习题word版第十四章整式的乘法与因式分解.docx

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习题word版第十四章整式的乘法与因式分解

第十四章　整式的乘法与因式分解

14.1　整式的乘法

14.1.1　同底数幂的乘法　　　　　　　　

基础题

知识点1　同底数幂的乘法运算

1.填空：

（1）（贺州中考改编）a3·a＝a3＋1＝a4；

（2）（－2）2×（－2）3＝（－2）2＋3＝（－2）5＝－32.

2.下列各项中，两个幂是同底数幂的是（D）

A.x2与a2B.（－a）5与a3

C.（x－y）2与（y－x）2D.－x2与x3

3.计算（－a）4·a3的结果是（A）

A.a7B.a12

C.－a7D.－a12

4.计算（－a）2·（－a）3的结果是（D）

A.a6B.－a6

C.a5D.－a5

5.（福州中考）下列算式中，结果等于a6的是（D）

A.a4＋a2B.a2＋a2＋a2

C.a2·a3D.a2·a2·a2

6.计算：

（1）（－

）2×（－

）3；

解：

原式＝（－

）2＋3＝（－

）5＝－

.

（2）22×23×25；

解：

原式＝22＋3＋5＝210.

（3）（－a）·（－a）3；

解：

原式＝（－a）1＋3＝（－a）4＝a4.

（4）x3n·x2n－2.

解：

原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2.

知识点2　同底数幂的乘法的逆运算

7.逆用同底数幂的乘法的运算法则填空：

a10＝a2＋8＝a2·a8.

8.若27＝24·2x，则x＝3.

9.（潍坊中考）若2x＝3，2y＝5，则2x＋y＝15.

易错点　对同底数幂的乘法法则理解不透而出错

10.请分析以下解答是否正确，若不正确，请写出正确的解答.

（1）计算：

x5·x2＝x5×2＝x10；

（2）若am＝3，an＝5，则am＋n＝am＋an＝3＋5＝8.

解：

（1）

（2）解答均不正确，正确的解答如下：

（1）x5·x2＝x5＋2＝x7.

（2）am＋n＝am·an＝3×5＝15.

中档题

11.式子a2m＋3不能写成（C）

A.a2m·a3B.am·am＋3

C.a2m＋3D.am＋1·am＋2

12.若2n＋2n＋2n＋2n＝8，则n＝（A）

A.1B.2

C.0D.

13.已知a2·ax－3＝a6，那么x的值为7.

14.计算：

（1）－x2·（－x）4·（－x）3；

解：

原式＝－x2·x4·（－x3）

＝x2·x4·x3

＝x9.

（2）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4.

解：

原式＝－（n－m）·（n－m）3·（n－m）4

＝－（n－m）1＋3＋4

＝－（n－m）8.

15.（本课时T8变式）已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值.

解：

4x·4y＝8×32＝256＝44，而4x·4y＝4x＋y，

∴x＋y＝4.

14.1.2　幂的乘方　　　　　　　　　　　　　　

基础题

知识点1　幂的乘方运算

1.填空：

（a3）4＝a3×4＝a12.

2.（铁岭中考）计算（－b2）3的结果正确的是（A）

A.－b6B.b6C.b5D.－b5

3.在下列各式的括号内，应填入b4的是（C）

A.b12＝（　　）8B.b12＝（　　）6

C.b12＝（　　）3D.b12＝（　　）2

4.x18不能写成（A）

A.（x2）16B.（x2）9

C.（x3）6D.x9·x9

5.计算：

（1）（102）8；

解：

原式＝102×8

＝1016.

（2）（xm）2；

解：

原式＝xm·2

＝x2m.

（3）[（－a）3]5；

解：

原式＝（－a）3×5

＝（－a）15

＝－a15.

（4）（am＋1）2.

解：

原式＝a2（m＋1）

＝a2m＋2.

知识点2　幂的乘方的逆运算

6.逆用幂的乘方的运算法则填空：

a10＝a2×5＝（a2）5.

7.已知（am）n＝3，则（an）m＝3，（an）3m＝27，a4mn＝81.

8.（教材P106习题T13变式）已知：

10m＝3，10n＝2，求

（1）103m；

（2）102n；（3）103m＋2n的值.

解：

（1）103m＝（10m）3＝33＝27.

（2）102n＝（10n）2＝22＝4.

（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

易错点　对幂的乘方法则理解不透而出错

9.下列四个算式中正确的有（C）

①（a4）4＝a4＋4＝a8；②[（b2）2]2＝b2×2×2＝b8；

③[（－x）3]2＝（－x）6＝x6；④（－y3）3＝y9.

