高等数学大纲.docx
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高等数学大纲
《微积分》课程教学大纲
适用专业：
市场营销、国际贸易、物流管理等专业
课程学时：
124学时
课程学分：
学分
一、课程性质、目的与任务
本课程主要是市场营销、国际贸易、物流管理等专业的基础理论课，主要适
用于对数学的理论深度需求不高，同时对微积分的实用的分析方法和运算能力有一定要求的专业。
本课程以讲授为主，无需预修其它高等数学内容。
通过本课程的学习，要使学生获得：
函数的极限与连续有关概念、一元微积分学、无穷级数、多元函数微积分学、常微分方程、空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
同时注重培养学生获取知识能力、应用能力、创新能力、科学的思维能力和熟练的运算能力，提高学生的素质。
大纲中打*号部分内容可根据教学具体情况选用与否。
本教学大纲力图做到在总结多年教学经验的基础上体现经济各专业教学改革的需要，使“大纲”既有学科上的系统性与科学性，又有教学上的灵活性与适用性；既注意内容的选取要适合经济专业的需要，又避免引入过多的经济概念使教与学都感到困难。
我们虽然尽了很大的努力，希望制定出的教学大纲符合经济各专业的共同要求，但由于时间仓促又缺乏经验，大纲中一定会存在这样或那样的问题，欢迎在使用大纲过程中，随时提出宝贵意见，以便今后修定提高。
二、课程教学内容和基本要求
第一章函数
一、基本内容
集合，区间和领域，映射的概念，函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、初等函数，简单经济应用问题的函数关系的建立。
本章重点：
函数的概念、函数关系、复合函数、初等函数
本章难点：
函数符号的使用、分段函数
二、基本要求
1、理解集合与子集概念，熟悉集合表示方法及其基本运算。
2、掌握区间表示方法及领域的概念。
3、理解函数的概念，会求函数定义域、函数值，掌握函数的表示方法，了解函数的]奇偶性、单调性、周期性和有界性。
4、理解复合函数和反函数的概念，了解反函数存在定理及函数运算。
5、掌握基本初等函数的定义域，基本性质及大致图形。
了解特殊角的三角函数值及特殊数值的反三角函数值。
6、会建立简单实际问题中的函数关系式。
7、掌握常用的几个经济函数：
需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数，了解库存函数与戈珀玆（Gompertz）曲线。
第二章极限与连续
一、基本内容
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大，无穷小的阶的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：
单调有界准则和夹逼准则，连续复利，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（零点定理、介值定理与最大、最小值定理）。
本章重点：
数列极限、函数极限、无穷小量、函数的连续、两个重要极限、连续复利。
本章难点：
、
语言的理解，闭区间上连续函数的性质。
二、基本要求
1、了解数列，通项以及数列有界和单调的概念。
2、理解数列的极限的定义及收敛数列的性质。
3、理解函数极限的定义及性质，理解函数的左极限与右极限概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
4、理解无穷小量与无穷大量等概念，掌握无穷小的性质及无穷小的阶的概念，会比较两个无穷小之间阶的关系。
5、掌握极限四则运算法则。
6、了解极限存在的两条准则，掌握两个重要极限，会用两个重要极限来求有关的极限。
7、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），理解函数在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，会求函数的间断点
8、了解初等函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
9、理解连续复利。
第三章导数、微分、边际与弹性
一、基本内容
导数和微分的概念，几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，反函数、复合函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法、高阶导数的概念，边际与弹性的概念，经济学中常见的边际函数和弹性函数。
本章重点：
导数微分的定义、可导与可微的关系、复合函数的导数、边际与弹性
本章难点：
导数微分的概念
二、基本要求
1、理解函数在x=x0处可导的概念，左、右导数的概念，理解导数的几何意义。
会用导数定义求导数，会求曲线在某点处的切线方程。
2、理解函数在某点可导与该点连续的关系，会讨论函数在某点的连续性与可导性。
3、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，能熟练地求初等函数的导数。
4、了解隐函数与显函数的概念，会求隐函数的导数，会用对数求导方法进行求导，会求分段函数的导数。
5、了解高阶导数的概念，熟练地求二阶导数，会求某些简单的函数的n阶导数。
6、理解微分的概念，了解微分的几何意义。
7、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，并会求反函数的导数。
8、理解微分的概念，了解微分的几何意义，熟练掌握求函数的微分方法，了解微分在近似计算中的应用。
9、掌握导数概念在经济中的应用：
边际分析与弹性分析。
第四章中值定理与导数的应用
一、基本内容
罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定量，泰勒（Taylor）公式，洛必达（L/Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数的增减性和函数图形凹凸性的判定，函数图形的拐点及其求地，渐近线，函数图形的描绘，最大值、最小值问题。
本章重点：
中值定理及导数在几何、经济和实际中其他的应用；利用洛必达法则求极限
本章难点：
用中值定理证明题
二、基本要求
