最优订货方案的确定.docx
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最优订货方案的确定
最优订货方案的确定
摘要
本文着力研究大中型超市的最优订货方案。
对于大中型超市，根据其所售商
品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成
本从而增加收益的重要方面。
本文研究了大中超市在不考虑运输费用，和有考虑
运输方式以及商品供应时间这两种情况下的最优订货方案。
对于问题一，由于不考虑运输的费用（即当库存量为 0 时，商品可以立即得
到补充），我们运用初等数学建立存贮模型，即总成本和库存量的函数关系为
C （Q） = kC Q / 2 + （ N / Q）C 。
根据总成本和库存量的函数关系，我们可以易得出
21
该商品的最优订购量表达式为Q =
2 NC
1
kC
2
和最优订购次数的表达式为
n =
NkC
2
2C
1
。
对于问题二，我们根据给定超市所提供的数据代入问题一所得出的最优订购
量和最优订购次数通用公式，可以轻松得到 30 种商品各自的最优订购量和最优
订购次数。
对于问题三，我们可以算出每种商品订货周期内的需求量，然后算出贮存费
的大小，并求出商品的成本费和订购费。
以全年商品的订货总费用为目标函数，
以每种卡车的载重量不超过 4 吨、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内
所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立优化模型。
因为该模型
求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型。
根据商品的总重量和卡车载
重限制求解出运输所需的卡车数。
最后求出每种订货方式所需要的运输费用，分
别是 6083613.275 元、6073574.5 元，发现每个月订货一次的方式更优。
两者贮
存费和订购费之差就是超市成本增加的数额，为 7538.38 元。
对于问题四，由于考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货，我们根据
问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年订货
总费用，然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型。
对于问题五，实际情况下，商品每年的需求量不是均匀分布，每次的进货量
和最小库存量可能都不同。
分别算出每年所有商品的年贮存费、成本费、运输费、
订购费，以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每辆卡车的载重量和订购
周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模型求解。
关键词：
存贮模型 优化模型整数规划最优订货
一、问题重述
对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商
品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。
商品的库存量要时时满足超市对商品的需求量。
当库存量降到一定水平时，
超市必须再一次订货，否则当库存量小于顾客对商品的需求量时再订货，有可能
造成商品断货，也给超市造成损失。
同时库存在超市的商品，需要一定的库存成本。
超市每次对某件商品的订货
量一方面不能太大，否则库存成本将增加；另一方面每次订货的数量也不能太小，
否则由于每次订货将花费一定的订货费用，随着订货次数增加，订货的花费将增
加。
因此要根据某件商品的需求，选择每次订货时最好的订货数量，从而降低订
货次数和订货成本。
对于一些大中型超市，其所售商品的品种规模很大，由于每件产品的需求量，
库存成本，订货成本，重量等有可能都不一样，因此不同品种商品的订货数量和
时间也不一样。
而且由于订货后，需要将商品运到超市，考虑到运输成本，需要
结合不同商品的订货量、重量、订货时间等，使得车辆尽可能满载。
本文在现有的一家超市的基础上，根据其给定的 30 种商品的需求量、库存
成本、订货成本、重量等信息，需解决下列问题：
1、考虑任一件商品，不考虑运输的费用，建立数学模型说明使得该商品全
年订货总费用最小的最优订货量是存在的，并且求出这个订货量。
2、对该超市给出的 30 中商品，不考虑运输的费用及载重限制，利用问题 1
的结论分别求出每种商品的订货量和订货次数。
3、在实际中，供应点实际上允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30
天）订货一次。
那么对这 30 种商品超市要选择哪种订货方式好？
计算出这种订
货方式与问题 2 的最优订货量情况下超市成本增加的数额。
4、现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。
给出这 30 种商品的
最优订购方案。
5、对于更一般的情形，完善数学模型。
二、问题分析
问题一：
由于不考虑运输的费用，可以理解为当存贮量降至 0 时，商品可以立即得到
补充。
而且所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存
费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费
用也相等。
因此，可以认为库存量与时间所构成的函数是一个周期函数，而且在
