第八章组合变形汇总.docx

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第八章组合变形汇总

第八章组合变形

内容提要

一、组合变形综述

组合变形：

拉伸、压缩、弯曲、剪切、扭转称为基本变形。

构件同时产生两种或两种以上的基本变形时称为组合变形。

组合变形的计算方法：

在小变形且材料在线弹性范围内工作时，将组合变形分解成几种基本变形，分别计算各基本变形时的应力和位移，将其各自叠加，可得到组合变形时的应力和位移。

二、斜弯曲

斜弯曲的概念：

在横力弯曲时，设梁上的横向力通过横截面的弯曲中心（梁不产生扭转变形）。

当横向力的方向和横截面的形心主轴平行时，梁产生平面弯曲，即外力作用面和挠曲面平行；当横向力方向和横截面的形心主轴不平行时，梁产生斜弯曲，即外力作用面和挠曲面不平行。

斜弯曲时，外力和中性轴不垂直，挠度仍垂直于中性轴。

斜弯曲的计算方法：

将横向力向两个形心主轴方向分解，在两个形心主轴方向的横向力作用下，梁在两个形心主惯性平面内分别发生平面弯曲。

分别计算两个平面弯曲时的应力和位移，将其各自叠加，就得到斜弯曲时的应力和位移。

▲正多边截面梁，不会产生斜弯曲。

▲横截面具有外棱角（例如工字形、矩形、角形等）时，危险点位于危险截面的角点处，该处为单向应力状态，其强度条件为

匚max「丨（8-1）

y图8-1

▲圆截面梁，不会产生斜弯曲，且圆截面对任一形心轴的弯曲截

（d为圆截面的直径）。

于是

3

面系数均为W二—

（8-2）

32

M

Mz2

M

max

式中，My、Mz分别为绕y、z轴的弯矩，M为总弯矩，M的矢量方向为中性轴，二max发生在图中的a和b点处

三、拉伸（压缩）与弯曲

I、构件发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形时，分别计算其中拉伸（压缩）与弯曲时的应力，并将其叠加就得到组合变形的应力。

II、构件受偏心拉伸（压缩）荷载作用时，将偏心力向横截面的形心简化，得到一轴向荷载以及绕横截面的形心主轴弯曲的弯矩My和Mz。

偏心拉伸（压缩）仍然是拉伸（压缩）与弯

曲的组合变形问题。

1、横截面具有外棱角（例如工字形、矩形等）时，危险点在横截面的外角点处，该点处于单向应力状态，只需计算出最大正应力，便可建立强度条件。

2、横截面没有外棱角时，如图8-2截面，y、z为形心主轴，需首先确定中性轴位置，才能确定危险点位置，中性轴方程为

1警響"（8-3）

iyiz

式中，yF、zF为偏心力的偏心矩，y0、Zq为中性轴任一

ay

2

iz

yF

az

ZF

（8-4）

III、截面核心

当偏心力作用在截面形心附近的一个封闭区域的边界上时，中性轴和截面周边相切,

这个封闭区域称为截面核心。

例如图8-3所示为任意形状截面，y、z为形心主轴，当偏心力分别作用在1、2、3、4点时，对应的中性轴为切线①、②、③、④。

1、偏心力作用在截面核心时，截面只产生一种应力，偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力。

2、砖、石、混凝等材料的拉伸强度较低，这类材料的偏心受压杆，最好是偏心压力作用在截面核心上。

3、确定截面核心的方法：

作一系列和截面周边相切的切线作为中性轴，中性轴的截矩

ay、az为已知，由中性轴的截距公式得

i2

・2i

yFi、i

z=iy

，Fiaz

i

i=12H!

n

由y^、邳‘可得到截面核心边界上一系列的点，这些点的连线即为截面核心边界。

要特别强调，截面周边的切线一定不能穿过截面。

例如图8-3所示截面中不能用凹进去的曲线的切线作为中性轴，又如不能用图8-4所示的角形截面的DE和EF边作为中性轴，因为它们穿过截面。

四、弯扭组合变形

以图8-5所示圆截面钢杆为例，横截面上的内力为弯矩

Mz、扭矩T。

其第三和第四强度理论的强度条件分别为

"7

点的坐标，iy、iz为截面的惯性半径。

中性轴为不通过形心的直线，其截矩公式为

6

.My2Mz2T2

W

W

My2Mz20.75T2

W

.M20.75T2,r_|

W"''

