75操作型问题河北省1997中考数学试题分类汇编word原题及解析版.docx

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75操作型问题河北省1997中考数学试题分类汇编word原题及解析版

第七部分专题拓展

7.5操作型问题

【一】知识点清单

操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程．不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合，抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台．操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题．

解决这类问题，要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换.注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力。

【二】分类试题汇编

一、选择题

1．（2005年课标卷-9题-2分）将一正方形纸片按图中

（1）、

（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2014年-8题-3分）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（　　）

A．2B．3C．4D．5

3．（2014年-10题-3分）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（　　）

A．0B．1C．

D．

4．（2015年-3题-3分）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2015年-16题-2分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（　　）

A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以

二、填空题

1．（2006年课标卷-15题/大纲卷10题-3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是　　cm．

三、解答题

1．（2003年-26题-12分）探究规律：

如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点．

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：

　　；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：

　　与△ABC的面积相等；理由是：

　　．

解决问题：

如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）

（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．

2．（2004年大纲卷-26题-12分）探索下列问题：

（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：

水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；

②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．

（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．

3．（2005年大纲卷-26题-12分）操作示例：

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．

实践与探究：

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？

请简要说明你的理由．

4．（2006年课标卷-25题-12分）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．

正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．

（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；

（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；

②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；

③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；

④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．

（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：

问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）

5．（2007年-23题-10分）在图1﹣5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：

小明在操作后发现：

该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：

（1）正方形FGCH的面积是　　；（用含a，b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2﹣图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：

当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？

若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

6．（2011年-25题-10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

（参考数椐：

sin49°=

，cos41°=

，tan37°=

．）

【三】参考答案与解析

一、选择题

1．（2005年课标卷-9题-2分）将一正方形纸片按图中

（1）、

（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（　　）

A．

B．

C．

D．

【分类目录】6.1图形的变换（平移/轴对称/中心对称/旋转）；7.4图形翻折问题；7.5操作型问题

【知识考点】剪纸问题．

【思路分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

【解答过程】解：

严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去两个小正方形得到结论．

故选：

B．

【总结归纳】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．

2．（2014年-8题-3分）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分类目录】5.8特殊的平行四边形；5.6勾股定理；7.5操作型问题

【知识考点】图形的剪拼．

【思路分析】利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．

【解答过程】解：

如图所示：

将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，

则n可以为：

3，4，5，

故n≠2．

故选：

A．

【总结归纳】此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键．

3．（2014年-10题-3分）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（　　）

A．0B．1C．

D．

【分类目录】5.1几何图形初步；7.5操作型问题

【知识考点】展开图折叠成几何体．

【思路分析】根据展开图折叠成几何体，可得正方体，A，B是同一棱的两个顶点，可得答案．

【解答过程】解；AB是正方体的边长，

AB=1，

故选：

B．

【总结归纳】本题考查了展开图折叠成几何体，正确将展开图折叠成几何体是解题关键，难度不大．

4．（2015年-3题-3分）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分类目录】6.1图形的变换（平移/轴对称/中心对称/旋转）；7.4图形翻折问题；7.5操作型问题

【知识考点】剪纸问题．

【思路分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

【解答过程】解：

严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．

故选C．

【总结归纳】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养．

5．（2015年-16题-2分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（　　）

A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以

【分类目录】5.6勾股定理；7.5操作型问题

【知识考点】图形的剪拼．

【思路分析】根据图形可得甲可以拼一个边长为

的正方形，图乙可以拼一个边长为

的正方形．

【解答过程】解：

所作图形如图所示，

甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．

故选：

A．

【总结归纳】本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．

二、填空题

1．（2006年课标卷-15题/大纲卷10题-3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是　　cm．