1、能正确叙述罗尔定理、拉格朗日定理的条件与结论及其几何解释，对具体函数会求罗尔定理与拉格朗日中值定理的中值
，并会用罗尔定理和拉格朗日中值定理。
2、熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
3、理解函数的极值概念、掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法。
4、会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形
5、会求函数的最大值与最小值，并会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
（含经济中的一些问题：
最小平均成本、最大利润、最大收益。
）
6、了解泰勒公式。
第五章不定积分
一、基本内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理的积分。
本章重点：
不定积分的概念及求法
本章难点：
第二换元积分法
二、基本要求
1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，明确不定积分与微分在运算上的互逆关系，了解不定积分的几何意义，能够依初始条件确定积分常数。
2、掌握不定积分的性质。
3、熟练掌握不定积分的基本积分公式。
4、熟练掌握不定积分的两种换元积分法和分部积分法，注意三种方法的综合应用，能熟练地求出常见的初等函数的不定积分。
5、会计算简单的有理分式的不定积分：
第六章定积分及其应用
一、基本内容
定积分的概念和性质，积分中值定量，变上限积分（积分上限函数）及其导数，牛顿—莱布尼兹（Newton－Leibniz）公式，定积分的换元积分法与分部积分法，广义积分的概念及计算。
定积分应用的元法（或微元法），定积分在经济学上的应用。
本章重点：
定积分的定义，微积分基本公式，定积分的换元积分法和分部积分法。
本章难点：
用定积分的定义求定积分，广义积分。
二、基本要求
1、理解定积分的概念及定积分的几何意义。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3、理解积分上限函数及其求导方法。
4、熟练掌握微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）
5、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
6、熟悉奇（偶）函数在对称区间上的积分性质。
7、掌握无穷区间上的广义积分及无界函数的广义积分收敛，发散的判别。
8、会求平面图形的面积。
9、会求平面图形绕坐标轴旋转而得到的旋转体的体积。
10、已知边际成本，边际收益，边际利润，会求总成本，总收益及总利润。
第七章向量代数与空间解析几何
一、基本内容
空间直角坐标系，向量的概念及线性运算，数量积、向量积、混合积的概念，空间平面及其方程，空间直线及其方程，空间曲面及其方程，空间曲线线及其方程
本章重点：
向量的数量积与向量积的计算，平面与直线求法，空间曲面名称与图形，空间曲线在坐标面上投影。
本章难点：
向量积理解，平面与直线的综合问题
二、基本要求
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
*2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。
*3、掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
*4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
*5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
*6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
第八章多元函数微分学
一、基本内容
多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭域上连续函数的性质，偏导数，全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，复合函数、隐函数的求导法，二元函数的偏导数，二元函数的泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数和最大、最小值及其简单应用。
本章重点：
复合函数及隐函数的微分法，全微分，二元函数极值。
本章难点：
复合函数的高阶导数。
二、基本要求
1、了解邻域、开集、区域、闭区域等概念，理解多元函数的概念。
会求二元函数的定义域（包括画图）。
会求二元函数的函数值。
2、了解多元函数的极限，了解二元函数连续的概念。
3、理解二元函数的偏导数的概念，了解偏导数的几何意义，了解函数偏导数存在与函数连续的关系，理解偏导数在经济分析中的应用。
4、熟练掌握简单的二元函数一阶，二阶偏导数及混合偏导数。
5、了解全微分的概念，会求二元函数的全微分，了解全微分在近似计算中的应用。
6、会求多元复合函数的一阶偏导数，会求隐函数的一阶偏导数。
7、理解二元函数的极值，极值点的概念，掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法，掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极值问题的方法。
第九章二重积分
一、基本内容
二重积分的概念及性质，二重积分的计算和应用。
本章重点：
二重积分的计算方法；
本章难点：
二重积分化成两个累次定积分时积分限的确定。
二、基本要求
1、理解二重积分的概念，掌握重积分的性质，了解二重积分的几何意义。
2、掌握二重积分（直面坐标、极坐标系）的计算方法。
*3、了解广义二重积分。
第十章微分方程与差分方程
一、基本内容
微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，一阶微分方程在经济学中的应用，特殊类型的二阶微分方程
，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，差分与差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程，二阶常系数线性差分方程，差分方程的简单经济应用。