（8-6）

3

式中，W二孟，M—My2Mz2

注：

第三和第四强度理论各有三种形式:

r=3—丨

1=■■2'4•2Jk".1

一M20.75T2

W

其中：

①为原始公式，适用于所有应力状态（图

8-6a）。

2仅适用于图示的特殊平面应力状态（有一个正交方向的正应力等于零）（图

8-6b）。

3仅适用于圆截面杆的弯扭组合变形（图8-6c）。

（b）图8-6

MM

c

小结：

以上对几种典型的组合变形进行了分析，工程中还会遇到更复杂的组合变形问

题，例如，拉伸（压缩）与斜弯曲的组合变形；偏心拉伸（压缩）与弯曲的组合变形；弯曲与扭

转及拉伸（压缩）的组合变形等等。

不论组合变形多么复杂，只要认真进行分析，弄清楚组合变形是哪几种基本变形的组合，分别计算每一种基本变形的应力，再利用叠加法计算组合变形的应力，确定危险点的应力状，从而建立相应的强度条件。

例8-1图示矩形截面杆，受力Fi和F2作用，已知，F,=5kN，F2=100kN，b=50mm，h=100mm，l-1m，E=200GPa，:

「-0.3。

试求：

1、杆中的最大拉应力和最大压应力，并指出它们的作用点位置；

2、k点处沿45°方向的线应变屍。

解：

1求二m和二c,max

本题为斜弯曲和轴向

拉伸的组合变形。

将^沿

■£

45’

3

形心主轴yz方向分解为

F1^F1cos30°

靈也屮2

Fi

b

hk

k

k

y

（b）

=50.866=4.33kNi*j

o

F1Z=F1sin3050.5=2.5kN

A截面的内力为

Fn二F2=100kN

Mz=hyl=4.331=4.33kNm

My=F1zl=2.51=2.5kNm

最大拉应力和最应力分别为

333

1001064.331062.510

62929—132MlPa

5010010》50100210亠10050210

•max=丘-匹-匹=-92MPa

awzWy

-t,max和二c,max分别发生在

A截面的1点和3点。

2、求k点处的线应变；45。

k点处的应力为

Fn

A

性二100103占6°52・550MPa

Wy501001010050210

34.33103

25010010^

=1.3MPa

k点的应力状态如图b所示，k点处沿45°方向的线应变为

45。

45°

—VCF

45。

1

200109

大拉应力和最大压应力。

解：

等边角钢的弯曲中心位于两肢中线的交点处，y和z轴为形心主轴，F力通过弯曲中心，梁不会产生扭转，F力和形心主轴方向不平行，梁产生斜弯曲。

将F力沿形心主轴y、z方向分解为

Fy二Fz二Fsin45、

在两个形心主惯性平面内的弯矩分别为

辽201十14kNm

2

Mz=Fyl=14.14kNm

A截面的a（c）和b点

A截面的a和c两点

在My作用下，y为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在处；在Mz作用下，z为中性轴，最大拉应力和最大压应力分别发生在处。

角钢的几何性质为ly=11.80106mm4，Iz=45.55106mm，形心C的坐标已示于图中，b点和a（c）点坐标的绝对为

yb=0，互=,256.9=80.5mm

ya

2200.141.1mm，

2

辽200-80.5"0.6mm

2

a、b、c三点的应力分别为

MyZaMzya14.14汉10‘汉60.6"0°14.14X0吸141.1汉10°

u=——-—+——仝旦=+

aIyIz11.8010610‘245.5510610」2

=72.6MPa+43.8MPa=116.4MPa拉应力

MyZb

Iy

14.1410380.510^

11.80"0上

-96.5MPa

压应力

My4_Mzyc二14.1410360.610’_14.14103141.110’