A.0个B.1个C.2个D.3个

中档题

10.（南京中考）计算a3·（a3）2的结果是（B）

A.a8B.a9C.a11D.a18

11.9m·27n可以写为（C）

A.9m＋3nB.27m＋3n

C.32m＋3nD.33m＋2n

12.计算：

（1）（－a2）3·a3＋（－a）2·a7－5（a3）3；

解：

原式＝－a6·a3＋a2·a7－5a9

＝－a9＋a9－5a9

＝－5a9.

（2）[（x＋y）3]6＋[（x＋y）9]2.

解：

原式＝（x＋y）18＋（x＋y）18

＝2（x＋y）18.

综合题

13.

（1）若2×8x×16x＝222，则x＝3；

（2）若（27x）2＝312，则x＝2.

利用幂的乘方法则比较大小　

类型1　化为同指数幂比较

1.已知a＝240，b＝332，c＝424，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：

b＞c＞a.

解析：

a＝240＝（25）8＝328，b＝332＝（34）8＝818，c＝424＝（43）8＝648，∵81>64>32，∴818>648>328.∴b>c>a.

类型2　化为同底数幂比较

2.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：

a＞b＞c.

解析：

a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴a＞b＞c.

1.试比较35555，44444，53333三个数的大小，用“>”将它们连接起来：

44_444＞35_555＞53_333.

2.比较大小：

2100<375.（填“>”“<”或“＝”）

3.已知a3＝3，b5＝4，则a>b.（填“>”“<”或“＝”）

14.1.3　积的乘方　　　　　　　　　　　　　　

基础题

知识点1　积的乘方运算

1.填空：

（1）（a2b3）4＝a2×4b3×4＝a8b12；

（2）（上海中考）（2a2）2＝22a2×2＝4a4.

2.（南京中考）计算（a2b）3的结果是（D）

A.a2b3B.a5b3

C.a6bD.a6b3

3.（大连中考）计算（－2a）3的结果是（A）

A.－8a3B.－6a3

C.6a3D.8a3

4.（遵义中考）下列运算正确的是（C）

A.（－a2）3＝－a5B.a3·a5＝a15

C.（－a2b3）2＝a4b6D.3a2－2a2＝1

5.计算：

（1）（2ab）3；

解：

原式＝23·a3·b3

＝8a3b3.

（2）（－

x）4；

解：

原式＝（－

）4·x4

＝

x4.

（3）（xmyn）2；

解：

原式＝（xm）2·（yn）2

＝x2my2n.

（4）（－3×102）4.

解：

原式＝（－3）4×（102）4

＝81×108

＝8.1×109.

知识点2　积的乘方的逆运算

6.填空：

45×（

）5＝（4×

）5＝1.

7.计算：

（－

）2020×（

）2020＝1.

易错点　对积的乘方法则理解不透而出错

8.指出下列的计算哪些是对的，哪些是错的，并将错误的改正.

（1）（ab2）2＝ab4；

（2）（3cd）3＝9c3d3；

（3）（－3a3）2＝－9a6；

（4）（－x3y）3＝－x6y3.

解：

（1）

（2）（3）（4）都是错的.改正如下：

（1）（ab2）2＝a2b4；

（2）（3cd）3＝27c3d3；（3）（－3a3）2＝9a6；（4）（－x3y）3＝－x9y3.

中档题

9.如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值为（B）

A.m＝9，n＝4B.m＝3，n＝4

C.m＝4，n＝3D.m＝9，n＝6

10.若5n＝a，4n＝b，则20n＝ab.

11.一个立方体的棱长是1.5×102cm，则这个立方体的体积为3.375×106cm3.（结果用科学记数法表示）

12.计算：

（1）[（－3a2b3）3]2；

解：

原式＝[（－3）3×（a2）3×（b3）3]2

＝（－27a6b9）2

＝729a12b18.

（2）（－2xy2）6＋（－3x2y4）3；

解：

原式＝64x6y12－27x6y12

＝37x6y12.（3）（－

）2020×161009.

解：

原式＝（－

）2×（－

）2018×42018

＝（－

）2×（－

×4）2018

＝（－

）2×1

＝

.

13.【整体思想】已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3＋（－2x2n）3的值.

解：

（3x3n）3＋（－2x2n）3

＝33×（x3n）3＋（－2）3×（x3n）2

＝27×8＋（－8）×4

＝184.

综合题

14.已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，试探究a，b，c之间有什么关系.