本章重点：
一阶微分方程的分类及解法，二阶微分方程的解法。
本章难点：
二阶常系数微分方程解的讨论。
二、基本要求
1、理解微分方程的概念，了解微分方程的阶、通解、特解等概念。
2、掌握可分离变量型、齐次型、一阶线性微分方程的解法。
3、熟练掌握可降阶的二阶微分方程。
4、掌握二阶常系数线性微分方程的解法。
5、了解一些简单的经济问题的微分方程模型；会建立微分方程数学模型解决一些简单的经济应用问题。
6、了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解与特解）等概念。
7、掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法。
8、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。
二阶齐次差分方程的通解，二阶非齐次差分方程的特解与通解。
9、会求解一些差分方程的简单经济应用问题。
第十一章无穷级数
一、基本内容
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p-级数，正项级数的比较审敛法。
比值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间），幂级数在收敛区间内的基本性质，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，
和
的麦克劳林（Maclaurin）展开式，幂级数的近似计算中的应用。
本章重点：
正项级数收敛的判定，任意项级数的绝对收敛和条件收敛，幂级数的收敛半径、收敛区间，幂级数的间接展开法。
本章难点：
幂级数的直接展开法。
二、基本要求
1、理解常数项级数收敛、发散收敛级数和的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件。
2、掌握几何级数与p级数的收敛性，并会用它们与正项级数的比较来判定它的收敛性。
3、掌握正项级数的比值审敛法，会用根值审敛法。
4、会用莱布尼兹定理判别交错级数的收敛性。
5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。
6、掌握幂级数的收敛半径。
收敛区间的求法。
7、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
8、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
9、掌握
和
的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并会用它们将一些简单函数用间接方法展成幂级数。
10、了解幂级数在近似计算上简单应用。
三、学时分配
章节
教学内容
讲授
学时
实践学时
集合、函数
集合，区间和邻域，映射的概念函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
2
0
复合函数与反函数
复合函数的概念、反函数的概念，反函数存在定理
函数的运算
1
基本初等函数与初等函数
基本初等函数的性质及其图形：
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，初等函数的概念
1
经济学中的常用函数
需求函数、供给函数、生产函数、成本函数、收益函数、利润函数，库存函数与戈珀玆（Gompertz）曲线（了解）。
2
数列的极限
数列极限的概念收敛数列的性质
2
1
函数的极限
函数极限（左极限与右极限）的概念式极限存在与左、右极限之间的关系函数极限的性质
2
无穷大与无穷小
无穷小的概念及其性质
1
极限运算法则
掌握极限的性质及四则运算法则
1
极限存在准则
两个重要极限
利用极限存在的两个准则求极限，利用两个重要极限求极限的方法，连续复利
2
无穷小比较
高阶、低阶、同阶、等价无穷小的概念，利用等价无穷小求极限
1
函数的连续性
函数连续性的概念（含左连续与右连续）函数间断点的类型连续函数的性质和初等函数的连续性
2
闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质的应用
1
导数的概念
导数的概念导数的几何意义平面曲线的切线方程和法线方程导数的物理意义函数的可导性与连续性之间的关系
2
2
函数的求导法则
导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式
2
高阶导数
高阶导数的概念求简单函数的n阶导数
1
隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数
求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数求反函数的导数
1
函数的微分
微分的定义一元函数连续、可导与可微的关系微分四则运算法则一阶微分形式的不变性求函数的微分微分的应用
2
边际与弹性
掌握导数概念在经济中的应用：
边际分析与弹性分析
1
中值定理
罗尔定理和拉格朗日中值定理柯西中值定理和微分中值定理的应用
2
1
洛必达法则
用洛必达法则求未定式极限
2
利用导数研究函数的性态
利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点函数图形的水平、铅直和斜渐近线函数的图形的描绘解函数的极值概念利用导数求函数极值
3
函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
会求解较简单的最大值和最小值的应用问题
1
泰勒公式
麦克劳林公式、泰勒公式、余项
1
不定积分的概念与性质
原函数概念不定积分的概念不定积分的性质不定积分的基本公式
2
2
换元积分法
不定积分的第一类换元积分法和第二类换元积分法
2
分部积分法
分部积分法的原理与计算
1
定积分的概念与性质
定积分问题举例定积分的概念定积分的性质及定积分中值定理
3
2
微积分基本公式
变上限定积分定义的函数变上限定积分定义的函数的求导牛顿一莱布尼茨公式．
2
定积分的计算方法
掌握换元积分法与分部积分法
2
广义积分
