幂函数重点.docx
《幂函数重点.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《幂函数重点.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
幂函数重点
幂函数(重点)
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.幂函数的概念2.幂函数的图像
3.幂函数的性质
教学目标
整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能
教学重点
幂函数的定义和运用
教学难点
幂函数的图像和性质
教学过程
一.课程导入:
y=x11(α∈R)在我们之前学习过的函数由有许多,例如y=x2(α∈R),y=x(α∈R),y=x-1(α∈R),
y=x3(α∈R)等,如果它们在一个坐标系中如图,会发现它们虽然不是同一个函数,但是它们却有共同点,但是函数和函数之间又是有区别的
二、复习预习
本讲复习时,应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质,重点解决二次函数在闭区间上的最值问题,掌握求函数最值的常用方法:
配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等,注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用.
三、知识讲解
考点1、幂函数的定义
一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.
考点2、幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x
,y=x-1的图象
考点3、幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R且x≠0}
值 域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,+∞)时,增
x∈(-∞,0]时,减
增
增
x∈(0,+∞)时,减
x∈(-∞,0)时,减
定点
(0,0),(1,1)
(1,1)
四、例题精析
考点一幂函数定义的应用
【例题1】
【题干】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):
(1)是幂函数;
(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数;
(3)是正比例函数;
(4)是反比例函数.
【答案】
【解析】
(1)∵f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1.
(2)若f(x)是幂函数,且又是(0,+∞)上的增函数,
则
∴m=-1.
(3)若f(x)是正比例函数,
则-5m-3=1,解得
此时m2-m-1≠0,故
(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,
则
此时m2-m-1≠0,故
考点二幂函数的图象与性质
【例题2】
【题干】已知点
在幂函数
的图象上,点
,在幂函数
的图象上.定义
试求函数h(x)的最大值以及单调区间.
【答案】见解析
【解析】设幂函数为f(x)=xα,因为点
在f(x)的图象上,所以
所以α=2,即f(x)=x2;又设g(x)=xβ,点(
)在g(x)的图象上,所以(-2)β=
,所以β=-2,
即g(x)=x-2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象,如图所示:
则有:
根据图象可知:
函数的最大值等于1,单调递增区间是(-∞,-1)和(0,1),单调递减区间是(-1,0)和(1,+∞).
考点三幂函数的性质与应用
【例题3】
【题干】
(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.
(2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x的增大而减小,求满足
的a的取值范围.
【答案】见解析
【解析】
(1)因为函数y=x0.2在R上为增函数,
且0.2<0.4<2,
∴0.20.2<0.40.2<20.2,
又函数y=2x在R上为增函数,且0.2<1.6,
∴20.2<21.6,
∴0.20.2<0.40.2<20.2<21.6.
(2)∵函数在(0,+∞)上递减,
∴3m-9<0,∴m<3,
∵m∈N*,∴m=1,2.
又∵函数的图象关于y轴对称,
∴3m-9为偶数,
当m=1时,3m-9=-6为偶数,
当m=2时,3m-9=-3为奇数,
而
在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
等价于
a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或
a+1<0<3-2a,
解得a<-1或
∴a的取值范围是{a|a<-1或
}.
课后评价