相移技术五帧任意步距相移算法.docx
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相移技术五帧任意步距相移算法
相移技术：
五帧任意步距相移算法
G.Stoilov&T.Dragostinov
光信息存储和处理的科学院中心实验室，保加利亚，索菲亚，邮政信箱1113，保加利亚9.5
（收到1995.7.31修订版1996.8.2；出版1996.8.16）
摘要
Thepresentpaperoffersanewformulaforcalculatingthephaseininterferometricmeasurementsbythephase-steppingmethod.Theproposedfive-framealgorithmutilizesequalphasestepswithanarbitraryvalue.Resultsarepresentedoncomputersimulationoftheerrorsoccurringataphase-stepdifferentfrom90
andduetovibrationsinthesystem‘interferometer-object’.©1997ElsevierScienceLtd.
本文提供了一种新的相移法计算在干涉测量中的相位计算公式。
该算法所提出的五步运算法则利用相移量任意的等步长相移。
用计算机模拟该算法得出的结果误差出现在相移步长不为90
和系统中干涉对象的摆动。
©1997Elsevier科学有限公司
1引言
Itisknownthatthephase-steppingmethod（PSM）,usedtocalculatethephaseininterferometricmeasurements,isbasedonthebasicinterferometricequation.
Whentwoplanewavesinterfere,theinterferometercanbeadjustedtoproduceaninterferencepatternintheformofverticalfringes：
（1）
已知的相移法（PSM）是用于计算干涉测量中的相位，是基于这个基本的干涉等式
.当两个平面波的干涉，干涉结果可以被校正产生垂直条纹的干涉图案：
where
istheintensityofthenthpicture,Zistheilluminatingintensity,misthemodulationindex,kisthespatialfrequency,
isthephasechange,causedbythechangeinthemeasuredquantityp,and
istheangleofeachphasestep.
其中
是第n个图像的强度，Z表示背景强度，k是空间频率，
表示相位这个相位的变化，由被测量量p的变化而变化，
是每个相位的变化角。
Thephaseiscalculatedbymakingatleastthreemeasurementsoftheintensitydistributionatdifferentphases.Withtheevolutionofthephase-steppingmethod,severalalgorithmsforphasecalculationhavebecomepopular.
计算相位时至少要在不同相位下做三次强度分布的测量。
随着相移法的发展，几种相移法的计算已经变得很普遍。
Three-framemethodwithaphasestep90
：
90度相移的三帧法：
（2）
Three-framemethodwithaphasestep120
:
120度相移的三帧法：
（3）
Four-framemethodwithaphasestep90
:
90度相移的四帧法：
C
（4）
Four-framemethodwithaphasestepwithreducederror:
减少误差90度相移四帧法：
（5）
Four-framemethodwithanarbitrarystep:
任意相移的四帧法：
（6）
Five-framemethodwithaphasestep90
:
90度相移的5帧法：
（7）
where
and
arethemeasuredintensitiesofeachpixelatphasesteps
and
respectively.
和
分别是在
和
相移下测的各像素的强度。
Accordingtothemannerofmotionofthephase-shiftingmirrorintheinterferometer,fourapproachesarefeasible:
根据对干涉仪中相移反映的运动方式，四种方法都是可行的：
1.Allphase-stepsinallpixelsoftheimageareequal（
=60
90
or120
）:
1.图像中所有像素的全部相移都是相等的（
=60
90
or120
）:
wherei=0...N,j=0...N;Nisthenumberofphase-steps,andx,yandp,qareindicesofapairofpixelsinthepicture.Thisistheidealcasethatshouldgivethebestresults.However,itisverydifficulttoachieve.
当i=0...N,j=0...N;N是相移的步数，x,y和p,q是图像中的一对像素指数。
这是理想的情况下，能得到最好的结果。
然而在现实中很难实现。
2.Theconsecutivephase-stepsareunequal,butthephase-stepswithequalserialnumberareequal:
2.连续的相移步步宽是不同的，但相移步步骤序号是相同的。
Thisapproachhaslessstringentrequirementstothestabilityofthephase-settingdevice.Inthiscasethephasestepsareamongtheunknownsinthesetofequations.
这种方法的相位设定装置的稳定性要求不太严格。
在这种情况下的相位的步骤是在方程组中的未知。
3.Allphase-stepsataspecificpixelareequal,butthephase-stepsindifferentpixelsaredifferent:
3.全部的相移步在特定的像素下是相等的，但在不同的像素中是不同的。
Thisisthecasewhenthephase-shiftingmirrordoesnotmoveparalleltoitself.