一个周期中，库存量和时间成线性关系，如图 2.1.1 所示：
库存量
Q
θ2 θ3θ4 θ时间 t
图 2.1.1 在均匀需求下存贮模型
在一个周期 θ 中，库存量和时间的函数关系为 V （t ） = -t + Q（0 ≤ t ≤ θ ） ，则
一个周期内的平均存贮量为 Q / 2 。
从而，可以得出总费用与库存量的函数关系。
根据其函数关系，易得最优订货量和最优订货次数。
问题二：
由问题一的结论，可以得出最优订货量为 Q =
2 NC
1
kC
2
，最优订货次数为
n =
NkC
2
2C
1
。
通 过 Excel ， 将 30 种 商 品 数 据 依 次 代 入 最 优 订 货 量
Q =2 NC1
kC
2
和最优订货次数 n =
NkC
2
2C
1
的公式中，进行数据处理。
问题三：
因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30
天）订货一次。
我们先可以确定一种订货方式，根据每种商品的年需求量算出每
种商品每次订货周期内的需求量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商
品的件数取整。
我们根据问题一计算贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大
小，再求出商品的成本费和订购费。
我们假设每次订货周期内一共需要 m 辆卡
车，设 x
ij 为第 i 种商品装在第 j 辆卡车上的件数，设 yi 为第 i 种商品的重量，设
z 为第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:
1—30）。
以全年商品的订货总费用为
i
目标函数，以每种卡车的载重量不超过 4 吨、每种商品的订购周期内的需求量和
订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型，考虑
到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。
首
先根据
30
i=1
t
i
i i
= z 建立数学模型，若
i
30
i=1
i
30
i=1
i
30 30
i i
i=1 i=1
出每种订货方式所需要的运输费用，比较两种订货方式的优劣，再计算出这种订
货方式与问题 2 的最优订货量情况下超市成本增加的数额。
问题四：
现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。
我们根据问题一计算年
贮存费的公式 kC Q / 2 算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本费和
2
订购费。
贮存费、订购费和年成本费。
以年订货总费用为最小值建立最优化模型，
以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的
总重量小于卡车的总载货量为约束条件建立模型。
问题五：
设一年共进货 n 次，每次每种商品的进货量为 a ，每次每种商品的最小库存量
ij
为 s ，每次进货时所需要的卡车数为 m 辆。
根据题意可知，库存量降为 0 时再
iji
订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失，即 s ≥ 0 ；实际情况下，所有
ij
商品的需求不是均匀分布于全年的，所以每次的进货量和最小库存量可能都不
同，并且全年的进货量和库存量总和大于或等于全年的需求量，即
∑∑ a + ∑∑ s ≥ ∑ N
n30n3030
ijij
i=1 j =1i=1 j =1i=1
i
。
库存在超市的商品，需要一定的库存成本，所有商品
的年贮存费为 k ∑ C （∑ x / n）
30n
2 jij
j=1i=1
30 n
。
每年所有商品的成本费为 ∑∑
j =1 i=1
C a
2 j ij
，每年所
有商品的运输费为1000∑ m ，每年所有商品的订购费为 n∑ C 。
以年订货总费
min f = k ∑ C （∑ x / n） + ∑∑ C a + 1000∑ m + n∑ C 。
再以每辆卡车的载重
n30
i1i
i=1i=1
用 为 最 小 值 建 立 最 优 化 模 型 ， 年 总 订 货 费 用 为
30n30nn30
2 jij2 jiji1i
j =1i=1j =1 i=1i=1i=1
量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模
型。
三、模型假设
1、考虑的所有商品的需求是均匀分布于全年的
2、商品的库存费用都与该商品的价格成正比
3、每件商品的价格在全年保持不变
4、每次的订货费用也相等。
四、符号说明
Q每次订货量
C
1
每次订货费用
C
2
每件产品的价格
S
N
产品的最小库存量
该产品的年总需求量
n年进货次数
k
库存费用与价格比例。
f商品的订货总费用
x
ij 第 i 种商品装在第 j 辆卡车上的件数（i:
1—30，j:
1—m）
y
i
z
i
第 i 种商品的重量（单位：
kg）（i:
1—30）
第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:
1—30）
t
i
i=1 表示每两周（15 天）订货一次，i=2 表示每个月（30 天）订货一次
P
i
N
i
第 i 种商品的年需求量（i:
1—30）
第 i 种商品的年需求量（i:
1—30）
C
2i
第 i 种商品的价格（i:
1—30）
五、模型的建立及求解
5.1 问题一：
存贮模型的建立
