的横坐标；若不存在.请说明理由．

19．（2017·扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售.为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系.经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）

30

35

40

45

50

日销售量p（千克）

600

450

300

150

0

（1）请你根据表中的数据.用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格.才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用.当40≤x≤45时.农经公司的日获利的最大值为2430元.求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）

20．（2017·扬州）如图.已知正方形ABCD的边长为4.点P是AB边上的一个动点.连接CP.过点P作PC的垂线交AD于点E.以PE为边作正方形PEFG.顶点G在线段PC上.对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1.则AE=　　；

（2）①求证：

点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时.点O也随之运动.求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中.△APE的外接圆的圆心也随之运动.求该圆心到AB边的距离的最大值．

21．（2017·镇江）如图.在平面直角坐标系中.矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上.点B坐标为（4.t）（t＞0）.二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B.顶点为点D．

（1）当t=12时.顶点D到x轴的距离等于　　；

（2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合）.求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F.直线l平行于x轴.交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N.连接DM、DN.当△DMN≌△FOC时.求t的值．

22．（2017·镇江）【回顾】

如图1.△ABC中.∠B=30°.AB=3.BC=4.则△ABC的面积等于　　．

【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺.一个含有30°的角.较短的直角边长为a；另一个含有45°的角.直角边长为b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3）.用了两种不同的方法计算它的面积.从而推出sin75°=

.小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4）.也推出sin75°=

.请你写出小明或小丽推出sin75°=

的具体说理过程．

【应用】

在四边形ABCD中.AD∥BC.∠D=75°.BC=6.CD=5.AD=10（如图5）

（1）点E在AD上.设t=BE+CE.求t2的最小值；

（2）点F在AB上.将△BCF沿CF翻折.点B落在AD上的点G处.点G是AD的中点吗？

说明理由．

23．（2017·泰州）阅读理解：

如图①.图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中.若线段PA1最短.则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．

例如：

图②中.线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．

解决问题：

如图③.平面直角坐标系xOy中.点A、B的坐标分别为（8.4）.（12.7）.点P从原点O出发.以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．

（1）当t=4时.求点P到线段AB的距离；

（2）t为何值时.点P到线段AB的距离为5？

（3）t满足什么条件时.点P到线段AB的距离不超过6？

（直接写出此小题的结果）

24．（2017·泰州）平面直角坐标系xOy中.点A、B的横坐标分别为a、a+2.二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B.且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．

（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．

①当a=1、d=﹣1时.求k的值；

②若y1随x的增大而减小.求d的取值范围；

（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时.判断直线AB与x轴的位置关系.并说明理由；

（3）点A、B的位置随着a的变化而变化.设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D.线段CD的长度会发生变化吗？

如果不变.求出CD的长；如果变化.请说明理由．

25．（2017·宿迁）如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A.B两点（点A在点B的左侧）.将该抛物线位于x轴上方曲线记作M.将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折.翻折后所得曲线记作N.曲线N交y轴于点C.连接AC、BC．

（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求△ABC外接圆的半径；

（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点.点Q为x轴上的一个动点.若以点B.C.P.Q为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标．

26．（2017·宿迁）如图.在矩形纸片ABCD中.已知AB=1.BC=

.点E在边CD上移动.连接AE.将多边形ABCE沿直线AE翻折.得到多边形AB′C′E.点B、C的对应点分别为点B′、C′．

（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1）.求线段CE的长；

（2）若B′C′分别交边AD.CD于点F.G.且∠DAE=22.5°（如图2）.求△DFG的面积；

（3）在点E从点C移动到点D的过程中.求点C′运动的路径长．