企业债券模型的建立.docx
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企业债券模型的建立
债券模型
摘要
本文讨论了债券交易价格波动研究的数学问题。
债券交易价格波动富含许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段和正确风险评价的基础，也是预测和预防各种债券风险危机的前提。
因此，对债券交易价格波动进行研究具有重要现实的意义。
首先对7种债券主观地分为三大类：
国债、企业债和地方债。
国债（3）、国债（9）、国债（10）归为国债类；三峡债、海工债、长电债归为企业债；新疆债归为地方债。
我们主要以收盘价格作为分析依据，通过EViews软件对每种债券收盘价格序列分析可知，同一大类中不同债券的收盘价格序列具有相同的特点，由此可证明我们的分类是合理的。
我们可以从三大类中选取一种债券作为代表进行分析。
本文中取三峡债、国债（10）、新疆债这三种债券，依照它们各自的特点建立了三个不同的模型。
三峡债收盘价格序列非平稳，故用随机游走模型对其描述，通过最小二乘法对序列回归拟合,求出方程。
经过对残差的ARCH检验发现它含有ARCH效应，故建立了ARCH模型。
对模型不断优化改进，消除条件异方差性和残差的自相关性，最终确定模型为AR（4）-GARCH模型。
经检验发现海工债、长电债也适用于这一模型，从而验证了我们模型的合理性。
因此企业债价格波动模型可以推广为AR（p）-GARCH模型。
对国债（10）单位根检验发现非平稳，对其一阶差分后序列平稳。
一阶差分序列通过EViews软件分析其自相关和偏自相关函数，可以确定为ARMA过程和大概的阶数，然后对不同阶数（p,q的不同取值）的ARMA模型计算AIC值，按照AIC最小原则确定模型的p、q值，从而确定国债（10）的价格波动模型为ARIMA（2,1,3），我们还通过MATLAB编程进行预测，预测结果与实际想接近，证明建立的模型是合理的。
通过检验可发现海工债和长电债也符合ARIMA模型，进一步验证了模型的正确性。
因此国债价格波动模型推广为ARIMA（p,d,q）模型。
对新疆债价格序列单位根检验，发现它是一个平稳序列，因此可建立ARMA模型。
分析序列的自相关与偏自相关函数图，结合AIC最小原则确定阶数p,q的值，最终确定模型为ARMA（4,9）。
通过EViews软件和MATLAB软件进行预测分析，发现预测结果基本符合实际，从而验证了模型的准确性。
模型的分析与求解主要依靠EViews软件来实现。
关键字:
ARCH模型ARMA模型ARIMA模型随机游走模型单位根检验
ARCHLM检验AIC原则EViews软件
1.问题重述
债券投资是现代主要投资之一，其规模远大于股票投资，债券投资风险监控日益为各国政府和世界经济组织所重视，而它风险所彰显出来的严重后果目前的欧美的债务危机为世人所公认和给人们前所未有恐惧。
而债券交易价格波动富含许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段和正确风险评价的基础。
也是预测和预防各种债券风险危机的前提。
本题拟完成以下几个任务：
1依据提供几种债券交易价格历年（日或月）的价格数据；获取描述其变化规律的数学模型。
2从网上获取3—5类债券交易价格数据验证获取价格波动模型是否有效。
3获取国民经济的运行情况和债券交易价格的关系信息，给出债券评价风险评价的数学模型。
对我国的债券的总体风险经定量研究。
4依据你的模型对目前的美债和欧债的危机进行一定的定量描述，把你的研究结果和形成看法写出一篇评论，给国人以启迪。
2.模型假设
（1）假设可以将债券归纳为三大类：
企业债、地方债、国债
（2）假设每一类中可以任取一种债券为代表进行分析
（3）将每一种债券的收盘价作为指标建立价格波动模型，不考虑其他指标
3.符号说明
（1）
：
三峡债收盘价格序列
（2）
：
随机误差项
（3）
：
常数项
（4）
：
系数项
（5）
：
国债（10）收盘价格序列
（6）
：
国债（10）收盘价格一阶差分序列
（7）
：
新疆债收盘价格序列
4.问题分析
我们首先将题中所给的7种债券归纳为三大类债券：
企业债、地方债、国债。
因此，得到以下分类：
企业债：
三峡债、海工债、长电债；
地方债：
新疆债
国债：
国债（10）、国债（9）、国债（3）
对于属于同一大类的债券，他们有着相似的变化趋势，比如企业债波动比较大，国债与地方债变化相对比较稳定等。
例如：