Iylz-11.8010"45.5510“

=72.6MPa-43.8MPa=28.8MPa拉应力

故-t,max116・4MP,二c,max=96.5MPa

例8-3图示16号工字钢简支梁，因强度不足，在紧靠支座处焊上钢板，并设置钢拉

杆对梁进行加固。

试求加固后梁的最大正应力减小的百分数。

已知，q=13kN；m，^4m，

a=120mm，工字钢的A^=2160mm2，lz=11.30106mm4，WZ=141103mm3，拉杆的横

截面面积=400mm2，梁和拉杆的弹性模量均为E=200GPa

qq

解：

加固前梁的最大正应力为

A

=184.4MPa

厂乂1W103

maxWz14110310

加固后为超静定问题，取拉杆为多余约束，相当系统如图b所示，变形的几何关系为,梁在A和B处相对水平移厶AB等于拉杆的伸长量订2，即

（1）

将Fn力向梁两端的轴线简化，得轴向压力

Fn，弯矩M=FNa，梁的轴向缩短为

-FnI

EA

A截面的转角为

3

qi

F“alFNalql3

FNal

=a24EI3EI6EI24EI2EI

A和B处的相对水平位移为

'AB—驚-曽

拉杆的伸长量为

计2

FnI

EA，

将⑵和⑶式代入

（1）式，化简后得

Fn

ql2a

A,AI

将已知数据代入上式得

加固后梁的最大正应力为

max

FN=43.44kN

A

12

-ql-FnS

-8—

Wz

=127.5MPa

184.4-127.5

184.4

100%=31%

A

例8-4图

可见加固后梁的最大正应力减小31%

例8-4图a所示矩形截悬臂梁受均匀分布的切向荷载q作用，试求自由端下边缘处的竖直位移和水平位移。

梁的弹性模量为E。

解：

将q向梁的轴线处平移（图b）,梁的内力为

1qhx

2

梁的轴向伸长量为

，‘】FnXdx=

0EA

A截面的转角和挠度，可用积分法求出，即

Elw

由x=l，w=0，w=0得

ql2

'討2Ebh

=-qhx

2

12

EIwqhxC

4

13

EIwqhxCxD

12

3ql2

Ebh2L

3

2qldi、

2Ebh2

A截面下边缘的竖直位移和水平位移分别为

■s

二Wa二竺.

Ebh

例8-5矩形截面铸铁立柱，受偏心压力F作用，F力的作用点可以在立柱顶面上，以形心0为圆心，R为半径的圆上移动。

立柱的强度由拉应力控制，许用拉应力匕卜30MPa

b=150mm，h=200mm，R=60mm。

（1）F力作用在圆上何处时，立柱的许用荷载值最

小?

并求'FLin

（2）F力作用在圆上何处时，立柱的许用荷载值最

大?

并求IF1

max

解：

该题是偏心受压问题，当F力移动到圆上的某点时，若立柱中产生的最大拉应力为最大时，则立柱的许用荷载为最小；若立柱中产生的最大拉应力为最小，则立柱的许用荷载为最大。

1、

求If]i

min

设F力作用于圆上任一点

k，将F力向截形心简化，内力为

Fn--F,My=FRsin二，Mz二FRcosh

A点处的拉应力为

FMyMzF6FRsina6FRcosa

（1）

yz

AWyW,bhbh2bh2

d--t,max

d：

-0

6FRcos-

bh2

6FR^=0

bh2

/曰b150

得tan0.75

h200

:

=36.87或:

=18036.87=216.87

A点处的最大拉应力为

=F+6FRsin36.87'+6FRcos36.87

「maxmax_bh—bhbh

_F+6F汉36汉10°+6F48"0^

15020010^150200210~200150210~

=66.7FL「t1=30MPa

⑵求FLax

由

（1）式可见，当〉=0180或〉=90270时，A点的拉应力可能为最小，注意到

=90；270，A点的拉应力为最小。

I.'t,maxmin

bh2

_6FGO?