由于所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存费
用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用
也相等，则库存量随时间的变化情况如图 5.1.1 所示：
订货量 Q （常数）
最小库存量 S
图 5.1.1 均匀需求下的库存量变化情况 （纵轴为某商品库存量，横轴为时间）
设定 Q 表示每次的进货量， C 表示每次订货费用， C 表示每件产品的价格，
12
s 表示该产品的最小库存量，N 表示该产品的年总需求量，n 表示年进货次数，k
表示库存费用与价格比例。
由于假定商品的需求是连续的、均匀的，并且不考虑运输的费用，当存贮降
至 0 时，可以立即得到补充，这个存贮模型的变化情况如下图 5.1.2 所示：
（ θ 表示订货的周期时间）
库存量
Q
θ2 θ3θ4 θ时间 t
图 5.1.1 在均匀需求下存贮模型
以一年时间计，每隔 θ 进货一次，每次订货量为 Q，共进 n 次，则有 nθ = 1 ，
nQ = N ，从而得：
n = N / Q,θ = Q / N 。
在一个周期 θ 内，t 时刻的贮存量 V（t）应满足：
V （t ） = kt + b（0 ≤ t ≤ θ ）
V （0） = Q,V （θ ） = 0
解之， V （t ） = -t + Q（0 ≤ t ≤ θ ）
由图形直观的理解，V（t）下方的面积就是第一个周期的存贮量。
库存量
Q
V （t ）
θ2 θ3θ4 θ
图 5.1.3
即 S
∆oθQ = θ Q / 2 ，从而得到一个周期内的平均存贮量为 Q / 2 ，我们把一年分成 n
个周期，并且每个周期内的平均存贮变化都是一样的，这样年内的平均存贮量都
是 Q / 2 。
从 而 知 ， 一 年 的 存 储 费 用 为 kC Q / 2 ； 一 年 的 订 购 费 为 ：
2
nC = （ N / Q） ⨯ C ;N 件产品的进货费用相同，所以若要使得该商品全年订货总费
11
用最小，只需考虑年订购费和年存储费用；因此该商品全年订货总费用为：
C （Q） = kC Q / 2 + （ N / Q）C ；这就是存贮模型。
21
当 Q 等于多少时，C（Q）达到最小呢？
随每次订货量 Q 的增加，年订购费减少，但
是贮存费用增加；每次订货量 Q 的减少，年订购费增加，但是保管费减少。
从下
面的直观图形（图 5.1.4）可以看出，要想使总贮存费用达到最小，必须使订购
费和贮存费用相等。
图 5.1.4 总费用与库存量的关系
令 （ N / Q） ⨯ C = kC Q / 2 ,即 Q =2 NC1
12
kC
2
，则该商品全年订货总费用最小
值为 C （Q） = 2NC kC ，此时最优订货量为 Q =
12
2 NC
1
kC
2
，最有订货次数为
n =NkC
2
2C
1
。
5.2 问题二
由以上的存贮模型得出，，当一年的存储费用（ kC Q / 2 ）=一年的订购费
2
（ nC = （ N / Q） ⨯ C ）时，该商品全年订货总费用最小值为 C （Q） = 2NC kC ，最
1112
优订货量为 Q =2 NC1
kC
2
，最优订货次数为 n =
NkC
2
2C
1
。
将 30 件商品相应的数据代入公式中，得出每种商品的订货量和订货次数。
结果如表所示：
表 5.2.1 最优订货量 Q 、最优进货次数 n
商品序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
每年需求量
N（件）
10000
600
800
950
15000
2000
8000
500
8500
5700
2600
6520
3600
800
900
2000
3000
6200
1600
3200
4600
3000
每次订
货费用
C1（元/
次）
5
10
17
20
50
35
24
98
60
100
46
45
10
32
41
52
60
30
26
38
29
28
价格 C2
（元/
件）
2
15
25
67
10
35
40
510
25
35
41
59
68
71
46
100
40
50
64
40
56
46
库存费
用与价
格比例
k（%）
18%
20%
12%
30%
10%
15%
12%
25%
12%
10%
21%
16%
16%
20%
36%
9%
23%
12%
13%
16%
15%
16%
最优订
货量 Q
528
64
96
44
1225
164
283
28
584
571
167
250
82
61
67
153
198
249
100
195
179
152
最优进
货次数
n
19
10
9
22
13
13
29
19
15
10
16
27
45
14
14
14
16
25
16
17
26
20
232100363813%17513
24800302612%1257
25500204514%579
264009215018%538
276700102019%18836
281600082612%28756
299800454020%33330
301020030705%41925
5.3 问题三：
最优化模型的建立
因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30
天）订货一次。
我们根据问题一计算年贮存费的公式 kC Q / 2 算出两种方式下贮
2
存费的大小，再求出商品的年成本费和订购费。
然后根据每种商品的年需求量算
出每种商品的每次的订货量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商品的
件数取整。
表 5.3.1：