对于国债类债券，其收盘价格均是非平稳的序列，对他们一阶差分后，变成了平稳序列，由图可说明：
国债（10）
国债（9）
国债（3）
而对于企业债，对非平稳的收盘价格进行对数处理之后，经过ARCHLM检验可发现他们都具有ARCH效应；对于新疆债，经分析可发现它是平稳序列，由此说明这样的分类法是有一定的合理性的。
假设每一类债券基本符合同一形式的模型，我们就可以在每一大类中选一种债券作为代表分析建模，之后将该类债中其余债券价格的时间序列代入所建的模型中，对价格波动模型进行合理性分析，检验模型是否具有通用性。
由于收盘价格是各项指标中最能体现价格波动变化规律的，本文中的价格序列全部为债券的收盘价格序列。
5.价格波动模型
5.1企业债价格波动模型
5.1.1ARCH模型、GARCH模型介绍
（1）ARCH模型
ARCH模型（自回归条件异方差模型），最早由恩格尔提出。
模型的目的就是刻画预测误差的条件方差中可能存在的某种相关性；主要思想是：
扰动项
的条件方差依赖于它的前期值
。
ARCH（q）模型的定义由均值方程（5.1.1）以及条件方差方程（5.1.2）给出：
（5.1.1）
（5.1.2）
（2）GARCH模型
在ARCH模型的基础上，博乐斯莱文将其发展成为GARCH模型，（广义自回归条件异方差模型）。
GARCH模型在条件方差的方程中加上了滞后项，从而体现出更加灵活的滞后结构。
GARCH（p,q）的方差方程定义为：
（5.1.3）
5.1.2ARCH模型分析
我们将三峡债作为企业债的代表，对其分析。
选取2007年1月4日到2011年11月3日之间的1157个数据，通过eviews6.0软件进行分析。
首先对三峡收盘价格序列做单位根检验，得到如下图所示结果：
图5-1三峡债收盘价格时间序列单位根检验
分析图中数据可知：
检验统计量为-2.163260，大于显著性水平10%时的临界值-2.568051，可认为三峡债价格的时间序列为非平稳的。
对于非平稳序列，常常用用一种特殊的单位根过程——随机游走模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：
（5.1.4）
其中
为日三峡债收盘价格，
是对日收盘价格数据取对数后的序列，
是随机误差项，
为常数项。
对于该时间序列，为了减小误差，先对日收盘价格进行自然对数处理，进过处理后的序列命名为lsx序列，利用最小二乘法估计（5.1.4）式，通过Eviews软件求得：
图5-2回归模型求解结果
即：
（5.1.5）
S.E.=（0,017243）（0.003766）
t=（2.607470）（262.9539）
对数似然值=4393.590AIC=-7.597907SC=-7.589165
可以看出该方程的统计量很显著，拟合度也很好。
图5-3OLS回归方程残差图图5-4OLS回归方程残差统计图
观察该回归方程的残差图（见图5-3），可以发现波动表现出时变性、突变性和集簇性的特点；观察残差统计图（见图5-4），可以发现呈现出明显的尖峰厚尾特征。
这些说明误差项可能具有条件异方差性。
5.1.3ARCH模型检验
ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是忽略其影响可能会导致有效性的降低。
因此，对该模型进行ARCH效应的检验是很有必要的。
检验一个模型的残差是否具有ARCH效应，有两种方式：
残差平方相关图检验和ARCHLM检验。
本文采取这两种方法分别检验。
（1）残差平方相关图检验
计算（5.1.5）式的自相关系数AC和偏自相关系数PAC，结果见图（5-5）：
图5-5残差平方相关图
自相关系数和偏自相关系数不显著为0，且Q统计量很显著，表明（5.1.5）式的残差序列存在ARCH效应。
（1）ARCHLM检验
对
（2）式进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=3的ARCHLM检验结果（见图5-6）
图5-6ARCHLM检验统计图
此处P值为0，拒绝原假设，说明式（5.1.5）的残差序列存在ARCH效应。
5.1.4建立GARCH模型
以上两种检验均表明（5.1.5）式的残差序列存在ARCH效应，故利用GARCH（1,1）模型从新估计（5.1.5）式。
图5-7三峡债GARCH（1,1）估计结果
均值方程：
（5.1.6）
S.E.=（0.012945）（0.002829）
Z=（1.992171）（351.4777）
方差方程：
（5.1.7）
S.E.=（