无穷限的广义积分无界函数的广义积分
1
定积分的几何应用
定积分的元素法平面图形的面积旋转体的体积
平行截面面积已知的立体体积
2
定积分的经济应用
由边际函数求原函数由变化率求总量收益流的现值和将来值
1
空间直角坐标系
空间点的直角坐标空间两点间的距离n维空间
1
2
曲面及其方程
柱面与旋转曲面二次曲面
2
空间曲线
空间曲线及其方程空间曲线在坐标面上的投影
1
多元函数的概念
平面点集、
维空间的概念多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续性的概念有界闭区域上连续函数的性质
3
2
偏导数及其在经济分析中的应用
多元函数偏导数的定义偏导数的计算方法偏导数的几何意义及其函数偏导数存在与函数连续的关系二阶偏导数和混合偏导数偏导数在经济分析中的应用――交叉弹性
4
全微分及其应用
全微分的概念二元函数可微分的必要条件和充分条件
全微分在近似计算中的应用
2
多元复合函数的求导法则
多元复合函数偏导数的求法
3
隐函数的求导公式
求隐函数的偏导数
1
多元函数的极值及其求法
多元函数极值和条件极值的概念多元函数极值存在的必要条件和充分条件求二元函数的极值用拉格朗日乘数法求条件极值简单多元函数的最大值和最小值及其应用问题
4
二重积分的概念与性质
二重积分的概念与几何意义二重积分的性质二重积分的中值定理
3
2
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）
2
微分方程的基本概念
微分方程的概念微分方程的通解、阶、特解、初值问题等概念
1
2
一阶微分方程
变量可分离的方程的解法齐次方程
1
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程常数变易法一阶微分方程平衡解及其稳定性简介
2
一阶微分方程在经济学中的综合应用
分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系预测可再生资源的产量，预测商品的销售量成本分析公司的净资产分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
2
可降阶的高阶微分方程
会用降阶法解下列方程
1
二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程
3
差分与差分方程概念
差分的概念差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构
1
一阶常系数线性差分方程
一阶常系数齐次线性差分方程的求解一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
2
二阶常系数线性差分方程
二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
2
常数项级数的概念与性质
常数项级数的概念，算术级数和调和级数等比级数（几何级数）及其在经济学上的应用无穷级数的基本性质
3
2
正项级数及其审敛法
正项级数收敛的基本定理比较审敛法比较审敛法的极限形式比值审敛法
3
任意项级数的绝对收敛与条件收敛
交错级数及其审敛法绝对收敛和条件收敛
2
泰勒级数与幂级数
函数的泰勒级数幂级数及其收敛半径、收敛区间（掌握）；幂级数的运算及函数展开成幂级数的惟一性将函数
展开成
的幂级数，将函数展开成
的幂级数
4
函数的幂级数展开式的应用
利用幂级数近似计算
1
四、教学方法与教学手段说明
（一）教学方法
为了不断提高高等数学课程的教学质量，全体高等数学授课教师要认真研究教材内容，积极采用优秀的教学方法与教学手段。
在教案设计、课件制作、教材及教辅材料的选用等方面充分发挥学生在学习中的主体作用。
并根据教学内容灵活应用现代教学方法。
在高等数学概念教学中，对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、曲线积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。
在高等数学理论教学中，对重要定理、重要公式，用问题驱动法逐步展开，层层深入，求得启发式教学原则的实现。
把学生吸引到教学内容中去，充分调动学生听课的积极性，提高课堂教学效率。
在高等数学习题课教学中，先小结学科内容，然后提出问题，引导学生思考，不但可以达到解答疑难的目的，而且培养锻炼了学生的表达能力，激发学习热情
在高等数学整个教学过程中，适时地利用现代教育技术直观地处理抽象的数学概念。
比如对于多元函数极值的教学，用Maple制作出生动的多元函数动态立体图像，让学生容易掌握抽象的数学内容，培养学生形象思维能力。
（二）教学手段
课堂教学中，多媒体与板书相结合。
在高等数学课程的课堂教学过程中，采用多媒体与板书相结合的教学手段，既有利于提高课堂效率，又有利用于教师形象生动地展开教学内容。
在高等数学教学活动中，必要的板书可使学生领悟数学教师的思维过程，对培养学生的创造力有不可忽略的功效。
根据我校实际情况，课堂教学后，当面点评与电话答疑、网上答疑相结合进行辅导教学。
在为学生提供了充足的高等数学教学课后学习材料的同时，通过各种辅导方式督促检查学生的学习效果，通过网上答疑方式回答学生提出的数学问题。
五、考核方式
考核方式：
考试
具体形式：
闭卷
说明：
学期总成绩比例为：
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
六、建议教材与教学参考书
教材：
《经济数学――微积分》主编：
吴传生高等教育出版社2003.6（2006重印）
参考书目：
[1]微积分（第二版）朱来义主编，高等教育出版社，2004年3月（2005重印）。
[2]经济数学基础――微积分及其应用夏勇汪晓空编著，清华大学出版社，2003年11月。
[3]数理经济学的基本方法【美】蒋中一著，商务印书馆，2004年。
[4]微积分（修订版）赵树塬主编，中国人民大学出版社，1991。
[5]高等数学
（一）微积分高汝熹主编，武汉大学出版社，1992。
[6]同济大学数学教研室《高等数学》上、下册（第六版），高等教育出版社，2007年6月
[7]经济学（第12版）保罗.A.萨缪尔森等，高鸿业译，中国发展出版社，1992。
制定：
高等数学教研室
执笔人：
审定人：
制定时间：
2011年3月28日
升级会员 