解：

∵20n＝（22×5）n＝22n×5n＝（2n）2×5n＝a2b，且20n＝c，∴c＝a2b.

小专题（十三）　幂的运算性质的应用　　　　　　　　　　　　　

类型1　直接利用幂的运算性质进行计算

1.计算：

（1）a·a4＝a5；

（2）（a5）2＝a10；

（3）（－a4）3＝－a12；

（4）（2y2）3＝8y6；

（5）（ab3）2＝a2b6；

（6）（－a2b3c）3＝－a6b9c3；

（7）（a2）3·a4＝a10；

（8）（－3a）2·a3＝9a5；

（9）（anbm＋4）3＝a3nb3m＋12；

（10）（－am）5·an＝－a5m＋n.

2.计算：

（1）（武汉中考）（2x2）3－x2·x4；

解：

原式＝8x6－x6

＝7x6.

（2）a·a2·a3＋（a3）2－（2a2）3；

解：

原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.

（3）－（－x2）3·（－x2）2－x·（－x3）3；

解：

原式＝x6·x4＋x10

＝2x10.

（4）（－2x2）3＋（－3x3）2＋（x2）2·x2；

解：

原式＝－8x6＋9x6＋x6

＝2x6.

（5）（－2x2y）3－（－2x3y）2＋6x6y3＋2x6y2.

解：

原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2

＝－2x6y3－2x6y2.

类型2　逆用幂的运算性质

（1）将指数相加的幂写成同底数幂的积，即am＋n＝am·an；

（2）将指数相乘的幂写成幂的乘方，即amn＝（am）n；

（3）将相同指数幂的积写成积的乘方，即ambm＝（ab）m.

3.已知ax＝－2，ay＝3.求：

（1）ax＋y的值；

（2）a3x的值；

（3）a3x＋2y的值.

解：

（1）ax＋y＝ax·ay＝－2×3＝－6.

（2）a3x＝（ax）3＝（－2）3＝－8.

（3）a3x＋2y＝a3x·a2y

＝（ax）3·（ay）2

＝（－2）3×32

＝－8×9

＝－72.

4.计算：

0.1252019×（－82020）.

解：

原式＝（

）2019×（－82019×8）

＝（

）2019×（－82019）×8

＝－（

×8）2019×8

＝－1×8

＝－8.

5.已知2a＝m，2b＝n，3a＝p（a，b都是正整数），用含m，n或p的式子表示下列各式：

（1）4a＋b；　　　　　

（2）6a.

解：

（1）4a＋b＝4a·4b

＝（22）a·（22）b

＝（2a）2·（2b）2

＝m2n2.

（2）6a＝（2×3）a

＝2a×3a

＝mp.

14.1.4　整式的乘法

第1课时　单项式与单项式相乘　　　　　　　　　　　　　

基础题

知识点1　单项式与单项式相乘

1.填空：

5a2b3·3ab2＝5×3a2＋1b3＋2＝15a3b5.

2.计算：

（1）（天津中考）2x4·x3＝2x7；

（2）（－2a）·（

a3）＝－

a4.

3.（甘肃中考）计算（－2a）2·a4的结果是（B）

A.－4a6B.4a6

C.－2a6D.－4a8

4.计算：

（1）2x2y·（－4xy3z）；

解：

原式＝[2×（－4）]（x2·x）·（y·y3）·z

＝－8x3y4z.

（2）5a2·（3a3）2；

解：

原式＝5a2·9a6＝45a8.

（3）（－

x2y）3·（2xy2）2.

解：

原式＝－

x6y3·4x2y4

＝－

x8y7.

知识点2　单项式与单项式相乘的应用

5.一种计算机每秒可做4×108次运算，则它工作3×103s运算的次数为（B）

A.12×1024B.1.2×1012

C.12×1012D.12×108

6.一个直角三角形的两直角边的长分别是2a和3a，则此三角形的面积是3a2；当a＝2时，这个三角形的面积等于12.

7.某市环保局欲将一个长为2×103dm，宽为4×102dm，高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体储水池净化，求长方体废水池的容积.

解：

（2×103）×（4×102）×（8×10）＝6.4×107（dm3）.

答：

长方体废水池的容积是6.4×107dm3.

易错点1　漏乘指数是1的部分而出错

8.计算：

（x2y）2·3xy2z＝3x5y4z.

易错点2　混淆幂的运算法则，弄错运算顺序而出错

9.计算：

－

x5y2·（－4x2y）2＝－8x9y4.

