孟生旺《金融数学基础》参考答案doc.docx

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孟生旺《金融数学基础》参考答案doc

孟生旺《金融数学基础》

III

参考签案

（中国人民大学出版社，2015年2月第一版）

第1章利息度量

1.1600x2i=150n，=0.125,2000（1+z）3=2848

1.21004/m=314""+271v,8Z,2nT=141.6

1.3A:

-（2X）=i-X,B:

X（1+z72），6~X（1+z/2）15

X[（1+i/2）16-（14-//2）15]=i・Xni=0.09458

1.4e27'725=2n5=0.025,当严=S时，（i+2S）n,1=7.04n〃=80

1.5100x（1-4x6%）-1/4x2=114.71

16l+i=[l+广""丁=[1-d（m）/m]'=1-Jzn=8

1.7A:

g）=（l.01）”'，8：

〃（f）=/"2,（i.oi）,2x=ez：

12=>r=1.43

1.8A:

a（t）=exp（凯+如广/2）,B:

a（t）=exp（gn+hn2/2）,n=2（a一g）/（h-b）

1.9。

（，）=100（1-d/4）-•exp£（1+[广出=260nd=0.129

1.10再=1/（1+。

，0=2〃（l+「）,，=0.41

1.11c«）=（1+1）2

300x狠（3）+600xa~l（6）=200xa~l

（2）+Xxa~l（5）nX=315.82

1.12厂（3）=exp（-[尸/lOOdr）=e-0'2025.

1.13

1.14

1.15

a（t）=0.04r+0.03,+1,%%="（0.5）/。

（0.5）=0.068*（3）=100•exp（J"/1OOdr）+X=109.42+X4（6）=（109.42+X）•exp（[7/]oo力卜i.8776（109.42+X）A（6）一A0）=（109.42+X）（0.87761）=XnX=784.61t=4时的累积位为:

1OOOexp（{0.02/d/）•e

0045=1144.54

令名义利率为x,则1000（1+*/4严=1144.54=>x=0.03388

1.16，⑵=0.075,J+J（4）=ln（1+i⑵冷）2+4l-（l+/

（2）/2）-1/2=0.1466

_mJLm.

1.17exp（（如d〃・exp（]kr/25dt^=2.7183=>k=0.414

1.18o（7）=exp[£中由]=（2+/）/2,8=a（n）-6/（0）=n/2=>n=16

1.191000exp[fg=1068.94

1.20A=67.5,B=10（1.0915）1°一〃+30（1.0915）'°一2〃，〃=2.3254

第2章等额年金

2.11363元

2.2279430元

2.326005

2.4基金在第30年初的现值为658773.91,如果限期领取20年，每次可以领取57435,如果无限期地领下去，每次可以领取39526

2.531941.68元，21738.97元,46319.35元

2.69年

2.729月末

2.80.1162

2.98729.23

2.1045281.05

2.110.2

2.12302

2.134.06%

2.14假设最后一次付款的时间为〃，则有：

100000=1OOOOq*（1+0°5）Tn〃=23.18

假设在23年末的非正规付款额为X,则有

100000=10000^（1+0.05）T+X（1+0.05）-23=>X=1762.3

2.15100%=4495.5038=6000俨=>俨=0.7493=>k=29

2.161538。

南=1072。

司n1072产-1538"°+466=0ni=0.08688

IOl20l

2.17设J为等价利率，则j=0.040604,累积值=1000（^+可）=32430

2.18以每半年为一个时期，每个时期的实际利率为〃2,两年为一个时期的实际利率为j=（1+//2）4-1,故5.89=1//=i=0.08

2.1912•$由+12•八％=64=>（1+0.75z）10=2ni=0.09569

n

2.20

drdt=ln（l+/?

））l+，.

弓=Jexp

2.21a（t）=expl"f6dr=（14-0.5r）2,5q=++=12.828

L*J圳o（l）o

（2）a（5）

2.22fqdl=：

f（1—=f（8—q）=「8—1；=100v8=1-（8-100J）.Sn/=[1-（8-100$）可®

_1—pll>]-[1-（8-100$）句

Cl—I——

旧$8

2.231/30

2.241-[ln（〃5）]/5

nc>_]

2.254e〃°=12二>e〃"=3,胃=12=>=12=>$=1/6

刑5

第3章变额年金

*-29

3.172.88=/"）初。

弋厂5•祁二65.44n/=0.1

3.2900。

词+100（也扁=1088.69

3.3u+2"+3”+…++〃/】+小/+2+...=（0屿=但

id

03

3.4X=2”+4v5+6v7+8v9+...=—=49.89

（1-v2）2

3.5A的现值为：

X=55。

冠=55（%+"°%）

B的现值为：

X=30%+60u%词+90疽。

％

故55（1+V10）=30+60"°+9Ov20=>i=0.07177=>X=574.74

3.6（也）/俨（服扁=勺％

3.720（0。

）刃+160。

国=2146.20

3.811846.66

3.9每季度复利一次的利率为0.0194,所有存款在第八年末的终值为

i（%8KI,X/0.08=183.01nX=14.64

3.10343320

3.1116607

3.12现值为5197.50,累积值为9333.98.