这是当相移镜不动平行与自身的情况。
4.Allphase-stepsinallpixelsmaybedifferent.However,theproportionalitybetweenthechangesinphase-stepsofequalnumbersindifferentpixelsisconstant:
4.在所有像素的所有相移步可能是不同的。
然而，在不同的像素的序号相等的相移变化之间的比例是不变的：
Thereisnodataaboutthiscaseintheliterature;itmayattractresearchers’interestinthefuture.
Themajorityoftheexistingphase-steppingmethodsarebasedonthefirstapproach.Itdemandsthatthephase-steppingsystembecalibratedpriortoeachmeasurementinordertoeliminatethepossibledriftduetochangesintemperatureandotherambientfactors.Quiteoftenthecalibrationproceduretakesmoretimethanthemeasurementitself.Thechangeinthetransferfunctionofthephase-shiftingdeviceleadstoachangeinsensitivityand,hence,toimprecisioninsettingthephasestep.Itismucheasiertosetstepsequaltooneanotherthantomakethemallequaltoacertainvalue.Thishascausedtheauthorstoexaminethethirdapproachmoreclosely.Themethodproposedmakespossibletheuseofanarbitraryphasestep,maintainingtheuniformerrordistributioninthewholephaserange.Theeliminationoftheneedoffrequentcalibrationofthesystemisveryconvenientformeasurementsunderindustrialconditions.
在文献资料中没有这种情况的数据。
它可能以后会吸引研究者的兴趣。
已存在大部分的相移法都是基于第一种途径。
它要求每次测量都要校准这个相移系统，以消除相移可能导致温度变化和其它环境因素的带来的误差。
经常的校准程序需要甚至比测量本身更多的时间。
因此在设置相移步时，移相器的传递函数的变化导致的灵敏度和精度的变化。
而且只是让一个相移与另一个同步比让他们都等于一个特定值容易多了。
这更加急切的引发了作者研究的第三种方法。
所提出的方法使得有可能使用一个任意相移步，在整个相位范围内保持均匀的误差分布。
这消除了需要经常校准的系统，在工业条件下测量非常方便。
2THEORETICALANALYSIS
Forthesakeofconvenience,eqn
（1）forthefive-framemethodwithanarbitrarystepAcanberewrittenas:
为方便起见，等式
（1）对于五帧任意步距法中A可改写为：
（8）
Similarlytothefive-framealgorithmwithaphasestepof90
thesystemisreducedto:
同样对于90度相移的五帧算法，系统可简化为：
（9）
Appropriatetrigonometrictransformationsyield:
利用三角变换得到：
（10）
Dividingthefirstequationbythesecondandsolvingwithrespecttothephaseyields:
用第二个等式讲第一个等式分离，解出相位。
（11）
Thecorrectionterm,dependentonA,canbecalculatedinthefollowingway:
依靠A的校正项可以按以下方式计算：
（12）
（13）
Thetrigonometrictransformationsyield:
三角变换得：
（14）
Thus,thefinalformulabecomes:
这样最终算法变成：
（15）
3COMPUTERSIMULATIONOFRESISTANCETOPHASE-STEPVARIATIONSANDVIBRATIONS
3对相移变化和振动性能的计算机模拟
Thedifferentalgorithmsforphasecalculationsarecomparedbycomputersimulationofthemeasurementsandassessmentofthephasecalculationerror,
ofthedifferentformulae:
对相位计算的不同算法通过计算机仿真比较不同公式的相位计算误差的测量和评估：
（16）
wheref（）isthephaseintensitydependence,
istheinversefunctiondependingonthecalculationalgorithm,ϕistheinitialphaseinacertainpointinspace,δisthephase-steperror,νistheerrorduetovibrations,andΔisthephase-stepbetweenthedifferentframes.
TheplotsinFig.1illustratetherelationshipsbetweenthephasecalculationerror（ε）andtheinitialphaseofthepixel（ϕ）inthethree-,four-,andfive-framealgorithmsinthepresenceofvibrationsanderrorinthesettingofthephase-step.
f（）是相位强度依赖性，
是取决于计算算法的反函数，ϕ在空间某点的初始相位，δ是相移步误差，ν是振动误差，Δ是不同帧的相移步。
图1中的坐标图说明相位计算误差与初始相位在三帧、四帧和五帧算法在设置相移步时存在振动和误差时的关系。
Normally,whensimulatingthenoise-generatederror,Gaussiandistributionoftherandomquantityisused.However,whenthisnoiseiscausedbyuniformratherthanGaussianvibrations,distributionoftheerrorinmeasuringtheintensityineachpixelismoresuitable.