中档题

10.（青岛中考）计算（－2m）2·（－m·m2＋3m3）的结果是（A）

A.8m5B.－8m5

C.8m6D.－4m4＋12m5

11.若（2x3y2）·（－3xmy3）·（5x2yn）＝－30x7y6，则m＋n＝3.

12.计算：

（1）（－3x2y）2·（－

xyz）·

xz2；

解：

原式＝9x4y2·（－

xyz）·

xz2

＝－

x6y3z3.

（2）（－4ab3）·（－

ab）－（

ab2）2.

解：

原式＝

a2b4－

a2b4＝

a2b4.

综合题

13.已知单项式9am＋1bn＋1与－2a2m－1b2n－1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值.

解：

（9am＋1bn＋1）·（－2a2m－1b2n－1）

＝9×（－2）·am＋1·a2m－1·bn＋1·b2n－1

＝－18a3mb3n.

∵－18a3mb3n与5a3b6是同类项，

∴3m＝3，3n＝6.

解得m＝1，n＝2.

第2课时　单项式与多项式相乘　　　　　　　　　　　　　

基础题

知识点1　单项式与多项式相乘

1.填空：

6m（3m2－

m－1）＝6m·3m2＋6m·（－

m）＋6m·（－1）＝18m3－4m2－6m.

2.（柳州中考）计算：

x（x2－1）＝（B）

A.x3－1B.x3－x

C.x3＋xD.x2－x

3.下列计算正确的是（D）

A.（－2a）·（3ab－2a2b）＝－6a2b－4a3b

B.（2ab2）·（－a2＋2b2－1）＝－4a3b4

C.（abc）·（3a2b－2ab2）＝3a3b2－2a2b2

D.（ab）2·（3ab2－c）＝3a3b4－a2b2c

4.计算：

－x（2x＋3x2－2）.

解：

原式＝－x·2x＋（－x）·3x2＋（－x）·（－2）

＝－2x2－3x3＋2x.

5.化简求值：

3a（a2－2a＋1）－2a2（a－3），其中a＝2.

解：

原式＝3a3－6a2＋3a－2a3＋6a2＝a3＋3a.

当a＝2时，原式＝23＋3×2＝14.

知识点2　单项式与多项式相乘的应用

6.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则该长方体的体积为（C）

A.3x3－4x2B.6x2－8x

C.6x3－8x2D.6x3－8x

7.一个拦水坝的横断面是梯形，其上底是3a2－2b，下底是3a＋4b，高为2a2b，要建造长为3ab的水坝需要多少土方？

解：

（3a2－2b＋3a＋4b）·2a2b·3ab＝9a5b2＋9a4b2＋6a3b3.

答：

需要（9a5b2＋9a4b2＋6a3b3）土方.

易错点1　漏掉或漏乘多项式中的常数项而出错

8.计算：

2xy2（x2－2y2＋1）＝2x3y2－4xy4＋2xy2.

易错点2　相乘时符号出错

9.计算：

－2x（3x2y－2xy）＝－6x3y＋4x2y.

中档题

10.要使x（x＋a）＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则a，b的值分别为（C）

A.a＝－2，b＝－2B.a＝2，b＝2

C.a＝2，b＝－2D.a＝－2，b＝2

11.已知ab2＝－1，则（－ab）（a2b5－ab3－b）的值为（C）

A.－1B.0

C.1D.无法确定

12.计算：

（1）（－

ab）（

ab2－2ab＋

b＋1）；

解：

原式＝（－

ab）·

ab2＋（－

ab）·（－2ab）＋（－

ab）·

b＋（－

ab）×1

＝－

a2b3＋a2b2－

ab2－

ab.

（2）3ab（a2b－ab2－ab）－ab2（2a2－3ab＋2a）.

解：

原式＝3a3b2－3a2b3－3a2b2－2a3b2＋3a2b3－2a2b2

＝a3b2－5a2b2.

综合题

13.某同学在计算一个多项式乘－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－

x＋1，那么正确的计算结果是多少？

解：

设这个多项式为A，则

A＋（－3x2）＝x2－

x＋1，

∴A＝4x2－

x＋1.

∴A·（－3x2）

＝（4x2－

x＋1）（－3x2）

＝－12x4＋

x3－3x2.

第3课时　多项式与多项式相乘　　　　　　　　　　　　　

基础题

知识点1　多项式与多项式相乘

1.填空：

（2x－5y）（3x－y）＝2x·3x＋2x·（－y）＋（－5y）·3x＋（－5y）·（－y）＝6x2－17xy＋5y2.