每月订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费
商品序每月进货量贮存费（元）订购费年成本费
号（件）（元）（元）
1834150.126020000
250751209000
367100.520420000
48080424063650
51250625600150000
6167438.37542070000
76671600.8288320000
8422677.51176255000
97091063.5720212500
10475831.251200199500
11217934.185552106600
125442567.68540384680
133001632120244800
1467475.738456800
157562149241400
16167751.5624200000
172501150720120000
185171551360310000
19134557.44312102400
20267854.4456128000
213841612.83482557600
22250920336138000
23
24
25
26
27
28
29
30
175
67
42
34
559
1334
817
850
432.25
104.52
132.3
459
1062.1
2081.04
3268
1487.5
432
360
240
1104
120
96
540
360
79800
20800
22500
60000
134000
416000
392000
714000
表 5.3.2：
每 15 天订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费
商品序每15天的进货贮存费（元）订购费年成本费
号量（件）（元）（元）
141775.0612020000
22537.52409000
3345140820000
44040248063650
5625312.51200150000
684220.584070000
7334801.6576320000
8211338.752352255000
9355532.51440212500
10238416.52400199500
11109469.2451104106600
122721283.841080384680
13150816240244800
1434241.476856800
1538314.6498441400
16843781248200000
171255751440120000
18259777720310000
1967278.72624102400
20134428.8912128000
21192806.46962557600
22125460672138000
2388217.3686479800
243453.0472020800
252166.1548022500
2617229.5220860000
27280532240134000
286671040.52192416000
2940916361080392000
30425743.75720714000
我们设 x为第 i 种商品装在一辆卡车上的件数，设 y 为第 i 种商品的重量，
ii
设 z 为第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:
1—30）。
然后以年订货总费用为最
i
小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和
订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型如下：
3030
ii=1i=1
2i 1i
t
+ 2i i
30
30m
⎪iji
⎪ i=1 j=1
⎪ 30m
iji
⎪ 30
⎩ i=1i i
（1）若订货周期为 15 天，
minf= 12000m + 7591613.3
⎪ ∑ ∑
⎧30m
⎪i = 1j = 1
x
ij
≥ z
i
s . t . ⎨ ∑ ∑ x
⎪30m
⎪i = 1j = 1
⎪30
ii
i = 1
y ≤ 4000
ij i
≤ 4000 m
（2）若订货周期为 30 天
kC
2
Q / 2
5.3.2 模型的求解
考虑到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。
首先根据
30
i=1
t
i
i i
30
i=1
i
30
i=1
i
30 30
i i
i=1 i=1
∑ Py / t = z
30
i i i
i
i=1
3030
⎪i
i=1
3030
ii
i=1i=1
根据上述模型，求得一个月或者是两周所需要的货车数量，分别为 65 辆和 33
辆，然后便不难求得两种订货方法所需要的年订货费用：
每 15 天订货一次：
33*1000*24+5291613.3= 6083613.275 元
每 30 天订货一次：
65*1000*12+5293574.5= 6073574.5 元
由此可以看出，每个月订货一次的方案更加节省成本，所以每个月订货一次的方
案更优。
每个月订货一次的方式的贮存费和订购费为 44544.46 元，问题 2 的最优订货量
情况下的贮存费和订购费为 37006.08 元，每个月订货一次超市成本增加的数额
为 7538.38 元。
5.4 问题四：
最优化模型的建立
现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。
我们根据问
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