3.13930结+70（H）问=9998.16,终值为23312.11.

3.14现值为20（。

。

加+280%=3246.03,在第20年末的终值为10410.46.

3.15212.34

3.16此项投资在第10年末的终值为：

80000=0-5000）端6%+500评扁6%

80000=（X-5000）（13.97164）+500（83.52247）=X=7736.88

3.17X=挪（100（应扁幼+2000知％）=15979.37.

3.18第20年末的终值为：

（l+i）”200（Az加5%=19997.38

3.19前5年的现值为77.79,从第6年开始，以后各年付款的现值为：

/110no>

20U（i+幻———，总现值为335,故&=3.76%.

3.2090s词4%+1。

（％%=1735.96

3.21第8年的终值为:

60鬲％+5（£>歹扇％=894.48478

第10年末的终值为1024.10.

3.22f°（中+3）exp[―.（0.03+0.04s）dsd/=89.97

3.23在时刻5的现值为:

+2r）exp^（0.0006?

+0.00h）dydr=382.88

时刻零的现值为：

382.88exp[—f（0.004z+0.01）dz=346.44

3.2425000=f°（9k+泳）exp[「1/（s+9）ds]由=190Ank=131.58

第4章收益率

4.10.1483

4.21221.99

4.3时间加权收益率0.5426,币值加权收益率0.5226,两者之差0.0236.

4.493000

4.5-10%

120100-5065〔八冒・65—（100+0—50）n1O1/1

100120+。

100-50100+0x9/12-50x3/12

4.70.1327

4.87.5%

4.9236.25

4.100.0619

4.115年末投资者共得到56245.5元.设购买价格为P,要得到4%的收益率,有

P（1.04）5=56245.5=>P=46229.7

4.125000^08=100000+（5000z）（A）^2n明旗=34.71G=0.1

4.13再投资利率为8.73%.投资者B的利息再投资后的积累值为6111.37.

41412•，・皓睥+12・ig=64n（1+0.75消=2G=0.09569

4.153项投资在2015年初的余额为320.46万元，在2015年末的余额为344.56万元，故2015年中所获利息为24.10万元.

第5章贷款偿还方法

5.1X=704.06

5.2设每年的等额分期付款金额为/?

由已知

/?

（1-V28）=135,R（l-V14）=108=>R（1-"）=72

5.3R（l-v3°-,+l）=R/3n=2/3nf=22.69

故在第23年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一.

5.4290.35=/?

v10+Rv9+R”,408.55=N+Rv2+Rv

ni=0.05,R=150.03,£=1158.4.支付的利息总金额为1OR—L=341.76

5.51510.6

5.6

（1）借款人第2年末向偿债基金的储蓄额应为4438.42

（2）第2年末的余额为9231.91

（3）第2年末的贷款净额为10768.09

5.7/;=6104.56=£0/a^.=20000/a-.1=8.4911%

5.8第5次偿还中的利息为66.89万元

5.9125,000=/?

^,[l+1.02v+（1.02v）2+••••+（!

.02v）29]nR=526

5.10各期还款的积累值为1000喝0。

5=10000（1+，）"n1=0.0616[55000=500.38^.

5.11{10ni=12/=0.0917

3077.94=55000（1+/）12/,-500.385-^.

5.12第一笔贷款偿还的本金为490.34,第二笔贷款偿还的本金为243.93,两笔贷款的本金之和为734.27.

5.133278.

5.14第3次支付的本金金额为784.7,第5次支付的利息金额为51.4.

5.150.1196.

5.1664.74.

5.17调整后最后一次的偿还额为1239.1.

548第11年末.

5.19调整后借款人增加的付款为112.

5.2010000=跖+1900子％词+lOOvC/a）^=>X=5504.7.

5.2111190.11.

证券定价

6.1价格为957.88元，账面值为973.27元.