1026.7F：

：

lcJ-30MPa

15020010150200210

□ma

冃123.6kN

例8-6材料分别为①和②的两根杆，其两端固结于刚性块上，如图所示。

两种材料的弹性模量分别为E1和E2,且E1>E2。

若要两杆发生均匀拉伸，试求两杆内力和偏心距e。

解:

本题为两种材料的偏心拉伸问题。

因为要使两杆均发生均匀伸长，故两杆只能有轴力，受力图如图b所示，

未知量有Fn1、Fn2和e共三个，所以为一次超静定问题,

变形相容条件为：

\^.\2

—

tF

E2

2

E1

1

J

l

a

'1

2

由平衡方程得

E,A一E2A

FN1

二旦

FN2

E2

由

（1）和⑵式得

FN1

Fn2

E2

F

E1E2

由VM。

=0,得

FnI-e

2

Fn7

NA2丿

b

eFn1-Fn2—卩弘河

Ni

e=Fn1「Fzb=E^-E2b

Fn1-Fn222E1E2

例8-7折杆ABC,由材料不同的圆管①和实心杆②紧密套在一起，如图a所示。

材料

的弹性模量、切变模量和许用应力分别为巳=3E、=3G、匕^-2^.1；E^E、G^G、

I。

试按第三强度理论写出折杆的强度条件。

例8-7图

1,max

1,max

解折杆的AB杆为弯扭组合变形，A截面的弯矩为M2=2FI，扭矩为T二-FI，所以A为危险截面。

求A截面处两种材料组合杆各自的弯矩及扭矩，是超静定问题，弯曲变形的几何关系为两杆的曲率相等，扭转变形的几何关系为两杆的单位长度的扭转角相等。

I、求两杆A截面的最大弯曲正应力

设①和②杆A截面的弯矩分别为Mi和M2，有

（i）

MiM2=M

由两杆的曲率相等，即

M2

EiIzi

得M1倉M2

由

（1）和

（2）式，得

M1

Ei\

两杆的最大弯曲正应力分别为

Mid

J,max=|i

1Zi

M2d/2

二2,max2

1Z2

将［「（勿）4—^4」5刚4

Zi646464'

兀d4

Iz2，E^3E，E2二E，M=2FI代入上式得

64

m2

EiIziE2J2M

EiIziE2IZ2

E2Q

--1,max

2,max

192FI

23二d3

32FI

23二d3

II、求两杆A截面处的最大扭转切应力

设两杆A截面处的扭矩分别为T1和T2，有

TiT^T

由两杆单位长度的扭转角相等，即

G1IP1G2IP2

G」P1

G2I

由（5）和（6）式，得

G1IP1T

P2

T1二GIrG2I

G21P2

G1IP1G2Ip

两杆的最大扭转切应力分别为

T1d

'1,max

P1

2,max

T2d2

4/

兀（2d）兀d

3232

警，"?

，G1卞，GO_Fl代入上式得

max

T

48Fl

3

23二d3

'2,max

8Fl

23二d3

（8）

III、两杆的强度条件

①、②两杆的危险点位于A截面处的a（b）及c（d）点，a、c点的应力状态如图b所示。

两杆按第三强度理论的强度条件分别为

g=$+4（®,maxf=9.3_^兰2^]

3兀d

-2r3『J,max彳4■2,ma/=〔出电:

'

d

例8-8槽形截面的核面核心为四边形abed，若集中力F作用在ab和de延长线的交点K时，求相应的中性轴位置。

解：

与截面核心的a、b、c、d四点对应的中性轴分别为①、②、

③、④。

当中性轴①绕B点逆时针旋转到中性轴②时，有无数条中性轴通过B点，但始终均未进入截面之内，将B点坐标yB,zB代入中

性轴方程

42

3

b^

La

\z

3

K.：

：

：

?