【分类目录】6.1图形的变换；7.4图形翻折问题；7.5操作型问题

【知识考点】翻折变换（折叠问题）．

【思路分析】有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．

【解答过程】解：

第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm，

第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，

其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称的关系，

它们到中线的距离是0.5cm，

所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm．

【总结归纳】考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

三、解答题

1．（2003年-26题-12分）探究规律：

如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点．

（1）请写出图中面积相等的各对三角形：

　　；

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：

　　与△ABC的面积相等；理由是：

　　．

解决问题：

如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）

（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．

【分类目录】7.7探究发现型问题；7.5操作型问题

【知识考点】作图—应用与设计作图．

【思路分析】

（1）m和n之间的距离是个定值，所以相同底的，另一顶点又在另一平行线上的三角形的面积相同，减去同一个三角形得到的三角形的面积也相等；

（2）可利用平行，把△EDC转移成和它同底等高的三角形．

【解答过程】解：

探究规律：

（1）△ABC和△ABP；△PCA和△PCB；△ACO和△PBO；

（2）△ABP，同底等高的两个三角形的面积相等．

解决问题：

（1）连接EC，过D作EC的平行线DG交CM于点G，连接EG，EG就是所求的路，

（2）∵DG∥EC

∴S△EDC=S△ECG，∴S△EDC+SABCE=S△ECG+SABCE

∴路两边的面积相等．

【总结归纳】两条平行线间的距离是一定的；同底等高的三角形的面积相等．

2．（2004年大纲卷-26题-12分）探索下列问题：

（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：

水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；

②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．

（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．

【分类目录】5.11正多边形和圆；弧长和扇形面积；6.1图形的变换（平移/轴对称/中心对称/旋转）；7.5操作型问题

【知识考点】作图—应用与设计作图．

【思路分析】

（1）易得只要过正方形对角线交点的任意直线都可平分正方形的面积，按照所给的方向画即可；

（2）由

（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；

（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．

【解答过程】解：

（1）

（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2；

②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．

（3）存在．

对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，

当图形被直线l分割后，

设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．

两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，

在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．

因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．

【总结归纳】解决本题的关键是先得到只要过正多边形中心的直线就能把正多边形的面积分为相等的两部分，进而得到存在把任意平面图形分为面积相等的两个图形的情形．

3．（2005年大纲卷-26题-12分）操作示例：

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．

实践与探究：

（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？

请简要说明你的理由．

【分类目录】5.8特殊的平行四边形；7.5操作型问题

【知识考点】正方形的判定与性质．

【思路分析】

（1）首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．

过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．

（2）由上述的拼接过程可以看出：

对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形．

【解答过程】解：

（1）①证明：

由作图的过程可知四边形MNED是矩形．

在Rt△ADM与Rt△CDE中，

∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，

∴DM=DE

∴四边形MNED是正方形．

∵DE2=CD2+CE2=a2+b2，

∴正方形MNED的面积为a2+b2；

②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图

可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．

所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．

（2）答：

能．

理由是：

由上述的拼接过程可以看出：

对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：

对于n个任意的正方形，可以通过（n﹣1）次拼接，得到一个正方形．

【总结归纳】本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理．

4．（2006年课标卷-25题-12分）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．

如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．

另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．

正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．

（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；

（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；

②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；

③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；

④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．

（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：

问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）

【分类目录】3.8一次、二次、反比例函数的综合运用；7.8运动型问题；7.10分类讨论型问题；7.5操作型问题；7.7探究发现型问题

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】

（1）当x=2时，Q离AD的距离为6+2=8，而G离AD的距离为7﹣2=5，因此重合部分的长为3．同理可求得重合部分的宽为1，因此y=3．

当x=18时，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18时，正方形MNPQ在BC边上运动了4秒，而正方形EHFG扩张到最大需7秒再缩小到原来的大小需7秒，因此x=18时，正方形EHFG重复第二次运动，且第二次运动过程中运动了4秒，因此MN离AB的距离为6+4=10，OP离AB的距离为4，因此重合部分的长为6，同理可求得重合部分的宽为3，y=3×6=18．

（2）①当1≤x≤3.5时，是正方形EHGF第一次向外扩张的过程，此时MK=x+6，SK=7﹣x，因此MS=2x﹣1．同理可求得SG的长，由此可得出重合部分的面积y与x的函数关系式．

②当3.5≤x≤7时，正方形EHGF第一次向内收缩，此时重合部分的长不变为MN的长即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的宽为6﹣x，