6.2价格为974.82元，账面值为930.26元（理论方法）,929.82（半理论方法）,1015（实践方法.

6.37.227%.

6.46.986%.

6.5P=100x0.1%+100x0.09尸。

％+100x0.08广词=97.74元.

6.6债券每年末的息票收入为80元，故有

1082.27=*=V；（1+i）-80=[（^）（1+z）-80]（1+i）-80

=1099.84（1+i）2一80（1+0-80=>i=6.5%

80•.+1000u（〃一3）=1099.84=>n=12

P=80・。

由n+1000（1.065）-12=1122.38元.

6.7应用债券定价的溢价公式可以建立下述三个等式：

（40）

<45）

⑵丫="-归

（50）

（3）2X=C咆

\c/

由（3）/

（1）得：

-2=

50-Ci

40-Ci

Ci

130

v

由

（1）+（3）得：

X=（90-2G>^=>^=-——7V—ZCZ

所以有Y=（45-Ci）a^=X/2=5元.

6.81=7/12,理论方法的账面值为87.35元，实践方法的账面值为87.35元.

6.91100W'=190=>俨=19/110=>。

不=910/33

P=1100u"+40s、=1293.03.

n\0.03

6.10P=40明+Q=30q+M•…，令债券C的价格为X,则有

X=80^+M・u"nX=5P—4Q.

6.11

P=（l°0°'）%g+ll°°（L°4广“0.035P—81.49=（1000r）%o°「+1100（1.05）"'

X=1000x0.035137%（）0^H7+1100x（1.035137）-，°=1070.80

6.12P=1050产+50p+（1.03）v2+（1.03），v3+••-+（1.03广v20=837.78.

6.13偿还值的现值为200皆吃=584.68（元），未来息票收入的现值为60%+12"（Dq）3=355.99（元），故债券的价格为940.67元也可以应用Makeham公式计算，即P=0.06/0.07x（1000-584.68）+584.68=940.67元.

P=40qf+1000v2°[P=1071.06

614）201-a,J

•]p=40。

词+X•/[X=1041.58

6.15债券每年末的息票收入为60元，修正息票率为60/1050=5.7143%,小于投资者所要求的收益率8%,所以赎回越晚（即到期时赎I可），债券的价格越低.由此可得该债券的价格为P=1050+1050x（5.7143%—8%）x。

词=888.94元.

6.16股票在第六年的红利为0.5x0.2x（1.10）6,以后每年增长10%.应用复递增永续年金

的公式，该股票的价格为P=0.5x0.2x（1.10）6x―'——x1.11-5=10.51元.

0.11-0.1

6.17投资者每个季度的实际收益率为；=2.47%,应用复逆增永续年金的公式，投资者购买该股票的价格为P=0.3/（2.47%-2%）=63.83元.

6.18/•=1.5/30+5%=10%.

6.1930元.

6.20每股利润为10-9.50=0.50元，保证金为10x0.50=5元，保证金所得利息为5x0.050=0.25元,每股红利为0.1元,卖空收益率为（0.5+0.25-0.1）/5=13%.

6.218.59%

第7章利率风险

7.1D马=15,基于名义收益率的修正久期为。

=15/（1+1%）=14.85.年实际收益率为i=12.68%,基于实际收益率的修正久期为D=15/（1+12.68%）=13.31.

1yi

7.2D=P'0）/P（S）=w-f^

oe-1

7.3假设债券的面值为100,则P=92.64,。

为=8.02,0=7.57

A—I・

7.4债券的马考勒久期可以表示为。

马=己也，其中j=i（,n）/m.变形可得：

m

n1・\1—（l+l）n1一W..（”?

）

£＞马=（1+j）。

顽/.篇=（1+力一——=-—=a^•

7.5对年金的现值关于利率i求导，应用修正久期的定义公式可得D=--.

i1一u'

7.6对于期末付永续年金，现值为P（i）=l/i,P\i）=-\/i29所以修正久期为。

=1也,马考勒久期为D马=。

（1+/）=（1+/）/i.

7.7对于期初付永续年金，现值为地）=（1+，）也，P，（i）=-于i2,所以修正久期为

0=1/国1+/）],马考勒久期为D马=0（1+0=1/i.

pf（i\

7.8P=5。

刁〃+100v2=96.53=>P'（i）=-169.29nD=一一=1.75

MP（i）

7.9D效=7.49

7.10

7.H

7.12

7.13

DnAP

O=—=7.886,—=-（A/）.D=1.18%

l+zP

n新的债券价格近似为：

75.98x1.018=76.88

D效=8.92,。

效=13.35.