通常，当模拟噪声产生的误差，使用高斯分布的随机量。
然而，当这种噪声是由均匀而非高斯振动，噪声等适合分布在在每个像素的强度测量误差。
Thecomputersimulationofphaseunwrappinginthepresenceofvibrationsshowsthattheerrorinthethree-framealgorithmwithaphase-stepof90
changes1.5timesdependingontheinitialphaseofthemeasuredpixel.Thisisexplainedbythefactthattheprobabilityofcoincidenceofthemeanmeasuredandrealquantity,asprovenbymathematicalstatistics,ishigherforphase-steps0
and180
whicharelinearlydependentmeasurements（inthesamedirection）.Whenphase-stepof120
isused,thedeviationduetovibrationsbecomesuniform,buttheerrorfromtheinaccuratestepincreasesby25%.
在去掉振动的计算机仿真中表明改变1.5次时相移步为90度的三帧算法的误差依据测得的像素中的初始相位。
这说明了概率的平均量和实际量一致性。
通过数理统计证明，高阶相移步早0度和180度是线性相关的测量量（在相同的方向）。
当使用相移步为120度时，振动的绝对误差变得均匀，但是误差从这有误的一步开始增加了25%。
Theuseofthefour-framealgorithmwithaphase-stepof90
diminishestheeffectofvibrationsbyabout25%relativetothethree-framealgorithmwithaphase-stepof90
and,inaddition,increasesthepulsationrateoftheerrorbecauseoftheincreaseinthenemberofmeasurements.
Theformulaforthefour-framemethodwithreducederror,suggestedbySchwider,islesssensitivetothedispersionδandslightlymoresensitivetovibrations.
相移步为90度的四帧算法比相移步为90度的三帧算法在振动的影响减少了约25%，并且由于测量次数的增加增加了错误的脉动率。
Schwider提出的减少误差的四帧法对离散率更不敏感但对振动更敏感一点。
Fig.1.Errordistributionasafunctionoftheinitialphaseatthemeasuredpixelforthree-,four-andfive-framealgorithmsfordifferentcombinationsofthephase-steperror（δ）andvibrations（ν）:
a—δ=0.3,ν=0;b—δ=0,ν=0.1;c—δ=0.3,ν=0.1.Thecurvesaredesignatedasfollows:
3_90,three-framealgorithmwithaphase-step90
;3_120,three-framealgorithmwithaphase-step120
;4_90,four-framealgorithmwithaphase-step90
;4_L,four-framealgorithmwithaphase-step90
withreducederror;4_nfour-framealgorithmwithanarbitraryphase-step;4_a,four-framealgorithmwithanarbitraryphase-stepwithaveraging;5_90,five-framealgorithmwithaphase-step90
;5_n,five-framealgorithmwithanarbitraryphase-step.
图一中，误差分布在三、四、五帧算法中是相移步误差（δ）和振动（ν）不同组合的初始相位函数。
a—δ=0.3,ν=0;b—δ=0,ν=0.1;c—δ=0.3,ν=0.1.曲线被命名为如下：
3_90,是相移步为90度三帧算法。
3_120,是相移步为120度三帧算法。
4_90，是相移步为90度四帧算法。
4_L,是减少误差的相移步为90度四帧算法。
4_n是任意相移步的四帧算法。
4_a是任意平均相移步的四帧算法。
5_90,是相移步为90度的五帧算法。
5_n是任意相移步的五帧算法。
Theformulawithcompensationofthedifferenceofthephase-stepfrom90
alsosuggestedbySchwider,eliminatesthesystematicerrorcompletely.Theintroductionofmoredata（newsteps）decreasesthepulsationsthankstothegreaternumberofsamples,anddistributestheerrormoreuniformlywithreferencetotheangle,sincetheanglesinthetrigonometriccircumferencearemoreuniformlypositioned.However,thisisnotvalidforthecompensatedfour-framealgorithm（4_n）sincetherearezonesinwhichthephasestepiscalculatedveryinaccurately.
Althoughdemandingaphase-stepof90
thefive-framealgorithmseemsinsensitivetothephase-steper
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