）（0.019138）（0.019929）
Z=（8.100107）（13.05643）（37.09190）
=0.983562对数似然值=4605.357AIC=-7.959095SC=-7.937241
方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时，AIC、SC的值均减小，这表明了GARCH（1,1）模型能够更好地拟合数据。
方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都为非负，其系数之和为：
0.249869+0.739221=0.98909，小于1，满足参数约束条件。
由于系数之和非常接近1表明条件方差所受的冲击是持久的，即冲击对未来所有的预测均具有重要作用。
5.1.5GARCH模型检验
（1）残差平方相关图检验
图5-8GARCH（1,1）模型残差平方相关图
对图5-8分析可知，自相关系数和偏自相关系数均接近于0，且Q值统计量相对变得不显著。
这表明了残差序列不在存有ARCH效应。
（2）ARCHLM检验
通过对（5.1.6）式进行条件异方差的ARCHLM检验，得到（5.1.6）式在滞后阶数为3时的统计结果
图5-9GARCH（1,1）模型的ARCHLM检验
此处p=0.62,接受原假设，，表明残差序列不在存有ARCH效应。
通过以上两个检验的分析，我们可以知道GARCH（1,1）模型确实能够消除残差的异方差性。
5.1.6模型调整：
对残差数列进行分析，发现残差相关图如下所示：
图5-10GARCH（1,1）模型残差相关图
分析残差相关图（见图5-10），我们发现虽然残差的异方差性消除了，但残差的相关性未被消除。
然而对价格进行预测不仅仅需要消除残差的异方差性，还需要使得残差序列不存在相关性，使其成为独立同分布的白噪声序列。
为消除自相关，将模型调整为AR（4）-GARCH（1,1）模型形式，得到以下结果：
图5-11AR（4）-GARCH（1,1）模型估计结果
图5-12AR（4）-GARCH（1,1）模型残差相关图
经过调整后，发现残差的相关性已经被消除了。
因此AR（4）-GRACH（1,1）模型是比较合理的。
均值方程：
（5.1.8）
S.E.=0.0138800.0086220.0098690.0140980.013921
Z=1.55480198.992538.4347260.0550194.145263
方差方程：
（5.1.9）
S.E.=
0.0202710.020634
Z=7.05362012.3984836.26571
0.983387对数似然值=4600.481AIC=-7.966142SC=-7.931103
5.1.7模型的预测与推广
（1）模型的预测
对建立的AR（4）-GARCH（1,1）模型进行预测，对预测数据与原始数据对比分析，并计算其误差，得到以下结果：
图5-13原始序列与预测序列图
说明：
—SX：
原始序列—SXF：
预测序列
图5-14误差序列图
观察误差序列图（图5-14）,发现误差大概在16%以内，且随着时间推移，误差越来越小，在5%以内变化，因此可以认为这个模型对三峡债价格波动的分析是比较合理的。
（2）模型的推广
用这个模型对海工债、长电债进行分析，发现这两种债均适用于AR（4）-GARCH这个模型，预测结果的误差图如下所示：
图5-15海工债误差结果图
图5-16长电债误差结果图
分析这两张图，发现预测误差结果比较理想，因此我们认为用AR（4）-GARCH模型对这两种债券的价格分析是合理的。
由以上分析，我们可以认为用AR（4）-GARCH模型可以对企业债价格变化规律进行描述。
5.2国债价格波动模型
5.2.1ARMA、ARIMA模型介绍
如果平稳序列不仅与过去时刻的自身值有关，而且还与其过去时刻的扰动项存在一定的关系，那么对于这个序列，我们就可以建立p阶自回归和q阶移动平均模型ARMA（p,q）,即
。
其中
是序列在t期，t-1期，直至t-q期的随机误差项，是相互独立的白噪声序列。
ARMA（p.q）模型只适用于处理平稳时间序列的预测，对于非平稳时间序列，需要将其d阶差分，得到平稳序列之后再运用ARMA（p,q）模型进行分析。
其模型就变成为ARIMA（p,d,q）模型。
5.2.2模型分析与建立
选取国债4为代表进行分析，发现序列为一阶非平稳过程，将其进行一次差分后得到平稳序列，命名为dop序列。
图5-17国债4一阶差分序列
用eviews软件对dop序列做出自相关与偏自相关函数图，结果如下图所示：