AP

—=-（&）•。

+0.5•（Az）2・C=-8.85%,债券的新价格近似为95.59元.

修正久期为8.12,凸度为101.24.

马考勒凸度为105.15.

7.14

d2P

cl—dP1d2P2

P=-=16.67=>—=—r-=-

idii2di2i3

=>。

=-丝^=1=16.67

•2

P（i）i

41=^=555.55

7J5

7.16

7.17

7.18

=＞C

P（i）/

AP

—=—（&）•。

+0.5•（Az）2・C=-4.28%

负债的现值为外=12418.43,负债的马考勒久期为以=5,负债的马考勒凸度为C：

=25.不妨假设两种零息债券的面值均为1000元，则

4年期零息债券的价格为乙=1000/（1+1）4=683.01元，10年期零息债券的价格为=1000/（1+泸=385.54元.

假设有X%的债券投资4年期的零息债券，（1-X%）的债券投资10年期的零息债券,由£＞壹=£＞卷,有:

（七%）（4）+（1%）（10）=55%=83.33%

投资4年期零息债券的金额为10348.28元，投资10年期零息债券的金额2070.15元.债券A的价格为982.17元，马考勒久期为1.934,马考勒凸度为3.8.债券B的价格为1039.93元，马考勒久期为4.256,马考勒凸度为19.85.在债券A上投资11.02%,在债券B上投资88.98%,则债券组合的马考勒久期等于负债的马考勒久期，均为4年，债券组合的马考勒凸度为18.08,大于负债的马考勒凸度16,满足免疫的条件.

各种债券的购买数量分别如下：

购买5年期债券的数量

购买4年期债券的数量

购买2年期债券的数量

购买1年期零息债券

80000

300000

600000

100000

8.1

8.2

年度

1

2

3

4

5

负债的现金流

1794

6744

144

3144

824

5年期债券的现金流

24

24

24

24

824

净负债的现金流

1770

6720

120

3120

0

4年期债券的现金流

120

120

120

3120

0

净负债的现金流

1650

6600

0

0

0

2年期债券的现金流

600

6600

0

0

0

净负债的现金流

1050

0

0

0

0

1年期债券的现金流

1050

0

0

0

0

净负债的现金流

0

0

0

0

0

购买各种债券以后净负债的现金流如下（单位：

万元）:

第8章利率的期限结构

一•年期债券的价格为P=102.78；两年期债券的价格为户=92.96；三年期债券的价格为P=112.43.

102.78=^^=>5,=8%

1+&

92.96=+105-=>&=9.03%

5（1+/

112.43=上-+—+-115；-=>s?

=10.20%

1+5（1+巳）（1+林）

现金流分别按对应的即期利率折现得债券的价格为：

1010110

1.051.0621.08°

105.75

8.3各年远期利率分别为8%、10.1%和12.6%.

8.4假设债券的面值为100元，计算5年期债券的价格:

B+二+二+工工+_12_+业

17777=1T+"T+*rH71.071.0721.0731.0741.07，1+»（1+巳）（1+^3）（1+&）（1+&）

1111

n+

rHrH—3.74

1+E（l+s）（1+电）3（1+sJ

每年支付40元的5年期期初付年金按对应的即期利率折现即得其现值为:

401+——+++=189.75

1+S]（1+叫）（1+$3）°（1+$4）_

8.5由远期利率计算的债券价格为：

1010110

11

1.07（1.07）（1.05）（1.07）（1.05）（1.1）

=107.25（元）

8.6

假设债券的面值为100元，则W：

100=

104

（1+.舟）

*=4%

nlOO=—-—+=>/.=8.16%

S）++

88

108

=100=—-—++=£=12.69%

（1+4）（Sd+Q（SO+QS）

8.7应用即期利率和远期利率的关系，有

1+S]=1+/°ns】=4=6%

（1+S2）2=（1+么）（l+f）ns2=5.50%

（1+a），=（1+To）。

+/.）（1+£）=>%=6.98%

8.8

8.9

用G表示债券在，年末的现金流入，则有：

J==20%

1.21+5,

勺+乌=勺+G>2=20%

1.21.221.2（1+sj

，+乌=£+g+—^n&=20%

1.21.221.231.21.22（1+、）

1+勺=1+/（）=>/0=20%

1.23

1.22=（1.2）（1+/）=>/；=20%,£=片-1=20%JL•匕

8.10

106=M~n人=3.77%l+./o

95=-^-+=>/=12.20%

1