d

1

4

y2

1

例8-8图

可见，中性轴绕B点旋转过程中，偏心力作用点yF,ZF的轨迹为直线（式中，iy、iz为截面的惯性半径）。

即a、b两点间的连线为直线。

集中F沿ab移动时，中性轴始终通过B点。

同理集中力F沿de移动时，中性轴始终通过D点，所以集中力F作用在ab和de延长线的交点K时，中性轴为B、D两点的连线。

e

例8-9图a所示刚架的各杆均为直径d=100mm的圆截面钢杆，长度l=1m，许用应力卜.1-170MPa。

试用第三强度理论确定刚架的许用荷载。

解：

刚架的内力图如图b所示，可见A为危险截面，其内力分别为

MA=.My2Mz2*'2FI*2FNm

Fn二FN

T=FI=FNm

危险点的应力分别为

Fn

4F

■d

322F

W°.°145FMPa

Wp

16F

二d3

-0.0051FMPa

危险点的应力状态如图e所示，由第三强度理论的强度条件

件=妇+芈2=J（0.0145F）2+4（0.0051F）2

=0.0177F—170MPa

得F—170=9.6kN

0.0177

IP：

-9.6kN

例8-10图a所示圆截面立柱，受偏心力F和扭转力偶矩Me联合作用，测得a、b两点的纵向线应变分别为a=520X10-6,；b=-9.5X10-6。

已知d=100mm,Me=10kNm,E=200GPa,

、.=0.3,.1-160MPa。

试求：

1、偏心力F和偏心距e；

2、C点处沿45°方向的线应变；

3、用第三强度理论校核立柱强度。

解：

1、求F和e

a、b两点的应力状态如图b所示，切应力

b

不会产生x方向的线应变，a、b两点的正应力分别为

F

Fe

二E乜

匚a:

+——

（1）

A

W

F

Fe

-b:

=E；b

⑵

A

W

由

（1）和⑵可得

E200109

匕…A=^-

二1002

52010^-9.510“10

4

_6

=401kN

e=E；a「b200109

2F

6_6兀1009

3（520況10+9.5^10F汇10=13mm

240110

32

2、求C点处的

45°

C点的应力状态如图b所示，其应力为

3

F440110

A二100210^51MPa

Me

1610103

"WT二10。

210「50.9MPa

45°

E45°工5°E_.2

45°

二缶-76.4106-0.3-25.4106

=420.110^

3、校核立柱强度

危险点为a点，其应力为

=104.1MPa

3

101032

二0.13

=50.9MPa

333

FFe440110401101310-32

++2£3卫

AW二10010二10010

玉=血2+4廿=J104.12+4（50.9）2=145.6MPavb]

立柱满足强度条件

例8-11刚架AB、BC杆的直径为4=50mm,CD杆的直径d^10mm,其材料均为

Q235钢，E=200GPa，G=80GPa，.1-160MPa，F=1.6kN，l=1m。

试校核该刚架

的强度。

Oz

C

l

B

C

IBC

:

——IFc

F

B

Fc

bB

Fcl

解：

取相当系统如图b所示,

变形的几何关系为

（1）

将Fc力向B截面平移（图C）,

则B截面的挠度和扭转角分别为

'一By

F-Fcl3

■ab

Fcll

Glp

C截面的挠度为

Fcl

F-Fcl3

FclFclFcl

23Fcl

3EI

3EI

GIp3EI3EI12EI

CD杆的缩短量为

'：

lCD

Fcl

EA

由

（1）、

（2）、（3）式，得

Fc

4Al2

12I23Al2F

4

5034

其中I306.810mm,

64

二102

4

2

二78.5mm

Fc

2

4x78.5x1000

12306.81032378.510002

1.6kN=278N

A截面的内力分别为

Ma=[1600-2781-1322Nm

T=2781=278Nm

第三强度理论的强度条件为

M2T2

W

.132222782

二503

~32

10°

=110MPav[；「1

3PFsl]l3

32sFsl3

Fs=

12EIr

l3

（1）

CD杆的压应力为

厂3.5MPa:

：

:

L.-I

二0.01

例8-12nn一3根圆杆固定在相距I的两刚性夹支板上，其支点沿半径为R的圆周上均匀分布，各杆的材料和尺寸相同，两夹支板上分别作用着大小相等方向相反的扭力偶M。

求两夹支板的相对扭转角。

解：

设顶板相对于底板的扭转角为「，并产生水平位移厶二R「，如图b所示，且各杆端部的弯曲转角为零，所以端部相应的内力有扭矩T、剪切Fs、弯矩M。

如图c所示。

GIp

将杆上端的Fs、M、T反作用在顶板上。

（图d）

、Mx=0，nTnFsR=Me

nTFsR二Me

将

（1）和

（2）代入（3）,得

Mel

2

n12EIRGIpl

也可用能量法,

n[Fs心+T®]-n|〔12丫R®

R®+

22丄丨丿

'、、I丿

其中V

iMe—n[罕只2+邑]护

2e2]I3I一

•川Mel3

…22-

n12EIRGIpl

23.7106-0.326.3106「=79.010怡

例8-2图a所示悬臂梁，由200mm200mm20mm的等边角钢组成，在自由端受集

中力F作用，F力的作用线通过等边角钢竖直肢的中心线，