图5-18dop自相关与偏相关函数图
由图分析可知，其自相关函数与偏自相关函数都是拖尾的，因此可设为ARMA过程。
Dop的自相关函数与偏自相关函数都是1阶显著，第3阶截尾，因此p、q的取值可为1~3，对不同p.q取值的模型分别计算AIC值，列表如下所示：
表5-1国债模型中不同p、q取值的AIC值
p;q
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
3,1
3,2
3,3
AIC
0.0917
0.0882
0.0887
0.0931
0.0891
0.0796
0.0920
0.0935
0.0911
由表中数据可知，当p=2,q=3时，AIC的值最小。
因此我们可以多差分序列建立ARMA（2,3）模型。
用Eviews软件对模型ARMA（2,3）进行参数估计，得到下图所示的结果：
图5-19差分序列ARMA（2,3）模型参数估计结果
由此可以确定表达式为：
（5.2.1）
利用建立的模型进行预测，得到dop差分预测序列dopf，求预测价格
的公式为：
（5.2.2）
对预测得到的数据与原始数据作图：
图5-20预测序列与原始序列
观察图形可知两条曲线拟合程度非常高，说明预测结果跟实际实际结果非常接近，误差很小，由此可说明我们建立的模型准确度很高，是可信的。
所以对国债（10）建立的模型就是ARIMA（2,1,3）。
通过MATLAB编程对模型进行检验，将国债收盘价原始序列分为两部分，2007-1-4到2011-9-30的价格序列作为已知用于编写MATLAB程序（程序见附录），对2011-10-10到2011-11-4的日收盘价格进行预测，预测结果如下表所示，并进行误差分析：
表5-2MATLAB预测以及误差分析
日期
实际收盘价
预测收盘价
误差百分比
20111010
101.08
100.9881
0.090918085
20111011
101.08
100.9737
0.105164226
20111012
101.05
100.9651
0.084017813
20111013
101.05
100.9569
0.092132608
20111014
101.3
100.9487
0.346791708
20111017
101.32
100.9405
0.374555863
20111018
101.5
100.9323
0.559310345
20111019
101.3
100.9241
0.371076012
20111020
101.35
100.9159
0.428317711
20111021
102
100.9077
1.070882353
20111024
101.45
100.8995
0.542631838
20111025
101.33
100.8913
0.432941873
20111026
100.47
100.8831
-0.41116751
20111027
100.53
100.8749
-0.34308167
20111028
100.28
100.8667
-0.58506183
20111031
100.39
100.8584
-0.46658034
20111101
100.45
100.8502
-0.39840717
20111102
100.38
100.842
-0.46025105
20111103
100.42
100.8338
-0.41206931
20111104
100.5
100.8256
-0.3239801
由表中结果可知，预测值与实际值比较接近，误差百分比较小，说明模型的预测结果是比较理想的，由此可以说明我们建立的ARIMA模型是比较合理、可信的。
5.2.3模型推广
通过Eviews软件对国债（3）、国债（9）分析，发现分别符合ARIMA（2,1,1）、ARIMA（2,1,3）模型，预测结果如下图所示：
图5-21国债（3）预测序列与原始序列
图5-22国债（9）预测序列与原始序列
根据这三种债券的模型分析与建立，可得出结论：
国债的价格波动符合ARIMA（p,1,q）模型。
5.3地方债价格波动模型
对新疆债进行分析，单位根检验发现其价格序列是平稳的：
图5-23新疆债ADF检验
对价格序列进行自相关与偏自相关函数分析，得到如图所示结果：
图5-24价格序列自相关与偏自相关函数图
观察图5-20可知，自相关与偏自相关函数都是拖尾的，因此可设定为ARMA过程。