2.计算（2x＋1）（5x＋2）的结果是（D）

A.10x2＋2B.10x2＋5x＋2

C.10x2－9x－2D.10x2＋9x＋2

3.计算：

（1）（2a＋b）（a－b）＝2a2－ab－b2；

（2）（x－2y）（x2＋2xy＋4y2）＝x3－8y3.

4.计算：

（1）（m＋1）（2m－1）；

解：

原式＝2m2－m＋2m－1

＝2m2＋m－1.

（2）（2a－3b）（3a＋2b）；

解：

原式＝6a2＋4ab－9ab－6b2

＝6a2－5ab－6b2.

（3）（南京中考）（x＋y）（x2－xy＋y2）；

解：

原式＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3

＝x3＋y3.

（4）

（2x－y）（x＋y）.

解：

原式＝

（2x2＋xy－y2）

＝x2＋

xy－

y2.

5.先化简，再求值：

4x·x＋（2x－1）（1－2x），其中x＝

.

解：

原式＝4x2＋（2x－4x2－1＋2x）

＝4x2＋4x－4x2－1

＝4x－1.

当x＝

时，原式＝4×

－1＝－

.

知识点2　多项式与多项式相乘的应用

6.若一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x－1和x，则它的体积是（B）

A.6x3－5x2＋4xB.6x3－11x2＋4x

C.6x3－4x2D.6x3－4x2＋x＋4

7.为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长acm，宽

acm的长方形形状，又精心在四周加上了宽2cm的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是（

a2＋7a＋16）cm2.

知识点3　（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq

8.（武汉中考）计算（a－2）（a＋3）的结果是（B）

A.a2－6B.a2＋a－6

C.a2＋6D.a2－a＋6

9.下列多项式相乘的结果为x2＋3x－18的是（D）

A.（x－2）（x＋9）B.（x＋2）（x－9）

C.（x＋3）（x－6）D.（x－3）（x＋6）

10.已知（x＋1）（x－3）＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别是（B）

A.a＝2，b＝3B.a＝－2，b＝－3

C.a＝－2，b＝3D.a＝2，b＝－3

11.计算：

（1）（x＋1）（x＋4）；

解：

原式＝x2＋5x＋4.

（2）（m－2）（m＋1）；

解：

原式＝m2－m－2.

（3）（t－3）（t＋3）；

解：

原式＝t2－9.

（4）（y－4）2.

解：

原式＝y2－8y＋16.

易错点　相乘时符号出错

12.计算：

（x－8y）（x－y）＝x2－9xy＋8y2.

中档题

13.已知M，N分别是二次多项式和三次多项式，则M·N（A）

A.一定是五次多项式

B.一定是六次多项式

C.一定是不高于五次的多项式

D.无法确定积的次数

14.（玉林中考）已知ab＝a＋b＋1，则（a－1）（b－1）＝2.

15.若（ax－b）（3x＋4）＝6x2＋cx＋72，则a＝2，b＝－18，c＝62.

16.计算：

（1）（－7x2－8y2）·（－x2＋3y2）；

解：

原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4

＝7x4－13x2y2－24y4.

（2）（咸宁中考）（a＋3）（a－2）－a（a－1）.

解：

原式＝a2－2a＋3a－6－a2＋a

＝2a－6.

17.化简求值：

（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y），其中x＝－1，y＝2.

解：

原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－（2x2－8xy－xy＋4y2）

＝x2＋xy－6y2－（2x2－9xy＋4y2）

＝－x2＋10xy－10y2.

当x＝－1，y＝2时，

原式＝－（－1）2＋10×（－1）×2－10×22

＝－61.

18.小明与小乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），小明抄错为（2x－a）（3x＋b），得到的结果为6x2－13x＋6；小乐抄错为（2x＋a）（x＋b），得到的结果为2x2－x－6.

（1）式子中的a，b的值各是多少？

（2）请计算出原题的答案.

解：

（1）∵（2x－a）（3x＋b）＝6x2＋（2b－3a）x－ab＝6x2－13x＋6，

∴2b－3a＝－13.①

∵（2x＋a）（x＋b）＝2x2＋（2b＋a）x＋ab＝2x2－x－6，

∴2b＋a＝－1.②

联立方程①②，得

解得

（2）（2x＋a）（3x＋b）＝（2x＋3）（3x－2）＝6x2＋5x－6.

综合题

19.已知将（x3＋mx＋n）（x2－3x＋4）展开的结果中，不含x3和x2项.（m，n为常数）

（1）求m，n的值；

（2）在

（1）的条件下，求（m＋n）（m2－mn＋n2）的值.

解：

（1）原式＝x5－3x4＋4x3＋mx3－3mx2