价格序列的自相关函数1-8阶都是显著的，第九阶开始下降很大，数值也不太显著，因此我们可设定q=8或9；偏自相关函数1-3阶都是显著的，第4阶开始下降很大，数值也不太显著，因此我们可设定p=3或4。
我们可以根据p和q值得不同建立不同的模型，如：
ARMA（3,8）、ARMA（3,9）、ARMA（4,8）、ARMA（4,9），计算它们的AIC和SC值，列表如下：
表5-3新疆债ARMA模型不同p、q的AIC、SC值
模型
ARMA（3,8）
ARMA（3,9）
ARMA（4,8）
ARMA（4,9）
AIC
1.78
1.734
1.78
1.725
SC
1.88
1.838
1.88
1.837
比较可知ARMA（4,9）模型的AIC、SC值最小，因此最终确立的模型为ARMA（4,9）。
图5-25ARMA（4,9）模型参数估计值
得到表达式为：
对模型进行数据的预测，画出原始序列与预测序列图：
图5-26新疆债原始序列与预测序列
对预测数据进行误差分析：
图5-27预测误差分析图
由图5-26和图2-27分析可知，两个序列的拟合程度较高，最大误差不超过6%，由此说明建立的模型是比较合理的。
接着我们通过MATLAB软件对所建的模型进行检验。
价格波动模型为ARMA（4,9），将原始的已知数据分成两部分，2009-4-3到2011-9-30的日开盘价格作为已知价格序列，编入MATLAB程序中（程序见附录），对2011-10-10到2011-11-3的开盘价格进行预测，得到的预测结果列表，并进行误差计算：
表5-4MATLAB预测及误差分析
日期
实际收盘价
预测收盘价
误差百分比
20111010
99
98.0265
0.983333
20111011
99
98.054
0.955556
20111012
99
98.1792
0.829091
20111013
99
98.1626
0.845859
20111014
99
98.1413
0.867374
20111017
99
98.175
0.833333
20111018
98.96
98.185
0.783145
20111019
98.96
98.1924
0.775667
20111020
98.96
98.2262
0.741512
20111021
99.15
98.2256
0.932325
20111024
98.96
98.2293
0.738379
20111025
98
98.233
-0.23776
20111026
99.63
98.233
1.402188
20111027
98.89
98.2338
0.663566
20111028
98.89
98.2342
0.663161
20111031
98.89
98.2342
0.663161
20111101
98.66
98.2343
0.431482
20111102
98.66
98.2343
0.431482
20111103
98.66
98.2344
0.43138
MATLAB结果的检验也说明建立的ARMA（4,9）模型是比较合理的。
结论：
由于地方政府债一般价格波动比较小，近似可以看做平稳序列，因此，对地方政府债券的价格波动分析可以建立ARMA模型。
6．风险评价模型
7.模型的评价
ARCH类模型能够很好的刻画股票价格波动的尖峰厚尾特征，并能够很好的消除条件异方差性。
模型不仅可以进行短期趋势预测，得出未来两天的股票收盘价格走势的结果，还为投资者提出科学的投资决策参考依据，同时也为经济学家们研究股市有效性提供一定的参考价值。
这一分析方法对股票市场中收盘价格波动趋势的预测起着很好的指导性作用。
ARMA类模型可以对平稳的时间序列进行分析，全称是自回归滑动平均模型，是目前最常用的拟合平稳序列的模型。
它可以比较准确的拟合出价格波动曲线，并用于预测，预测误差很小，是理想的研究价格波动变化的模型之一。
而ARIMA模型对非平稳序列分析，通过d阶差分后将序列平稳化，得到的差分序列满足ARMA过程。
VaR模型提供了衡量市场风险和信用风险的大小，不仅有利于金融机构进行风险管理，而且有助于监管部门的有效监管。
我们模型还存在不足之处，如ARCH模型的预测曲线是单调递减的，没有体现出波动性，因此误差会偏大。
8.参考文献
【1】高铁梅.计量经济分析方法与建模：
EViews应用及实例.北京：
清华大学出版社，2009
【2】易丹辉.数据分析与EViews应用.北京：
中国人人民大学出版社,2008
【3】王敏，张萍.初探我国沪市股价波动性-基
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